1、第一章 常微分方程與偏微分方程概論主要內容：常微分方程的基本知識，包括：方程的建立、解的概念、最基本的求解方法等；偏微分方程基本知識，包括數學物理方程的導出，初邊值問題、方程的傅立葉變換等；略微詳細介紹熱傳導方程。第一章 常微分方程與偏微分方程概論主要內容：1.1 常微分方程簡介1.1.1 常微分方程的基本概念牛頓第二定律：其中：m是質量，r是位置向量，t是時間， F是作用于質點的力1.1 常微分方程簡介其中：m是質量，r是位置向量，t是時間牛頓引力定律：其中：G是萬有引力常數，M與m是一對相互吸引的質點，r是從M到m的向量，r|r|是與r同向的單位向量牛頓引力定律：其中：G是萬有引力常數，M

2、與m是一對相互吸引的這就是描述行星運動的微分方程微分方程中未知函數只出現一個自變量。求解方程，可引入極坐標變換，令 u = 1r這就是描述行星運動的微分方程微分方程中未知函數只出現一個則得到下面的二階常系數線性微分方程：u0 , q0是由初始條件確定的2個常數。則得到下面的二階常系數線性微分方程：u0 , q0是由初始條1.1.2 一些典型的常微分方程一、可分離變量的方程具有如下形式：可轉化為1.1.2 一些典型的常微分方程可轉化為兩邊對x積分（如果可能的話）得 G(y) + C1 = F(x) + C2即 G(y) = F(x) + C兩邊對x積分（如果可能的話）得二、齊次方程具有如下形式作

3、變量替換，令 u = yx y = ux是可分離變量的方程二、齊次方程作變量替換，令 u = yx y = 三、線性變系數方程具有如下形式（一階）相應的齊次方程顯然是個可分離的方程三、線性變系數方程相應的齊次方程顯然是個可分離的方程積分得通解 yh(x) = Cexp-P(x)其中：定義積分因子則 m(x) yh(x) = C積分得通解定義積分因子兩邊求導對于q(x) 0 時 m(x) y(x)= C 不成立。但由上面的推導，可有兩邊求導對于q(x) 0 時 m(x) y(x)= C 對上式積分得即有對上式積分得即有伯努利方程作變換，令 u = y1-n伯努利方程作變換，令 u = y1-nn

4、 階常系數線性微分方程其中，a0,an均為常數。先考慮齊次情形令 y = elx 代入得n 階常系數線性微分方程其中，a0,an均為常數。令 解這個方程得 l = l1,ln 若 lilj , i j方程通解為若某個lj是 h 重根，則對應還有如下的h個解可以證明上面兩種形式的解都是線性無關的，它們的任意線性組合都是齊次方程的通解。解這個方程得若某個lj是 h 重根，則對應還有如下的h個解可下面考慮非齊次情形，任取上述一個根，令令 dzdx = u下面考慮非齊次情形，任取上述一個根，令令 dzdx = 這樣，方程降了一階，但還是常系數，經過有限次降階、積分，可得非齊次方程的一個特解 y = y

5、0(x)則，原方程通解為這樣，方程降了一階，但還是常系數，經過有限次降階、積分，可得1.2 偏微分方程的導出與定解1.2.1 偏微分方程的概念未知函數含有多個自變量，方程中出現多元函數對不同自變量的各階偏導數，這樣的微分方程稱為偏微分方程（數學物理方程）。幾乎所有的研究對象，包括天文、物理等領域的物體運動、狀態變化等都不可能只受一個因素的影響，它們往往與位置、時間、溫度等諸多因素相關，因此必須用偏微分方程才能描述和求解。1.2 偏微分方程的導出與定解但是，偏微分方程十分復雜，即使是線性的也會復雜到難以處理的程度。至于非線性方程，也只能針對具體問題，提出個別的解決方法。所以，在數學上無法建立起偏

6、微分方程研究的一般性理論。但是，偏微分方程十分復雜，即使是線性的也會復雜到難以處理的程1.2.2 幾個典型的數學物理方程熱傳導方程（溫度分布）擴散方程（化學物質在溶液中的濃度）其中 a0，a2 = kQ ，k是傳熱系數，Q是熱容量。1.2.2 幾個典型的數學物理方程其中 a0，a2 = k拉普拉斯方程調和方程當物體的溫度處于熱穩定狀態（真空中靜止的電磁場。經典的引力場、或流體的某種穩定狀態）拉普拉斯方程調和方程波動方程當聲波在空氣中傳播時，如果 u 表示壓強的小擾動，a0 是聲音（電磁波或其他波動）在空氣中的傳播速度波動方程1.2.3 初邊值問題對于最典型的求解問題是初始值問題柯西問題即：求波

7、動方程的解 u ，使其滿足初始條件u0(x, y, z)和u1(x, y, z),表示在t = 0時波的形狀和關于t 的變化率。1.2.3 初邊值問題u0(x, y, z)和u1(x, y一維情形弦振動方程初始條件作變換 x = x - at , h = x + at方程變為一維情形弦振動方程初始條件作變換且通解為 u = f (x - at) + g (x + at)其中f與g是任意兩個具有連續二階導數的函數。并由初始條件，就得到下面弦振動的達朗貝爾（dAlembert）公式且通解為高維情形，把(x，y，z)記 x = (x1, x2, x3), x= (x1, x2, x3 )利用傅立葉變

8、換（Fourier）其中 x x = x1 x1 + x2 x2 + x3 x3高維情形，把(x，y，z)記且當 f 滿足一定條件時有Fourier逆變換另外有且當 f 滿足一定條件時有Fourier逆變換另外有對于下面方程，利用Fourier變換對于下面方程，利用Fourier變換變成解常微分方程的初值問題，解得其中做Fourier逆變換，得泊松（Poisson）公式變成解常微分方程的初值問題，解得其中其中ds1（dsat）是球面 | l |=1（| l |=at）的面積元素。其中ds1（dsat）是球面 | l |=1（| l |=a1.3 熱傳導方程初值問題的求解兩邊關于x 做Fouri

9、er變換1.3 熱傳導方程初值問題的求解兩邊關于x 做Fourier解常微分方程得若記且有從而解常微分方程得若記同理同理代入得其中通常稱K(x - x ,t - t)為熱傳導方程基本解，且當f(x,t)0、j(x)適合一定條件時，可證明泊松公式是給出的初值問題解。代入得1.4 二階偏微分方程的分類與化簡1.4.1 二階偏微分方程的分類三個典型的二階偏微分方程的標準形式：（波動方程）（熱傳導方程）（位勢方程）1.4 二階偏微分方程的分類與化簡（波動方程）其中 ：f是 (x1,xm)或 (x1,xm,t)的函數，a為常數， 是Laplace算子。二階偏微分方程的一般形式：其中 aij= aji、b

10、、c、f 都是 (x1,xm)的函數。其中 ：f是 (x1,xm)或 (x1,xm,t)的用A表示矩陣（aij)i,j=1,2,.,m對于波動方程，取 m = n+1, t = xn+1用A表示矩陣（aij)i,j=1,2,.,m對于熱傳導方程，取 m = n+1, t = xn+1對于熱傳導方程，取 m = n+1, t = xn+1對于位勢方程，取 m = n對于位勢方程，取 m = n如果A是個常系數矩陣，由于它是對稱的，所以，一定存在一個正交矩陣 T ，使得 TTAT是對角陣，且對角線上的元素就是A的特征值。位勢方程：A的特征是都是正（或負）的，即A是正定的或負定的；熱傳導方程：A的特

11、征值有一個為0，其它的都為正（或負）的，即A是非負（或非正）的；波動方程：A的特征值除了一個為正（負）外，其它的都是負（正）的，即A是不定的。如果A是個常系數矩陣，由于它是對稱的，所以，一定存在一個正交設 x0(x01,.,x0m)是空間中一點，A(x0)表示矩陣A在x0點的值定義：若A(x0)的m個特征是全是正（或負），稱方程在x0點是橢圓型的；若A(x0)的特征是除了一個為0外全是正（或負）的，稱方程在x0點是拋物型的；若A(x0)的特征值除了一個為負（或正）外，其它 m-1個全是正（或負）的，稱方程在x0點是雙曲型的。如果對于區域W上每一個點，方程是橢圓型的，則稱方程在區域W上是橢圓型的

12、。類似有拋物型的和雙曲型的。設 x0(x01,.,x0m)是空間中一點，A(x0)表定理：如果方程的二階項系數aij 是常數，即A是常數矩陣，且它屬于橢圓型 （拋物型、雙曲型）方程，那么一定可以通過一個非奇異的自變量代換，把方程的二階項化為三個標準形式。定理：如果方程的二階項系數aij 是常數，即A是常數矩陣，且1.4.2 二階偏微分方程的化簡定義：稱m維空間中的一張曲面S=j (x1,xm)=0為二階偏微分方程一般形式的特征曲面，如果曲面S的每一個點，有定義：對于固定點 x0 = (x10,xm0) ，如果過該點的方向 l = (a1, am) 滿足特征方程則稱 l 為該點的特征方向。1.4

13、.2 二階偏微分方程的化簡定義：對于固定點 x0 = 由于 表示曲面j(x1,xm)=0的法向，所以特征曲面就是每點的法向為該點特征方向的曲面。怎樣求特征方向和特征曲面，總假設 ai2 = 1即取ai為特征方向的方向余弦。由于 表示曲面j(x1,x例：熱傳導方程的特征方程為 a12 + a22 + a32 = 0由假設有 a02 + a12 + a22 + a32 = 1從而 a02 = 1因此特征曲面為超平面 t = 常數例：熱傳導方程例：對于兩個自變量的二階線性偏微分方程其特征方程為 a11a12 + 2a12a1a2 + a22a22 = 0 滿足上述關系的方向(a1, a2)為特征方向

14、，其特征線 j(x, y) = 0例：對于兩個自變量的二階線性偏微分方程滿足 a11jx2 + 2a12jx jy + a22jy2 = 0 *求解這個方程。對 j(x,y) = 0微分并代入上式 jxdx + jydy = 0 jx = - jydydx a11dy2 - 2a12dxdy + a22dx2 = 0 *偏微化為常微，求出 * 的一族積分曲線j1(x, y) = C則，z = j1(x, y)是*方程的解。滿足偏微化為常微，求出 * 的一族積分曲線求*的積分曲線，將它分解為兩個方程此時在(x0, y0)的近旁有三種情況，記 0 = a122-a11a22 = 0 0求*的積分曲

15、線，將它分解為兩個方程此時在(x0, y0)的即，在 (x0,y0)近旁0 此時*有兩族不同的實積分曲線 j(x,y) = C和 y(x,y) = C引入自變量 x= j(x,y) , h= y(x,y) *由*可看出-jx jy、 -yx yy是二次方程 a11l2 + 2a12l+ a22 = 0 兩個不同實根，從而即，上述自變量變換是可逆的。即，在 (x0,y0)近旁0 此時*有兩族不同的實積分由于ux = uxxx+uhhxuy= uxxy+uhhyuxx = uxxxx2+2uxhxxhx+uhhhx2+uxxxx+uhhxxuxy = uxxxxxy+uxh(xxhy +xyhx)

16、 + uhhhxhy + uxxxy+uhhxyuyy = uxxxy2+2uxhxyhy+uhhhy2+uxxyy+uhhyy原方程化為 b11uxx+ 2b12uxh+ b22uhh+ c1ux+ c2uh+Du = f由于其中b11= a11xx2 + 2a12xxxy + a11xy2 b12 = a11xxhx + a12 (xxhy +xyhx )+ a22xyhy b22 = a11hx2 + 2a12hxhy + a11hy2 由*和*知 b11=b22=0, * = b122 - b11b12= *J2故b120從而原方程化為其中如果令 x= (s + t) 2 , h=(s - t) 2方程最終化為如果令1.5 與圖像處理有關的偏微分方程的例子幾個常用的與圖像