1、如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!統(tǒng)計(jì)計(jì)算課程設(shè)計(jì)題目基于蒙特卡洛方法求數(shù)值積分中文摘要蒙特卡洛方法，又稱隨機(jī)抽樣或統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法，屬于計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它是在上世紀(jì)四十年代中期為了適應(yīng)當(dāng)時(shí)原子能事業(yè)的發(fā)展而發(fā)展起來(lái)的。傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)方法由于不能逼近真實(shí)的物理過(guò)程，很難得到滿意的結(jié)果，而蒙特卡羅方法由于能夠真實(shí)地模擬實(shí)際物理過(guò)程，故解決問(wèn)題與實(shí)際非常符合，可以得到很圓滿的結(jié)果。利用隨機(jī)投點(diǎn)法，平均值法，重要性采樣法，分層抽樣法，控制變量法，對(duì)偶變量法，如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!關(guān)鍵字蒙特卡洛隨機(jī)投點(diǎn)法平均值法R軟件關(guān)鍵字蒙特卡洛隨機(jī)

2、投點(diǎn)法平均值法R軟件運(yùn)用R軟件求=J】e-xdx,0給出精度與樣本量的關(guān)系，0二J4e-xdx和91dx數(shù)值積分。計(jì)算以上各種估計(jì)的方差,201+x2比較各種方法的效率，如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!1緒論蒙特卡洛的基本思想是，當(dāng)所求解問(wèn)題是某種隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的期望值時(shí)，通過(guò)某種“實(shí)驗(yàn)”的方法，以這種事件出現(xiàn)的頻率估計(jì)這一隨機(jī)事件的概率，或者得到這個(gè)隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征，并將其作為問(wèn)題的解。蒙特卡洛方法解題過(guò)程的三個(gè)主要步驟：（1）構(gòu)造或描述概率過(guò)程對(duì)于本身就具有隨機(jī)性質(zhì)的問(wèn)題，如粒子輸運(yùn)問(wèn)題，主要是正確描述和模擬

3、這個(gè)概率過(guò)程，對(duì)于本來(lái)不是隨機(jī)性質(zhì)的確定性問(wèn)題，比如計(jì)算定積分，就必須事先構(gòu)造一個(gè)人為的概率過(guò)程，它的某些參量正好是所要求問(wèn)題的解。即要將不具有隨機(jī)性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)性質(zhì)的問(wèn)題。（2）實(shí)現(xiàn)從已知概率分布抽樣構(gòu)造了概率模型以后，由于各種概率模型都可以看作是由各種各樣的概率分布構(gòu)成的，因此產(chǎn)生已知概率分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量），就成為實(shí)現(xiàn)蒙特卡洛方法模擬實(shí)驗(yàn)的基本手段，這也是蒙特卡洛方法被稱為隨機(jī)抽樣的原因。最簡(jiǎn)單、最基本、最重要的一個(gè)概率分布是（0，1）上的均勻分布（或稱矩形分布）。隨機(jī)數(shù)就是具有這種均勻分布的隨機(jī)變量。隨機(jī)數(shù)序列就是具有這種分布的總體的一個(gè)簡(jiǎn)單子樣，也就是一個(gè)具有這種分布的

4、相互獨(dú)立的隨機(jī)變數(shù)序列。產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的問(wèn)題，就是從這個(gè)分布的抽樣問(wèn)題。在計(jì)算機(jī)上，可以用物理方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，但價(jià)格昂貴，不能重復(fù)，使用不便。另一種方法是用數(shù)學(xué)遞推公式產(chǎn)生。這樣產(chǎn)生的序列，與真正的隨機(jī)數(shù)序列不同，所以稱為偽隨機(jī)數(shù)，或偽隨機(jī)數(shù)序列。不過(guò)，經(jīng)過(guò)多種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)表明，它與真正的隨機(jī)數(shù)，或隨機(jī)數(shù)序列具有相近的性質(zhì)，因此可把它作為真正的隨機(jī)數(shù)來(lái)使用。由已知分布隨機(jī)抽樣有各種方法，與從（0,1）上均勻分布抽樣不同，這些方法都是借助于隨機(jī)序列來(lái)實(shí)現(xiàn)的，也就是說(shuō)，都是以產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)為前提的。由此可見，隨機(jī)數(shù)是我們實(shí)現(xiàn)蒙特卡洛模擬的基本工具。（3）建立各種估計(jì)量一般說(shuō)來(lái)，構(gòu)造了概率模型并能從中抽樣后，即

5、實(shí)現(xiàn)模擬實(shí)驗(yàn)后，我們就要確定一個(gè)隨機(jī)變量，作為所要求的問(wèn)題的解，我們稱它為無(wú)偏估計(jì)。建立各種估計(jì)量，相當(dāng)于對(duì)模擬實(shí)驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行考察和登記，從中得到問(wèn)題的解。2方法介紹2.1隨機(jī)投點(diǎn)法隨機(jī)投點(diǎn)法是進(jìn)行n次試驗(yàn)，當(dāng)n充分大的時(shí)候，以隨機(jī)變量k/n作為期望值E(X)的近似估計(jì)值，即E(X)沁p=k/n其中k是n次實(shí)驗(yàn)中成功的次數(shù)。若一次投點(diǎn)試驗(yàn)的成功概率為P，并以v(1,表明試驗(yàn)成功Aio,表明試驗(yàn)失敗則一次試驗(yàn)成功的均值與方差為E(X.)-1-p+0-(1-p)-piVar(X)-12-p+02(1-p)-p2-p(1-p)i若進(jìn)行n次試驗(yàn)，其中k次試驗(yàn)成功，則k為具有參數(shù)為(n,p)的二項(xiàng)分布，

6、此時(shí)，隨機(jī)變量k的估計(jì)為pk/n顯然，隨機(jī)變量的均值和方差滿足E(p)-E-1E(k)-pVn丿nVar(p)-ddn設(shè)計(jì)算的定積分為I-f血fdx，其中a,b為有限數(shù)，被積函數(shù)f(x)是連續(xù)隨機(jī)a變量g的概率密度函數(shù)，因此f(x)滿足如下條件：f(x)非負(fù)，且Jf(x)dx=1-g顯然I是一個(gè)概率積分，其積分值等于概率P(ab)。F面按給定分布f(x)隨機(jī)投點(diǎn)的辦法，給出如下MonteCarlo近似求積算法：產(chǎn)生服從給定分布的隨機(jī)變量值，i=l,2,N;檢查x是否落入積分區(qū)間。如果條件axb滿足，則記錄x落入積分區(qū)間iii一次。假設(shè)在N次實(shí)驗(yàn)以后，落入積分區(qū)間的總次數(shù)為n,那么用作為概率積分

7、的近似值，即I2.2平均值法任取一組相互獨(dú)立、同分布的隨機(jī)變量，g在a,b內(nèi)服從分布率p(x)，令,ii則也是一組相互獨(dú)立、同分布的隨機(jī)變量，而且E百*()=fp*(x)p(x)dx=Jiaa由強(qiáng)大數(shù)定理plim蘭p*(g)=I=1NT8N.i若記丄蘭p噸)=I，則依概率1收斂到I,平均值法就是用門乍為I的近似值。Nii=1假如所需計(jì)算積分為I=Jf(xx，其中被積函數(shù)在a,b內(nèi)可積，任意選擇一個(gè)a有簡(jiǎn)單辦法可以進(jìn)行抽樣的概率密度函數(shù)p(x)，使其滿足條件：p(x)h0,當(dāng)f(x)h0時(shí)(ax0,可取g(x)=cf(x),當(dāng)c=1/I時(shí)就有Var(I)=0.般應(yīng)選取和f(x)相似的密度函數(shù)g(

8、x)，使f(x)/g(x)接近于常數(shù)，故而Var(I)接近于0，以達(dá)到降低模擬實(shí)驗(yàn)的方差，這種減少方差的模擬試驗(yàn)法為重要抽樣法。2.4分層抽樣法分層抽樣法是利用貢獻(xiàn)率大小來(lái)降低估計(jì)方差的方法。它首先把樣本空間D分成一些不交的小區(qū)間D=U，然后在各個(gè)小區(qū)間內(nèi)的抽樣數(shù)由其貢獻(xiàn)大小決定。即，定義pf(xx，則D內(nèi)的抽樣數(shù)n應(yīng)與p成正比。iiiiDi考慮積分0=/f(xx將0,1分成m個(gè)小區(qū)間：0則0=Jf(x=ff(x=瓦Ii0i=1ai=1i-1記l=a-a為第i個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度，i=1,2,.,m，在每個(gè)小區(qū)間上的積分值iii-1可用均值法估計(jì)出來(lái)，然后將其相加即可給出0的一個(gè)估計(jì)。具體步驟為：1

9、)獨(dú)立產(chǎn)生U(0，1)隨機(jī)數(shù)u,j=1,.ij2)計(jì)算x=a+1u,j=1,.iji-1iij3)計(jì)算i=丄iLf(x)nijij=1于是0的估計(jì)為0八=i,ii=1其方差為Var(0)=1空n其中，i-1I2ili2.5對(duì)偶變量法控制變量法利用數(shù)學(xué)上積分運(yùn)算的線性特性：Jf(xI/x=Jf(x)-g(x)Lx+fg(x選擇函數(shù)g(x)時(shí)要考慮到：g(x)在整個(gè)積分區(qū)間都是容易精確算出，并且在上式右邊第一項(xiàng)的運(yùn)算中對(duì)(f-g)積分的方差應(yīng)當(dāng)要比第二項(xiàng)對(duì)f積分的方差小。如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!s

10、1(107)s1(107)i=1在應(yīng)用這種方法時(shí)，在重要抽樣法中所遇到的，當(dāng)g(x)趨于零時(shí)，被積函數(shù)(f-g)趨于無(wú)窮大的困難就不再存在，因而計(jì)算出的結(jié)果穩(wěn)定性比較好。該方法也不需要從分布密度函數(shù)g(x)，解析求出分布函數(shù)G(x)。由此我們可以看出選擇g(x)所受到的限制比重要抽樣法要小些。模擬過(guò)程：1)獨(dú)立產(chǎn)生U(0,1)隨機(jī)數(shù)u,j=1,.ij0=-工f(1-X)5nii=12)計(jì)算0二丄工f(x)5nii=13)計(jì)算0=.050=-ii2n2i=12.6控制變量法通常在蒙特卡洛計(jì)算中采用互相獨(dú)立的隨機(jī)點(diǎn)來(lái)進(jìn)行計(jì)算。對(duì)偶變量法中卻使用相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)來(lái)進(jìn)行計(jì)算。它利用相關(guān)點(diǎn)間的關(guān)系可以是正關(guān)聯(lián)

11、的，也可以是負(fù)關(guān)聯(lián)的這個(gè)特點(diǎn)。兩個(gè)函數(shù)值fi和f2之和的方差為Vf+f=Vf+Vf+2E(f-EfXf-Ef)12121122如果我們選擇一些點(diǎn)，它們使f和f是負(fù)關(guān)聯(lián)的。這樣就可以使上12式所示的方差減小。當(dāng)然這需要對(duì)具體的函數(shù)f和f有充分的了解121)獨(dú)立產(chǎn)生U(0,1)隨機(jī)數(shù)u,j=1,.ij2)計(jì)算1=n為f(xi)，找皿他)是相關(guān)的，且Eg(x)=卩i=13)計(jì)算0=0+九1(g(x)一卩)62ni3程序及實(shí)現(xiàn)結(jié)果9=i1e-xdx的求解0隨機(jī)投點(diǎn)法先利用R軟件產(chǎn)生服從0,1上均勻分布的隨機(jī)數(shù)X,Y,，計(jì)算yf(x)的個(gè)數(shù),即事件發(fā)生的頻數(shù)，求出頻率，即為積分的近似值。R程序s1-fu

12、nction(n)f-function(x)exp(-x)a-0b-1x-runif(n)y-runif(n)m-sum(yf(x)j=m/nvar-1/n*var(yf(x)lis-list(j,var)return(lis)s1(104)s1(105)s1(10飛)如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!p1(104)對(duì)模擬次數(shù)n調(diào)試了4次，分別為n4,n5,n6,n7，得到精確值和模擬值。表3.1.1隨機(jī)投點(diǎn)法的模擬次數(shù)和模擬值模擬值0.62690.632350.6325030.6319298方差2.3

13、2599e-052.32414e-062.32713e-072.32477e-08精確值為0.63212063.1.2平均值法先用R軟件產(chǎn)生n個(gè)服從0,1上均勻分布的隨機(jī)數(shù)x，計(jì)算f(x)，再ii計(jì)算f(x)的平均值，即為定積分的近似值iR程序p1-function(n)f-function(x)exp(-x)a-0b-1x-runif(n)y-mean(f(x)var-1/n*var(f(x)lis-list(y,var)return(lis)pl(105)pl(10飛)pl(lOS)對(duì)模擬次數(shù)n調(diào)試了4次，分別為n4,n5,n6,n7，得到精確值和模擬值。表3.1.2平均值法的模擬次數(shù)和模

14、擬值n104105106107模擬值0.63101170.63226430.63181990.632079方差3.25430e-063.27162e-073.2805e-083.27536e-09精確值為0.63212063.1.3重要性抽樣法R程序z1-function(n)x-1-(sqrt(1-r)f-function(x)exp(-x)g-function(x)(2*(1-x)r-runif(n)s=mean(f(x)/g(x)var-1/n*var(f(x)/g(x)lis-list(s,var)return(lis)如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請(qǐng)

15、點(diǎn)擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!psum(y(x)psum(y(x)f1(10,20)zl(104)zl(105)z1(10飛)zl(107)對(duì)模擬次數(shù)n調(diào)試了4次，分別為n4,n5,n6,n7，得到精確值和模擬值。表3.1.3重要性抽樣法法的模擬次數(shù)和模擬值n104105106107模擬值0.61348190.61348190.61348190.6134819方差7.06957e-067.06957e-077.06957e-087.06957e-09精確值為0.63212063.1.4分層抽樣法R程序f1-function(n,m)r1-runif(n,min-0

16、,max-0.5)r2-runif(m,min-0.5,maxT)c-1/2*mean(exp(-r1)+1/2*mean(exp(-r2)var-var(exp(-r1)/(4*n)+var(exp(-r2)/(4*m)j-list(c,var)return(j)fl(100,200)fl(1000,2000)fl(104,2*104)得到精確值和模擬值n=10,m=20n=100,n=1000n=10000為m=200M=2000M=20000值0.65827020.62917550.63417180.63270540.0002692072.75023e053.23184e063.1833

17、4e07表3.1.4分層抽樣法的模擬次數(shù)和模擬值精確值0.63212063.1.5對(duì)偶變量法先用R軟件產(chǎn)生服從0,1上均勻分布的隨機(jī)數(shù)X，函數(shù)f(x).計(jì)算二1Yf(x)(二1Ef(1-x)TOC o 1-5 h z5ni5n1i=1，i=1sk+()ief(x)+f(i-x) HYPERLINK l bookmark52 V=54=乙ii計(jì)算2ni=12R程序d1-function(n)f-function(x)exp(-x)y-function(x)exp(1x)x-runif(n)msum(f(x)如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!j-(

18、m/n+p/n)/2var-l/4*(var(f(x)+var(y(x)+2*cov(f(x),y(x)lis-list(j,var)return(lis)dl(104)dl(105)dl(10飛)dl(107)對(duì)模擬次數(shù)n調(diào)試了4次，分別為n4,n5,n6,n7，得到精確值和模擬值。表3.1.5對(duì)偶變量法的模擬次數(shù)和模擬值模擬值0.63219790.63206590.63209570.6321183方差0.000524720.0005327480.00053057410.0005291691精確值為0.63212063.1.6控制變量法R程序k1-function(n)f-function(

19、x)exp(-x)r-runif(n)g-function(x)2*(1-x)u-mean(g(r)l-(-cov(f(r),g(r)/var(g(r)j-mean(f(r)+1*mean(g(r)-u)var-l/n*var(f(r)+g(r)1st-list(j,var)return(1st)kl(104)kl(105)kl(10飛)kl(107)對(duì)模擬次數(shù)n調(diào)試了4次，分別為n4,n5,n6,n7，得到精確值和模擬值。表3.1.6控制變量法的模擬次數(shù)和模擬值104105106107模擬值0.6345750.63208840.6318490.6321651方差5.713907e-055.7

20、2338e-065.736774e-075.731522e-08精確值為0.63212063.2對(duì)0=J4e-xdx積分求解23.2.1隨機(jī)投點(diǎn)法R程序s2function(n)ffunction(x)exp(x)t二function(y)(f(a+(b-a)*y)-c)/(d-c)a-2b-4c-f(4)d-f(2)s-(b-a)*(d-c)x-runif(n)y-runif(n)m-sum(yf(x)jm/ng=s*j+c*(b-a)var-1/n*var(yf(x)lis-list(g,var)return(lis)s2(104)s2(105)s2(10飛)s2(107)對(duì)模擬次數(shù)n調(diào)試

21、了4次，分別為n4,n5,n6,n7，得到精確值和模擬值。表3.2.1隨機(jī)投點(diǎn)法的模擬次數(shù)和模擬值模擬值0.18688450.18688450.18688450.1868845方差2.33071e052.32230e062.32479e072.32611e08精確值為0.11701963.2.2平均值法R程序p2function(n)ffunction(r)exp(x)a2b4rrunif(n)h(ba)*f(a+(b-a)*r)ymean(h)var1/n*var(h)lislist(y,var)return(lis)p2(104)p2(105)p2(10飛)p2(107)對(duì)模擬次數(shù)n調(diào)試了

22、4次，分別為n4,n5,n6,n7，得到精確值和模擬值。表3.2.2平均值法的模擬次數(shù)和模擬值104105106107模擬值0.11733330.11695820.11700380.1170311方差1.30285e-051.30285e-061.30285e-071.30285e-08精確值為0.11701963.2.3分層抽樣法R程序f2-function(n,m)r1-runif(n,min-0,max-0.5)r2-runif(m,min-0.5,maxT)c-1/2*mean(2*exp(-2-2*r1)+1/2*mean(2*exp(-2-2*r2)var-var(2*exp(-2

23、-2*r1)/(4*n)+var(2*exp(-2-2*r2)/(4*m)j-list(c,var)return(j)f2(10,20)f2(100,200)f2(1000,2000)f2(104,2*104)對(duì)模擬次數(shù)n調(diào)試了4次，分別為n4,n5,n6,n7，得到精確值和模擬值。表3.2.3分層抽樣法的模擬次數(shù)和模擬值n=10,m=20n=100,n=1000n=10000確值m=200M=2000M=20000值0.11081320.12196680.11737690.11697836.12767e-056.31761e-066.20002e-076.02697e-08精為0.11701

24、963.2.4對(duì)偶變量法R程序d2-function(n)a-2b-4f-function(x)exp(-x)r-runif(n)c-f(b)d-f(c)s-(b-a)*(d-c)p-function(u)1/(d-c)*(f(a+(b-a)*u)-c)j1-mean(p(r)j2-mean(p(r)j3-(j1+j2)/2j-s*j3+c*(b-a)return(j)d2(104)d2(105)如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!c=f(4)d2(10飛)d2(107)對(duì)模擬次數(shù)n調(diào)試了4次，分別為n4,n5,n6,n7，得到精確值和模擬值。表

25、3.2.4對(duì)偶變量法的模擬次數(shù)和模擬值n104105106107模擬值0.11690430.1167410.1169430.1170233精確值為0.11701963.2.5控制變量法R程序k2-function(n)f-function(x)exp(-x)r-runif(n)a-2b-4c-f(4)d-f(2)s-(b-a)*(d-c)q-function(x)1/(d-c)*(f(a+(b-a)*x)-c)g-function(x)2*(1-x)u-mean(g(r)l-(-cov(f(r),g(r)/var(g(r)p-mean(q(r)+1*mean(g(r)-u)j-s*p+c*(b

26、-a)var-l/n*var(f(r)+g(r)1st-list(j,var)return(1st)k2(104)k2(105)k2(10飛)k2(107)對(duì)模擬次數(shù)n調(diào)試了4次，分別為n4,n5,n6,n7，得到精確值和模擬值。表3.2.5控制變量法的模擬次數(shù)和模擬值模擬值0.11747130.11711510.117031610.1170211方差5.68197e-055.73480e-065.73725e-075.73387e-08精確值為0.11701963.2.6重要性采樣法R程序z2-function(n)a=2b=4f=function(x)exp(-x)d=f(2)s=(b-a

27、)*(d-c);r二runif(n)x-1-(sqrt(l-r)p-function(x)1/(d-c)*(f(a+(b-a)*x)-c)q-function(x)(2*(1-x)jl-mean(p(x)/q(x)j=s*j1+c*(b-a)var-1/n*var(p(x)/q(x)lis-list(j,var)return(lis)z2(104)z2(105)z2(10飛)z2(107)對(duì)模擬次數(shù)n調(diào)試了4次，分別為n4,n5,n6,n7，得到精確值和模擬值。表3.2.6重要性采樣法的模擬次數(shù)和模擬值如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!如果您需

28、要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!p3(l04)p3(l04)s3(104)104105106107模擬值0.11735220.11702670.11701140.1170123方差8.17541e-078.16598e-088.17952e-098.17912e-10精確值為0.11701963.31二dx積分求解01+X23.3.1隨機(jī)投點(diǎn)法R程序s3-function(n)f-function(x)exp(-x)/(1+x“2)a-0b-1x-runif(n)y-runif(n)m-sum(yf(x)j=m/nvar-1/n*var(yf(x)lis-list(j,var)return(

29、lis)s3(105)s3(10飛)s3(107)對(duì)模擬次數(shù)n調(diào)試了4次，分別為n4,n5,n6,n7，得到精確值和模擬值。表3.3.1隨機(jī)投點(diǎn)法的模擬次數(shù)和模擬值104105106107模擬值0.53080.525070.5253510.5247777方差2.49625e-052.49312e-062.49423e-072.49371e-08精確值為0.52479713.3.2平均值法R程序p3-function(n)f-function(x)exp(-x)/(l+x“2)a-0b-lx-runif(n)y-mean(f(x)var-l/n*var(f(x)lis-list(y,var)re

30、turn(lis)如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!d3(105)p3(105)p3(10飛)p3(107)對(duì)模擬次數(shù)n調(diào)試了4次，分別為n4,n5,n6,n7，得到精確值和模擬值。表3.3.2平均值法的模擬次數(shù)和模擬值n104105106107模擬值0.52397070.52526550.52457150.5247576方差5.97263e-066.02206e-075.99868e-085.99926e-09精確值為0.52479713.3.3分層抽樣法R程序f3-function(n,m)r1-runif(n,min-0,max-0.5)

31、r2-runif(m,min-0.5,maxT)z-function(u)exp(-u)/(1+u“2)j-1/2*mean(z(r1)+1/2*mean(z(r2)var-var(z(-r1)/(4*n)+var(z(-r2)/(4*m)lis-list(j,var)return(lis)f3(10,20)f3(100,200)f3(1000,2000)f3(104,2*10八4)得到精確值和模擬值n=10,m=20n=100,n=1000n=10000為m=200M=2000M=20000值0.53385040.53059470.52288030.52543610.0003218132.1

32、1722e-052.16594e-062.17694e-07表3.3.3分層抽樣法的模擬次數(shù)和模擬值精確值0.52479713.3.4對(duì)偶變量法R程序d3-function(n)f-function(x)exp(-x)/(1+x“2)r-runif(n)m-mean(f(r)p-mean(f(1-r)j-(m+p)/2var-1/4*(var(f(r)+var(f(1r)+2*cov(f(r),f(1-r)lis-list(j,var)return(lis)d3(104)d3(10飛)d3(107)如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!k1(10飛

33、)k1(10飛)對(duì)模擬次數(shù)n調(diào)試了4次，分別為n4,n5,n6,n7，得到精確值和模擬值。表3.3.4對(duì)偶法的模擬次數(shù)和模擬值104105106107模擬值0.63197880.63214440.63212360.6321169方差0.0005191260.00053013340.00052976580.0005295388精確值為0.52479713.3.5控制變量法R程序k3function(n)f-function(x)exp(-x)/(1+x“2)r-runif(n)g-function(x)2*(1-x)u-mean(g(r)l-(-cov(f(r),g(r)/var(g(r)#定義

34、lambdaj-mean(f(r)+1*mean(g(r)-u)var-1/n*var(f(r)+g(r)1st-list(j,var)return(1st)k1(104)k1(105)k1(107)如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!z3(105)對(duì)模擬次數(shù)n調(diào)試了4次，分別為n4,n5,n6,n7，得到精確值和模擬值表3.3.5控制變量法的模擬次數(shù)和模擬值n104105106107模擬值0.62974030.6324380.63209560.6321038方差5.80168e-055.74223e-065.73553e-075.73648e-08精確值為0.52479713.3.6重要性抽樣法R程序z3-function(n)x-1-(sqrt(1-r)f-function(x)exp(-x)/(1+x“2)g-function(x)(2*(1-x)r-runif(n)s=mean(f(x)/g(x)var-1/n*var(f(x)/g(x)lis-list(s,var)return(lis