1、平穩隨機過程的譜分析第1頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三第三章 平穩隨機過程的譜分析重點及其要求：（1）平穩過程的自相關函數與功率譜密度之間、聯合平穩過程的互相關函數與互譜密度之間皆互為傅立葉變換，知其一可求其二，并能求出平均功率、互功率。（2）對功率譜密度、互譜密度的定義及性質要熟記，以便靈活運用，解決有關問題。第2頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三3.1 隨機過程的譜分析（一）隨機過程的功率譜密度 隨機過程X(t)的樣本函數x(t)不滿足傅立葉變換絕對可積條件。盡管x(t)的總能量是無限的，但其平均功率卻是有限的。 過程的樣本函數x(t)的截取函數

2、定義為第3頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三3.1 隨機過程的譜分析 當T為有限值時，截取函數滿足絕對可積條件，其傅立葉變換存在，則有顯然xT(t)也應滿足帕賽瓦定理，即 對上式作集平均、時間平均處理后，可得到隨機過程的平均功率為第4頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三3.1 隨機過程的譜分析 由此得到兩個重要結論：（1） 若過程X(t)是平穩的，則有（2）設則有 我們稱SX()為隨機過程X(t)的功率譜密度函數。對平穩過程X(t)，則有第5頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三3.1 隨機過程的譜分析（二）功率譜密度與復頻率面 為了系統分

3、析的方便，有時用復頻率 來代替實頻率變量，于是，功率譜密度便是復變量S的函數，記為 。 最簡單的情況就是， ，此時記 ；當用-jS代替時，功率譜密度應記為 或 。 有時也用復頻率面上的零、極點圖來研究功率譜密度。第6頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三3.1 隨機過程的譜分析 例3.1 設復隨機過程 其中a和0皆為實常數，是均勻分布在區間（0,/2）上的隨機變量。試求X(t)的平均功率。 解：因為X(t)的均方值 是時間t的函數，故X(t)不是寬平穩的。可以求得X(t)的平均功率第7頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三3.1 隨機過程的譜分析 例3.2 設

4、解：用=-js代入得 求用復頻率s=j表示的SX(s)第8頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三習 題 3.1 設平穩隨機過程X(t)的功率密度為 求用復頻率s=j表示的SX(s)，并在復頻率面上畫出SX(s)的零、極點圖。第9頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三3.2平穩隨機過程的功率譜密度性質（一）平穩過程X(t)的功率譜密度的性質(1).(2). 功率譜密度SX()是的實函數。(3).(4). SX()可積(5). (6). 在平穩過程中，有一大類過程，其功率譜密度是的有理函數，即式中S00,MN,此外，分母應該無實數根。第10頁，共33頁，2022年，

5、5月20日，7點3分，星期三3.2平穩隨機過程的功率譜密度性質例3.3 考慮一個廣義平穩隨機過程X(t)，具有功率譜密度為解：現在我們用復頻率的方法來求 。首先令s=j,得求過程的均方值利用留數定理，考慮沿著左半平面上的一個半徑為無窮大的半圓積分第11頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三3.2平穩隨機過程的功率譜密度性質 左半平面有兩個極點，在1和3處，于是，可以分別計算兩個極點的留數為故第12頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三習 題3.2 已知平穩隨機過程X(t)，具有功率譜密度為求過程的均方值第13頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三

6、3.3平穩隨機過程的功率譜密度與自相關函數之間的關系（一）關系式 經分析，隨機過程自相關函數的時間均值與過程功率譜密度之間構成了傅立葉變換對，即 若平穩過程滿足第14頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三3.3平穩隨機過程的功率譜密度與自相關函數之間的關系 利用 的偶函數特性，維納辛欽定理還可以表示為： 則有第15頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三3.3平穩隨機過程的功率譜密度與自相關函數之間的關系（二）例解 例3.4 設平穩過程X(t)的自相關函數為 其中a,0均為常數。求該過程的功率譜密度。解： 第16頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期

7、三3.3平穩隨機過程的功率譜密度與自相關函數之間的關系 例3.4 設平穩過程X(t)的功率譜密度為 求該過程的自相關函數和平均功率Q.解：利用留數定理，可求得第17頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三習 題 3.3 設隨機過程Y(t)=aX(t)sin0t,其中a, 0皆為常數，X(t)為具有功率譜密度SX()的平穩過程。求過程Y(t)的功率譜密度。3.4 已知平穩隨機過程X(t),具有功率譜密度為求過程的自相關函數和均方值。第18頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三3.4 離散時間隨機過程的功率譜密度（一）離散時間隨機過程的功率譜密度 設X(n)為寬平穩離

8、散時間隨機過程，其自相關函數RX(m)滿足定義1 X(n)的功率譜密度SX()為RX(m)的離散傅立葉變換，即它是周期連續函數，其周期為2q(即Nyquist頻率)，即第19頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三3.4 離散時間隨機過程的功率譜密度 且有 在離散時間系統分析中，有時用Z變換更為方便，所以也用廣義平穩離散時間隨機過程的功率譜密度定義為RX(m)的Z變換。第20頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三3.4 離散時間隨機過程的功率譜密度定義2 X(n)的功率譜密度 為 的Z變換 顯然有 RX(m)則為 的逆Z變換，即 式中D為收斂區中的簡單閉合圍線。第

9、21頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三3.4 離散時間隨機過程的功率譜密度（二）平穩過程的采樣定理 若零均值的限帶平穩過程X(t)的功率譜密度為在采樣周期 時，可將X(t)按其振幅采樣展開為此式就是平穩過程的采樣定理。第22頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三3.4 離散時間隨機過程的功率譜密度（三）功率譜密度的采樣定理 若平穩連續時間實隨機過程X(t)，其自相關函數和功率譜密度分別以 記；對X(t)采樣后，所得離散時間隨機過程X(n)=X(nT)，X(n)的自相關函數和功率譜密度分別用 表示，則有上式就是功率譜密度的采樣定理。第23頁，共33頁，2022

10、年，5月20日，7點3分，星期三3.4 離散時間隨機過程的功率譜密度（四）例解 例3.5 設平穩離散時間隨機過程X(n)的自相關函數為求X(m)的功率譜密度解：上式等號右邊第一個和式在 處收斂為第二個和式在 處收斂為 故我們得到第24頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三3.4 離散時間隨機過程的功率譜密度 故我們得到則若T=1時，上式變為第25頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三3.5 互譜密度（一）互譜密度 設X(t),Y(t)為聯合平穩隨機過程，若 分別為 的傅立葉變換，則可定義這兩個過程的互譜密度為 于是兩個隨機過程X(t)和Y(t)的互功率為第26頁

11、，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三3.5 互譜密度（二）互譜密度與互相關函數的關系 對于兩個實隨機過程X(t),Y(t)有 若實過程X(t)、Y(t)聯合平穩，則有第27頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三3.5 互譜密度（三）互譜密度的性質 互功率譜密度和功率譜密度不同，它不再是頻率的正的、實的和偶函數。下面我們不加證明地列出互譜密度的若干性質。（1）（2） 互譜密度的實部ReSXY()、 ReSYX()為的偶函數，其虛部ImSXY()、 ImSYX()為的奇函數。第28頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三3.5 互譜密度 （3）若隨機過

12、程X(t)與Y(t)正交，則有（4）若隨機過程X(t)與Y(t)是兩個不相關的，均值分別為mX和mY平穩隨機過程，則（5）第29頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三3.5 互譜密度（四）例解 例3.6 已知隨機過程Z(t)為。 其中a和b皆為實數，X(t)和Y(t)是各自平穩且聯合平穩的隨機過程。試求： （1）過程Z(t)的功率譜SZ(); （2）過程X(t) 和Y(t)不相關時的SZ(); （3）互譜密度SXZ()和SYZ().第30頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三3.5 互譜密度 解： （1）過程Z(t)的均值、互相關函數分別為 所以Z(t)也是寬平穩過程，它的功率譜密度為第31頁，共33頁，2022年，5月20日，7點3分，星期三3.5 互譜密度 （2）平穩過程X(t)與Y(t)不相關時