1、專題九平面解析幾何9.4雙曲線及其性質高考文數考點一雙曲線的定義及標準方程考點清單考向基礎1.雙曲線的定義(1)雙曲線的定義用符號表示為|MF1|-|MF2|=2a,其中2a|F1F2|時,動點軌跡不存在.2.雙曲線的標準方程雙曲線的標準方程是根據雙曲線的定義,通過建立恰當的坐標系求出的.若已知所求曲線是雙曲線,則可利用待定系數法求方程.參數b=是由于進一步化簡方程的需要而引入的,但它同樣具有明確的幾何意義:b表示雙曲線虛半軸的長.由雙曲線的標準方程可確定雙曲線實半軸長a和虛半軸長b,再結合c2=a2+b2,就可得到雙曲線的頂點、焦點坐標,實軸長,虛軸長,焦距,離心率,漸近線等性質.求雙曲線的

2、標準方程也是從“定形”“定式”和“定量”三個方面去考慮.“定形”是指對稱中心在原點,以坐標軸為對稱軸的情況下,焦點在哪條坐標軸上;“定式”是根據“形”設雙曲線方程的具體形式;“定量”是指用定義法或待定系數法確定a,b的值.若雙曲線的焦點在x軸上,可設雙曲線方程為-=1(a0,b0);若雙曲線的焦點在y軸上,可設雙曲線方程為-=1(a0,b0);若焦點位置無法確定,可設雙曲線方程為+=1(mn0)或Ax2+By2=1(AB0,b0)的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點.設A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為()A.-=1

3、B.-=1C.-=1D.-=1解析雙曲線-=1(a0,b0)的離心率為2,e2=1+=4,=3,即b2=3a2,c2=a2+b2=4a2,不妨設點A(2a,3a),B(2a,-3a),=3,漸近線方程為y=x,則點A與點B到直線x-y=0的距離分別為d1=a,d2=a,又d1+d2=6,a+a=6,解得a=,b2=9.雙曲線的方程為-=1,故選A.答案A考向基礎考點二雙曲線的幾何性質標準方程-=1(a0,b0)-=1(a0,b0)一般方程mx2+ny2=1(mn1)漸近線方程y=xy=x【知識拓展】1.過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為.2.P為雙曲線上的點,F1,F2為雙曲線的兩個焦點

4、,且F1PF2=,則F1PF2的面積為.3.焦點到漸近線的距離為b.4.(1)等軸雙曲線:實軸長和虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線.(2)雙曲線為等軸雙曲線雙曲線離心率e=兩條漸近線互相垂直.5.雙曲線-=1(a0,b0)的共軛雙曲線為-=1(a0,b0),它們有共同的漸近線y=x,離心率滿足的關系式為+=1.6.設P,A,B是雙曲線上的三個不同的點,其中A,B關于原點對稱,則直線PA與PB的斜率之積為.考向一求雙曲線的離心率考向突破例3(2018江蘇,8,5分)在平面直角坐標系xOy中,若雙曲線-=1(a0,b0)的右焦點F(c,0)到一條漸近線的距離為c,則其離心率的值是.解析雙曲線的一條

5、漸近線方程為bx-ay=0,則F(c,0)到這條漸近線的距離為=c,b=c,b2=c2,又b2=c2-a2,c2=4a2,e=2.答案2考向二求雙曲線的漸近線方程例4(2019四川成都二診,2)已知雙曲線C:x2-=1(b0)的焦距為4,則雙曲線C的漸近線方程為()A.y=xB.y=2xC.y=3x D.y=x解析雙曲線C:x2-=1(b0)的焦距為4,則2c=4,即c=2,1+b2=c2=4,b0,b=,雙曲線C的漸近線方程為y=x,故選D.答案D考點三直線與雙曲線的位置關系考向基礎1.直線與雙曲線的位置關系:(1)無交點;(2)有一個交點,可能相切,也可能相交;(3)有兩個交點,在一支上或

6、在兩支上.2.研究直線與雙曲線位置關系問題的通法:將直線方程代入雙曲線方程,消元,得關于x或y的方程,當二次項系數等于0時,直線與雙曲線相交于某支上一點;當二次項系數不等于0時,用判別式來判定.考向一由直線與雙曲線的位置關系求參數的取值范圍考向突破例5雙曲線E:-y2=1(a0)的離心率為,直線y=kx-1與雙曲線E的右支交于A,B兩點,則實數k的取值范圍為.解析由得雙曲線E的方程為x2-y2=1.設A(x1,y1),B(x2,y2),由得(1-k2)x2+2kx-2=0,直線與雙曲線的右支交于A,B兩點,即解得1k0,b0,b0,b0)共漸近線的雙曲線方程可設為-=(0);(2)若雙曲線的漸

7、近線方程為y=x,則雙曲線方程可設為-=(0);(3)若雙曲線過兩個已方法技巧知點,則雙曲線方程可設為+=1(mn0),也可設為Ax2+By2=1(AB0,b0),根據雙曲線的定義知2a=|-|=4,故a=2.又b2=32-a2=5,故所求雙曲線的標準方程為-=1.解法二:橢圓+=1的焦點坐標是(0,3).設雙曲線方程為-=1(a0,b0),則a2+b2=9,又點(,4)在雙曲線上,所以-=1,聯立,解得a2=4,b2=5.故所求雙曲線的標準方程為-=1.解法三:設雙曲線的方程為+=1(270,b0)的左、右焦點分別為F1,F2,O為坐標原點,P為雙曲線在第一象限上的點,直線PO,PF2分別交

8、雙曲線C的左,右支于M,N,若|PF1|=3|PF2|,且MF2N=120,則雙曲線的離心率為()A.B.3C.2D.解析由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a,由|PF1|=3|PF2|,可得|PF2|=a,|PF1|=3a,又|PO|=|MO|,|F1O|=|F2O|,所以四邊形PF1MF2為平行四邊形,所以|PF1|=|MF2|=3a,|PF2|=|MF1|=a,因為MF2N=120,所以F1MF2=120,在F1MF2中,由余弦定理,得|MF1|2+|MF2|2-|F1F2|2=2|MF1|MF2|cosF1MF2,即a2+9a2-4c2=-3a2,即13a2=4c2,所以e2=,即e=.答案D例3(2020屆河南南陽一中10月月考,10)已知點O為雙曲線C的對稱中心,直線l1,l2交于O且相互垂直,l1與C交于點A1,B1,l2與C交于點A2,B2,若使得|A1B1|=|A2B2|成立的直線l1,l2有且只有一對,則雙曲線C的離心率的取值范圍是()A.(1,2B.(1,C.,2D.(,+)解析不妨設雙曲線的方程是-=1(a0,b0),由|A1B1|=|A