1、自動控制原理杭州電子科技大學“自動控制原理精品課程課題組2021.122006年度浙江省精品課程第七章 線性離散系統的分析7.1 引言7.2 信號的采樣與保持7.3 z變換理論7.4 脈沖傳遞函數7.5 離散系統的穩定性和穩態誤差7.6 離散系統的動態性能分析7-4 脈沖傳遞函數一、脈沖傳遞函數的定義1. 脈沖傳遞函數：零初始條件下，線性定常離散系統輸出采樣信號的z變換與輸入采樣信號的z變換之比。虛擬采樣開關2. 單個環節脈沖傳遞函數的推導當輸入信號為如下的脈沖序列時 根據疊加原理，輸出信號為一系列脈沖響應之和，即在t=kT 時刻，輸出的脈沖值為根據卷積定理，可得上式的z變換注意：經虛設采樣開

2、關得到的脈沖序列 反映的是連續輸出 在采樣時刻的瞬時值。 脈沖傳遞函數給出的是兩個離散信號之間的傳遞關系。可見：(1) 脈沖傳遞函數是系統單位脈沖響應g(t)經采樣后離散信號g *(t)的z變換。(2) 系統響應速度越快，g(t)衰減越快，G(z)展開式中包含項越少。 (3) 如果R(z)和G(z)，那么在零初始條件下，線性定常離散系統的輸出采樣信號為：例7-10：系統結構如以下圖所示，其中連續局部的傳遞函數為 求該系統的脈沖傳遞函數 。解一：連續局部的脈沖響應函數為解二： 查表得脈沖傳遞函數為3串聯環節的脈沖傳遞函數1串聯環節間無采樣開關時的脈沖傳遞函數例7-11：系統結構如上圖所示，求開環

3、脈沖傳遞函數，其中 解：(2)串聯環節間有采樣開關且同步時的脈沖傳遞函數此時，脈沖傳遞函數為各個連續環節z變換的乘積。取z變換例7-12：系統結構如上圖所示，求開環脈沖傳遞函數，其中解：所以由于3有零階保持器時的脈沖傳遞函數中間無采樣開關 例7-13：系統結構如上圖所示，采樣周期為1秒，求其開環脈沖傳遞函數。其中解：4.閉環脈沖傳遞函數于是閉環系統的脈沖傳遞函數和誤差脈沖傳遞函數為取z變換例7-14：閉環采樣系統的結構如上圖所示，采樣周期為1秒，求閉環脈沖傳遞函數。其中 假設 ，求 。解：那么輸出信號的z變換為所以對于階躍輸入函數有幾點說明：不是所有的閉環系統都能寫出閉環脈沖傳遞函數。由于系統

4、中采樣開關數目和位置的不同，有的系統只能給出輸出的z變換；如果在E(s)處存在采樣開關，一般可以寫出閉環脈沖傳遞函數。對于一個等式中含有的離散信號取z變換時，可以單獨取。數字控制系統 7.5 離散系統的穩定性和穩態誤差一、穩定性1 從s平面到z平面的映射關系由z變換的定義假設令那么有可見：虛軸映射為單位圓實部為零左半平面映射為單位圓內實部小于零右半平面映射為單位圓外實部大于零s平面上虛軸在z平面上的映象系統的特征根為 即為閉環傳遞函數極點2 Z域的穩定條件和穩定性判據對于以下圖所示的采樣控制系統，其特征方程式為結論：閉環采樣系統穩定的充分必要條件是，系統特征方程的所有根均分布在z平面的單位圓內

5、，或者所有根的模均小于1，即用直接求解特征根的方法判斷系統穩定性往往比較困難。在分析連續系統時，曾應用Routh穩定判據判斷系統的特征根位于s右半平面的個數，并依此來判斷系統的穩定性。對于采樣系統，也可用Routh判據分析其穩定性，但由于在z域中穩定區域是單位圓內，而不是左半平面，因此不能直接應用Routh判據。雙線性變換可建立z平面單位圓與變換后坐標系虛軸之間的對應關系。 3 雙線性變換W變換 那么令復變量 可見：對于w平面上的虛軸，實部u=0，即 單位圓內x2+y21，對應于w平面上u為負數的虛軸左半部；單位圓外x2+y21，對應于w平面上u為正數的虛軸右半部。 z平面上單位圓的方程說明：

6、對于本例的二階系統，如果沒有采樣作用，那么不管K取何值，系統都是穩定的；但引入采樣以后，系統可能不穩定。采樣周期越長，系統穩定性越差。二、數字控制系統穩態誤差設單位反響采樣控制系統如以下圖所示 與連續系統類似，系統的誤差：在離散系統中，也可把開環傳遞函數G(z)具有z = 1的極點數，作為劃分系統型別的標準。把G(z)中 =0，1，2的系統稱為0型、型和型離散系統等。在連續系統中，如果開環傳遞函數G(s)具有 個s = 0的極點，那么由z = eTs可知相應G(z)必有 個z = 1的極點。設閉環系統穩定，根據終值定理可以求出在輸入信號作用下采樣系統的穩態誤差終值例7-15：系統的結構如下圖，其中采樣周期為0.2s，求在輸入信號 的作用下，系統的穩態誤差。解：采樣系統的閉環特征方程為采樣系統的開環脈沖傳遞函數為雙線性變換：系統穩定。在階躍和斜坡函數作用下的穩態誤差為零，靜態加速度誤差系數為因此，在輸入 作用下的穩態誤差為7.6 離散系統的動態性能分析例7-16 設采樣系統如以下圖所示，采樣周期T=0.1s，大致繪出系統階躍響應曲線 解：閉環脈沖傳遞函數為 系統的階躍響應為用長除法得 輸出信號的脈沖序列將c*(t)在各采樣時刻的值用“*標于圖上，光滑地連接圖中各點，便得到了系統輸出相應曲線c(t)的大致波形。由該波形曲