1、1第四章電磁波的傳播本章從麥克斯韋方程組及其邊值關系出發，討論電磁波傳播的規律.2麥克斯韋方程組若原來無磁場或只有穩恒磁場,B的散度認為零，所以 ,可以推廣到非穩情況，即在該情況下，磁感應線仍是閉合的。只要把電場 看成包含兩種不同來源的場，一種電荷激發的有散無旋場 E1 另一種變化的磁場激發的有旋無散場 ：4麥克斯韋提出，在非穩情況下產生磁場的原因不僅是傳導電流，還應有新的來源。邊值關系：5平面波平面電磁波的波陣面是平面，EBK互相垂直一個是E與K形成的面，一個是B與K形成的面電場和磁場都以波動方式向前傳播，只在一個方向上振動，所以波面是平面！6自由空間均勻平面波在自由空間傳播的均勻平面電磁波

2、（空間中沒有自由電荷，沒有傳導電流），電場和磁場都沒有和波傳播方向平行的分量，都和傳播方向垂直。此時，電矢量E，磁矢量H和傳播方向k兩兩垂直。只是在這種情況下，才可以說電磁波是橫波。7導行電磁波:沿一定途徑（比如說波導）傳播的電磁波為導行電磁波。根據麥克斯韋方程，導行電磁波在傳播方向上一般是有E和H分量的。電磁波的三種模式:TE波，TM波，TEM波TE波指電矢量與傳播方向垂直，或者說傳播方向上沒有電矢量。TM波是指磁矢量與傳播方向垂直。TEM波指電矢量于磁矢量都與傳播方向垂直。84.1 非導電介質中的平面電磁波 為了解電磁波傳播的基本特性，我們只研究自由電磁波方程（3.5.6）的一個平面波解.

3、具有了一定頻率和傳播方向的波，在其傳播過程中，等相面始終是平 面，因而是平面波.顯然，平面電磁波是自由電磁波方程（3.5.6）的一個特解，它的復數表示為 （4.1.1） 式中E0，H0表示場的振幅，其大小與方向隨時間變化，表示波的角頻率，k是波矢量.由于（4.1.1）必須滿足波動方程（3.5.6），因此波矢量的大小可由方程（3.5.6）確定： （4.1.2）這里是波長，的方向代表波的傳播方向.應當指出，和不是獨立的，它們應滿足麥克斯韋方程組.首先要求和的角頻率、波矢量和相位常量都必須對應相等，這一點在（4.1.1）的表達式中已得到滿足.其次，（4.1.1）式的平面波還必須滿足如下條件： 9（i

4、） 則 （4.1.3）這表明自由電磁波是橫波， 是橫波條件.（ii） 則 （4.1.4）這表明E與H相互垂直E,H,k構成右手螺旋關系。10 由（4.1.4）式可得 （4.1.5）即平面波的電磁場能量是平均分配在電場與磁場中的.由（3.3.6）和（4.1.4）式，平面波的能流密度 （4.1.6）式中 為電磁場能量密度.1112(4.1.6)式表明，平面波的能流密度是電磁場能量密度以其傳播速度沿著k的方向流動，而且也可證明，電磁波的動量也是以速度v沿著波矢量方向前進的.這個結論不具有普遍意義，它只對平面波成立，因為一般說來，自由電磁波應是各種不同頻率的平面波疊加，此時不具有確定的波矢量.134.

5、2 電磁波在絕緣介質分界面上的反射與折射 光在兩種不同介質分界面上的反射與折射現象是大家所熟悉的.光是波長很短的電磁波，因此光的反射、折射現象就是電磁波在不同介質分界面上的反射、折射 .任何波動在不同介質分界面上的反射、折射都屬于邊值問題，因此電磁波在兩種不同介質分界面上的反射與折射是由電磁場E和B在分界面上的邊值關系確定的.如圖4.2.1，在z=0平面為分界面的兩種不同的均勻各向同性介質中，如只考慮單色平面波，則入射波k、反射波 、折射波 的電場強度可表示為14 （4.2.1）由 ，則相應的磁感應強度為 （4.2.2）15以上電磁波在z=0的分界面上應滿足邊值關系（3.2.14）.因為在絕緣

6、介質分界面上電荷面密度=0,電流面密度=0，因此在z=0分界面上只需滿足如下邊值關系 （4.2.3）式中的下標t代表切向分量.16由（4.2.1）和（4.2.2）式，要滿足（4.2.3）條件，首先要求入射波、反射波與折射波的相位在z=0平面上任意一點、任何時刻都相同，即 （4.2.4）因為x,y,t都是獨立變量，所以必有 （4.2.5）171. 反射與折射定律由（4.2.5）式，很容易得到反射折射定律.首先=，表明反射波、折射波的頻率與入射波頻率相等.如果取xz平面為入射波矢量k與介質分界面法向矢量n所在的平面，即 ，可見三個波矢量在同一平面內.由 和 ，得 ，這表明入射角等于反射角，即反射定

7、律.18再由 ，則 （4.2.6） 式中v1和v2分別表示波在介質1和2中的相速度， 為這兩種介質的折射率.（4.2.6）式就是光學中的折射定律.192. 菲涅耳公式 由（4.2.5）式，已經滿足了在分界面上三個波的相位都相同，根據邊值關系（4.2.3），還應要求它們的振幅在z=0平面上滿足如下條件 （4.2.7）上式中的第二式已利用了（4.2.2）關系式.為方便起見，現把電場E0分解為20式中E0p,E0s分別表示E0平行于入射面和垂直于入射面的分量，而且規定E0p，Eos與k的順序組成右手螺旋.E0和E0也按同樣規定進行分解（參見圖4.2.1）.于是由（4.2.7）式，也可以得到關于x，y

8、兩個方向的電場分量的四個方程 （4.2.8）21式中k=k=/v1，k=/v2，且一般磁介質的磁導率都接近于0 ，可取近似1= 2 =3.將入射波的E0p，E0s看成已知量，并利用（4.2.6）式的折射定律，求解（4.2.8）方程組，得 (4.2.9)這就是著名的菲涅耳（Fresnel）公式.22布儒斯特角自然光在電介質界面上反射和折射時，一般情況下反射光和折射光都是部分偏振光，只有當入射角為某特定角時反射光才是線偏振光，其振動方向與入射面垂直，此特定角稱為布儒斯特角或起偏角，用b表示。此規律稱為布儒斯特定律。光以布儒斯特角入射時，反射光與折射光互相垂直。233. 反射系數與透射系數定義入射波

9、的強度Ii為單位時間投射到分界面上的單位面積的平均能量，則 可以證明（見習題4.1），用復矢量表示的單一頻率的平面波，其平均能流 （4.2.11）上標帶的量表示取復共軛。24于是 （4.2.12）類似地，反射波、折射波的強度可表示為 （4.2.13） （4.2.14）（4.2.12）（4.2.14）各式分別應用于電場平行于入射面和垂直于入射面兩種情況，并利用菲涅耳公式，及1= 2 0，得反射系數r和透射系數d如下：25 （4.2.15） （4.2.16） （4.2.17） （4.2.18）26很容易證明： rp+dp=1,rs+ds=1,這正是符合能量守恒的要求. 在正入射情形下， 其中n=n

10、2/n1.274. 全反射當波從密介質向疏介質傳播時，因為n1n2,根據折射定律（4.2.6）， ，即折射角 大于入射角 .折射角 的最大值為/2，這時 ，與之相應得入射角 應滿足或 （4.2.19）式中n=n1/n2.如果入射角 ，根據折射定律，這時 ，折射角 就失去意義，這意味著不存在折射波.這表明入射角 時，入射波全部被反射，稱全反射（4.2.19）式的 稱全反射臨界角.28 前面有關反射折射的表示式或定律都滿足麥克斯韋方程組及其邊值關系，即使在發生全反射情況，其形式仍然成立，因而仍可以用于討論全反射時電磁波的傳播問題. 294.3、趨膚效應和穿透深度如果只考慮入射，即 ，故得到 由于導

11、體內電磁場具有衰減因子，因而電磁波只能透入導體表面薄層內，所以電磁波主要是在導體以外的空間或介質中傳播。在導體表面上，電磁波與導體中的自由電荷相互作用，引起導體表層上的電流，這電流的存在使電磁波向空間反射，一部分電磁能量透入導體內，形成導體表面薄層內的電磁波，最后經過傳導電流把這部分能量耗散為焦耳熱。 此時有 得到該式兩邊加上 ， 即有因為代入上式即有： 根據故則此時的電磁場形式為：式中 表示電磁波傳播方向的單位矢量。討論： a) 從電磁場 的形式中可看到，復數波矢量 ,實質上包含了兩個部分：實部 （均勻介質中 的值），就是通常意義上的波矢量，而虛部 反映著電磁波在進入導體以后的衰減程度。造成

12、這種衰減的原因是：一部分是由于傳導電流所消耗的焦耳熱，這一部分損耗將隨著導體導電性能的提高而逐漸減小（因為越大，電阻 R 越小，Joule熱損耗越小）；另一部分是由于導體中存在自由電子，引起了在導體表面上強烈的反射，這一部分則隨著導體導電性能的提高而逐漸增大, 直至理想導體情形, 近似于均勻介質。這種情況下，說明在導電介質中，傳導電流比位移電流小得多電阻為零,Joule熱損耗減小到零，而電磁波在導體表面上全部被反射。b) 的物理意義 當 ，這時則有這就是良導體條件。這種情況下，說明在導體中傳導電流比位移電流大得多； 當 ，這時則有即 表示傳導電流與位移電流之比； c) 波振幅沿傳播方向按指數衰

13、減， 為衰減常數。把波振幅降至原值的 時傳播的距離稱為穿透深度，以表示，即 表示導體中磁場能與電場能之比；表示導體中損耗角的正切( )。 d) 相速度 ，由此可見，在導體中傳播速度由決定，稱為相位常數，波長 與導電率有關，所以在導體中波長變短了。 對于銅而言 ，當 可見， 對于高頻電磁波，電磁場以及和它相互作用的高頻電流僅集中于表面很薄一層內，這種現象稱為趨膚效應。人們在輪船艙內或火車廂里用收音機不易收到電臺的原因就在此。 e) 在良導體中， ， 且電磁場的關系為：424.4 惠更斯-菲涅耳原理與電磁波的衍射 在光學中衍射理論的基礎是惠更斯-菲涅耳原理.現在從麥克斯韋電磁場理論出發，推導這一原

14、理并得出基爾霍夫公式，然后再利用它來討論電磁波的衍射問題.1. 基爾霍夫公式按照光的電磁理論，光振動應當看作是E和H得振動.當光在各向同性均勻介質中傳播時，如果在區域內不存在自由電荷和傳導電流，則E和H均應滿足波動方程 （4.4.1）式中u代表E和H得任一直角坐標分量.對于單一頻率的電磁波，（4.4.1）方程可化為 （4.4.2）式中4344從場的觀點看，如圖4.4.1所示，由光源Q所發出的光波對P點的作用，可以看作是由包圍P點的任一封閉曲面S上的各點的電磁場對P點作用的疊加. 現在用格林函數的方法，將P點的場u用S面上的邊值來表示.令 （4.4.3）其中 可以直接證明，G（r，r）滿足如下方程 （4.4.4）利用格林公式 （4.4.5）45由（4.4.2）和（4.4.5）式，上式左方被積函數 （4.4.6）則（4.4.5）式化為 （4.4.7）（4.4.6）式稱為基爾霍夫（Kirchhoff）公式.它把P點的場表示為任意封閉曲面S上各點場對P點作用的疊加.462. 惠更斯-菲涅耳原理現在假設由Q點發出的光波是一球面波，它可表示為將它代人（4.4.6）式，則一般R和人比波長大很多，即kR1，kr1，則上式可近似為 47 光源Q發出的光波對