1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 微積分 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）第十三講 導(dǎo)數(shù)概念腳本編寫：教案制作：一、引例 二、導(dǎo)數(shù)的定義 三、求導(dǎo)數(shù)舉例 四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 2. 1 導(dǎo)數(shù)概念上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)= f (x0 + x) f (x0 )y = f (x) f (x0 )x = x0 + x , 相應(yīng)地, 函數(shù)有改變量 y x = x x0 稱為自變量 x 在基點(diǎn)x0 點(diǎn)處的改變量. y=f(x)f(x0)x0+Dxx0 f(x0+Dx)DxDyy=f(x)f(x0) xx0 f(x)DxDy一、問題的提出1.變速運(yùn)動(dòng)物體的即時(shí)速度問題:取極限得N兩個(gè)問題的共性:

2、瞬時(shí)速度切線斜率 以上引例一個(gè)是物理學(xué)中的瞬時(shí)速度,一個(gè)是幾何學(xué)中的切線斜率.僅從數(shù)量關(guān)系來看,二者的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)完全相同:都是一種討論函數(shù)改變量與自變量改變量之比的 型的極限,簡(jiǎn)稱差商的極限.二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1. 函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 否則稱 f 在x0處不可導(dǎo).其它形式導(dǎo)數(shù)定義形式一導(dǎo)數(shù)定義形式二例1 求函數(shù)y(x)=x2在點(diǎn)x=2處的導(dǎo)數(shù) 解 方法一 下頁(yè) 方法二 例2設(shè)對(duì)任意的均有求解：由題設(shè)令 則且定義！函數(shù)抽象的題目或無從著手的時(shí)候！若 則設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，那么左右導(dǎo)數(shù)首頁(yè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 定理導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:好像見過面啊！分段函數(shù)求導(dǎo),在分段點(diǎn)處必須按函數(shù)表達(dá)式求

3、左右導(dǎo)數(shù)例設(shè)問 在 處是否可導(dǎo).解: 函數(shù) f(x)在開區(qū)間(a b)內(nèi)可導(dǎo)是指函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)可導(dǎo) 函數(shù) f(x)在閉區(qū)間a b上可導(dǎo)是指函數(shù) f(x)在開區(qū)間(a b)內(nèi)可導(dǎo) 且在a點(diǎn)有右導(dǎo)數(shù)、在b點(diǎn)有左導(dǎo)數(shù) 函數(shù)在區(qū)間上的可導(dǎo)性函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 若 x(a, b), 函數(shù) f (x) 皆可導(dǎo), 則說 f (x) 在(a, b) 內(nèi)可導(dǎo). 這時(shí) f (x) 是關(guān)于 x 的一個(gè)新函數(shù),稱之為 f (x) 在 (a, b) 內(nèi)的導(dǎo)函數(shù). 通常我們?nèi)苑Q之為 f (x) 在 (a, b) 內(nèi)的導(dǎo)數(shù)：定義函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 4. 導(dǎo)函數(shù)概念函數(shù)在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系: 先求導(dǎo)、后代值.函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 2.

4、 用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù):步驟:函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例1設(shè)函數(shù)求 .解:函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 導(dǎo)數(shù) f (x0)在幾何上表示曲線 y=f(x) 在點(diǎn) M(x0 f(x0)處的切線的斜率 即f (x0)=tan a 其中a是切線的傾角 切線方程為 y-y0=f (x0)(x-x0) 切線下頁(yè)在任意一點(diǎn) x 處, 有在點(diǎn)(1, 1) 處 故所求切線方程為：求曲線 y = x2上任意一點(diǎn)處切線的斜率, 并求在點(diǎn) (1, 1) 處,(2,4)的切線方程.即 y = 2x 1.y 1= 2(x 1) , 例3解在任意一點(diǎn) x 處, 有在點(diǎn)(2, 4) 處 故所求切線方程為：求曲線 y = x2上任意一點(diǎn)處

5、切線的斜率, 并求在點(diǎn) (1, 1) 處,(2,4)的切線方程.即 y = 4x4.y 4=4(x2) , 例3解在點(diǎn)(2, 4) 處 在點(diǎn)(1, 1) 處 故所求切線方程為：即 y = 4x4.y 4= 4(x2) , 故所求切線方程為：即 y = 2x 1.y 1= 2(x 1) , y = 2x 1函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)函數(shù)給出了函數(shù)在任意點(diǎn)處切線的斜率 . 切點(diǎn)：過切點(diǎn)的切線方程：切線5.函數(shù)可導(dǎo)與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系 例12 函數(shù)f(x)=|x|在區(qū)間(- +)內(nèi)連續(xù) 但在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo) y=-x y=x連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 處,尖點(diǎn)！無切線該圖像不“光滑 ”，這是函數(shù)不可導(dǎo)的一種幾何形

6、象. 這是因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)x=0處導(dǎo)數(shù)為無窮大 連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù) x=0處不可導(dǎo) 例11函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 該圖像有一條與 x 軸相垂直的切線，該切線的 斜率不存在 ；這是函數(shù)不可導(dǎo)的另一種幾何形象. 只是必要條件！定理不連續(xù)一定不可導(dǎo)如果函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn) x0 處可導(dǎo) 則它在點(diǎn) x0 處連續(xù).連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù) x=0處不可導(dǎo) 例11yxO在間斷點(diǎn)處曲線無切線(不可導(dǎo)) 作業(yè) P1161.5. 8. 10. 高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 微積分 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一） 第十四講 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則腳本編寫：教案制作：二、 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則一、 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束

7、返回首頁(yè)三、求導(dǎo)數(shù)舉例 例2 求函數(shù)f(x)C（C為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù) 解 即 (C ) =0 幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、求導(dǎo)數(shù)舉例 例4 函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 更一般地證明：更一般地例如,( 為實(shí)常數(shù)) 例7 求函數(shù)f(x)=sin x的導(dǎo)數(shù) 解 (sin x)=cos x 同理, (cos x)=-sin x 例解即特別地, 求函數(shù) f(x)=ax 的導(dǎo)數(shù),(常數(shù) a0 a 1) 例5解即特別地,二、求導(dǎo)舉例 三、求導(dǎo)公式小結(jié) 一、求導(dǎo)法則 2. 2 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)之和差的求導(dǎo)法則 設(shè)函數(shù)u(x

8、)與v(x)可導(dǎo) 則函數(shù)u(x)v(x)也可導(dǎo) 并且 u(x)v(x)=u(x)v(x) 函數(shù)之積的求導(dǎo)法則 設(shè)函數(shù)u(x)與v(x)可導(dǎo) 則函數(shù)u(x)v(x)也可導(dǎo) 并且 u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x) 設(shè)函數(shù)u(x)與v(x)可導(dǎo) 則函數(shù) 也可導(dǎo) 并且函數(shù)之商的求導(dǎo)法則此法則可推廣到任意有限項(xiàng)的情形.證: 設(shè) 則例如,1. 證明二、求導(dǎo)舉例 例1 y=2x 3-5x 2+3x-7 求y=6x 2-10 x+3 =23x 2-52x+3=2(x 3)- 5(x 2)+ 3(x)= (2x 3)-(5x 2)+(3x)-(7) 解 y=(2x 3-5x 2+3x-7)函

9、數(shù)之和差的求導(dǎo)法則 設(shè)函數(shù)u(x)與v(x)可導(dǎo) 則函數(shù)u(x)v(x)也可導(dǎo) 并且 u(x)v(x)=u(x)v(x) 設(shè)則有2. 證明證設(shè) u C ( C為常數(shù) ) , v = v(x) 可導(dǎo), 則 通常說成: 常數(shù)因子可以提到導(dǎo)數(shù)符號(hào)外面例7 例3 y=e x (sin x+cos x) 求y =2e x cos x 解 y=(e x )(sin x+cos x) + e x (sin x+cos x)= e x(sin x+cos x)+ e x(cos x -sin x)下頁(yè)二、求導(dǎo)舉例求導(dǎo)法則 (uv)=uv (uv)=uv+uv 3. 證明故 用乘法公式證明除法公式求導(dǎo)法則的推廣

10、 (uvw)= (uv)w=uvw (uvw) = (uv)w+ (uv)w=uvw+uvw+uvw 特殊情況 (Cu)=Cu 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則首頁(yè) 解 例2 下頁(yè)二、求導(dǎo)舉例求導(dǎo)法則函數(shù)在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系: 先求導(dǎo)、后代值.求導(dǎo)法則例求解： 分析:本題可以直接使用商的求導(dǎo)法則,但注意到函數(shù)的特點(diǎn)，將函數(shù)恒等變形為冪函數(shù)，則更簡(jiǎn)單.解由和的求導(dǎo)公式 由此可知, 多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)仍是多項(xiàng)式, 其最高次數(shù)降低一次, 系數(shù)相應(yīng)改變.例6設(shè)例6.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例6.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)方法二求導(dǎo)法則的推廣 (uvw) = (uv)w+ (uv)w=uvw+uvw+uvw 求導(dǎo)法則

11、例6.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例4 y=tan x ，求y 即 (tan x)=sec2x 解 下頁(yè)二、求導(dǎo)舉例求導(dǎo)法則(cot x)=-csc2x 同理可得 例5 y=sec x 求y 即 (sec x)=sec x tan x 用類似方法還可求得 (csc x)=-csc x cot x 解 首頁(yè)二、求導(dǎo)舉例求導(dǎo)法則三、求導(dǎo)公式小結(jié)1 (C ) =0 2 (x m)=mx m-1 其中m為常數(shù) 3 (sin x)=cos x (cos x )=-sin x 4 (a x)= a x ln a 特殊地(e x ) =e x (tan x)=sec2x (cot x)=-csc2x (sec x)=

12、sec x tan x (csc x)=-csc x cot x 5求導(dǎo)法則xy = sinx例5求解:當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí),故 不存在.方法:分段函數(shù)在分段點(diǎn)處必須求出左和右導(dǎo)數(shù)，在各分段區(qū)間內(nèi)部可直接求導(dǎo).y =sinxy函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f (x) 在 x = 0 處可導(dǎo),從而 f (x) =1 + bx, x0e x, x 0 f (x) 在 x = 0 處連續(xù), 例6解設(shè)a + bx, x0求 a, b 之值.e x, x 0y =在 x = 0 可導(dǎo),兩個(gè)未知數(shù)，兩個(gè)方程由可導(dǎo)性：故 b = 1, 此時(shí)函數(shù)為f (x) =1+ x , x 0e x, x 0f (x) =1 + bx,

13、 x0e x, x 0 分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí),當(dāng)左右函數(shù)在分段點(diǎn)處分別皆可導(dǎo)時(shí)，可按函數(shù)求導(dǎo)四則運(yùn)算法則分別直接求左右導(dǎo)數(shù)。8.解注意：以下解法錯(cuò)誤：例 設(shè)求解：逢山開路遇河搭橋作業(yè) P12113 P1167 57 高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 微積分 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一） 第十五講 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則腳本編寫：教案制作：一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則三、求導(dǎo)法則小結(jié)2. 3 反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則上頁(yè)下頁(yè)返回首頁(yè)結(jié)束一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 如果函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間Ix內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)那么它的反函數(shù)x=j(y)在對(duì)應(yīng)區(qū)間Iy內(nèi)也可導(dǎo) 且若j (y)0則 簡(jiǎn)要說明： 因?yàn)閥=f(x)連續(xù) 所以當(dāng)

14、Dx0時(shí) Dy0 從而 設(shè)x = j (y) 在點(diǎn) y 的改變量是 y 0.則 x = j ( y +y ) j(y) , y = ( x + x ) (x) 例1 求(arcsin x)及(arccos x) 解 因?yàn)閥=arcsin x是x=sin y的反函數(shù) 所以一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 如果函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間Ix內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)那么它的反函數(shù)x=j(y)在對(duì)應(yīng)區(qū)間Iy內(nèi)也可導(dǎo) 且若j (y)0則 例2 求(arctan x)及(arccot x) 解 因?yàn)閥=arctan x是x=tan y的反函數(shù) 所以一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 如果函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間Ix內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)那么它的反函數(shù)x=j(y)

15、在對(duì)應(yīng)區(qū)間Iy內(nèi)也可導(dǎo) 且若j (y)0則基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式小結(jié)首頁(yè)(1) (C)0(2) (xm)m xm1(3) (sin x)cos x(4) (cos x)sin x(5) (tan x)sec2x(6) (cot x)csc2x(7) (sec x)sec xtan x(8) (csc x)csc xcot x(9) (a x)a x ln a(10) (e x)ex二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則下頁(yè) 假定Du0此時(shí)有 簡(jiǎn)要說明 = f (u)g(x) 例1求解：設(shè)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 解 函數(shù)y=lntan x是由y=ln u u=tan x復(fù)合而成 例3下頁(yè)復(fù)合函數(shù)

16、的求導(dǎo)法則 例2求解： （1）設(shè)（2）設(shè) 例4 解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 下頁(yè) 對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則比較熟練以后，就不必再寫出中間變量。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 解 例6下頁(yè)例2解例3解在初等函數(shù)求導(dǎo)中，復(fù)合求導(dǎo)法則經(jīng)常要與四則運(yùn)算求導(dǎo)法則共用，例如：證綜上所述,例20復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可以推廣到多個(gè)函數(shù)的復(fù)合。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 解 例8下頁(yè)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 解 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可以推廣到多個(gè)函數(shù)的復(fù)合。 例9下頁(yè) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)可推廣到任意有限次復(fù)合的情形.解其中a 為常數(shù)，例21 例5 求yx sin x (x0)的導(dǎo)數(shù) 解 將冪指函數(shù)改寫成指數(shù)函數(shù),再利用求導(dǎo)的乘法法則： yx

17、 sin xe sin xln x有時(shí)需將給定函數(shù)改寫成明確的初等函數(shù)表示形式，然后再用復(fù)合 求導(dǎo)法則進(jìn)行計(jì)算，例如：對(duì)一般冪函數(shù)( 為常數(shù)) , 對(duì)數(shù)恒等式a為常數(shù). 有時(shí)需將給定函數(shù)改寫成明確的初等函數(shù)表示形式，然后再用復(fù)合 求導(dǎo)法則進(jìn)行計(jì)算，例如：例1 考察解:寫出的分段表達(dá)式：它在處不可導(dǎo) 的可導(dǎo)性時(shí)的導(dǎo)數(shù)為而當(dāng)時(shí),由于因此在解例4或解：直接利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，C書P126例3-22設(shè) 為可導(dǎo)函數(shù),求(1) 解(1)設(shè)則注意表示復(fù)合函數(shù) 對(duì)自變量 求導(dǎo);表示復(fù)合函數(shù) 對(duì)中間變量 求導(dǎo).有一類函數(shù)表示式中含有抽象函數(shù)記號(hào)的求導(dǎo)問題，計(jì)算這類問題時(shí)，仍應(yīng)注意復(fù)合求導(dǎo)的法則應(yīng)用，例如：書

18、P126例3-22設(shè) 為可導(dǎo)函數(shù),求（2）解：作業(yè) P1261. (2)(4)(6)(8)(10)(12) 2. (2)(5)(7)(10) 36 高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 微積分 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一） 第十六講 隱函數(shù)求導(dǎo)法腳本編寫：教案制作：一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2. 6 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)例如,隱函數(shù)可確定顯函數(shù)可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但不能顯化 .一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)顯函數(shù)與隱函數(shù) 形如yf(x)的函數(shù)稱為顯函數(shù) 例如 ysin x yln xe x 都是顯函數(shù) 由方程F(x y)0所確的函數(shù)稱為隱函數(shù) 隱函數(shù)隱函數(shù) 求導(dǎo)問題 ： 求由方程 x3 + y 3 = 1 所確

19、定的隱函數(shù) y = y ( x ) 的導(dǎo)數(shù) y . 隱函數(shù)求導(dǎo)例1解解得5y y2y121x 60 因?yàn)楫?dāng)x0時(shí) 從原方程得y0 所以 例2 求由方程y52yx3x70所確定的隱函數(shù)yf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)y|x0 下頁(yè)隱函數(shù)的求導(dǎo)法 把方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)數(shù) 然后從所得的新的方程中把隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解出 求導(dǎo)時(shí)要注意 是x的函數(shù) 解法一 把方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得 5y y2y121x 60 根據(jù)原方程 當(dāng)x0時(shí) y0 上述方程限制在x0得 從而 y|x005 例2 求由方程y52yx3x70所確定的隱函數(shù)yf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)y|x0 下頁(yè)解法二 把方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得例4 證明下頁(yè)證：

20、令則兩邊對(duì)求導(dǎo)：由于同理可證： 解 把橢圓方程的兩邊分別對(duì)x求導(dǎo) 得所求的切線方程為 例3 下頁(yè) y f(x)ln f(x) 此方法是先在yf(x)的兩邊取對(duì)數(shù) 然后用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出 y 的導(dǎo)數(shù) 設(shè)yf(x) 兩邊取對(duì)數(shù) 得 ln y ln f(x) 兩邊對(duì)x 求導(dǎo) 得對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：下頁(yè) 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于求冪指函數(shù)yu(x)v(x)的導(dǎo)數(shù)及多因子之積和商的導(dǎo)數(shù) 例5 求yx sin x (x0)的導(dǎo)數(shù) 解法二 兩邊取對(duì)數(shù) 得 下頁(yè)對(duì)一般冪函數(shù)( 為常數(shù)) , ln y sin xln x 上式兩邊對(duì)x 求導(dǎo) 得 例5 求yx sin x (x0)的導(dǎo)數(shù) 解法一 將函數(shù)寫成指數(shù)函數(shù)，然后利用求導(dǎo)

21、的乘法法則： yx sin xe sin xln x下頁(yè)因此冪指函數(shù)求導(dǎo)利用乘法的求導(dǎo)法則 解 先在兩邊取對(duì)數(shù) 得上式兩邊對(duì)x求導(dǎo) 得 例6首頁(yè)運(yùn)用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)：解例34復(fù)雜的乘積、根式求導(dǎo)對(duì)數(shù)函數(shù)和的求導(dǎo) 整理得例34 取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法常用來求一些復(fù)雜的乘除式、根式、冪指函數(shù)等的導(dǎo)數(shù). 例5 求yx sin x (x0)的導(dǎo)數(shù) 例6例8 方程確定 是 的函數(shù),求解: 兩邊取對(duì)數(shù)兩邊關(guān)于 求導(dǎo)得當(dāng) 時(shí),代入原方程得另一方面(*)將代入(*)式得基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)的求導(dǎo)法取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 求導(dǎo)方法小結(jié)按定義求導(dǎo)求導(dǎo)法作業(yè) P1301.

22、 (4)(5)2. (3)(4)3. (1)(3)(5)4.5.高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 微積分 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一） 第十七講 高階導(dǎo)數(shù)腳本編寫：教案制作：一、高階導(dǎo)數(shù)的定義 二、幾個(gè)初等函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)三、函數(shù)積的 n 階導(dǎo)數(shù) 2. 5 高階導(dǎo)數(shù)上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)一. 高階導(dǎo)數(shù)的概念例函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 一、高階導(dǎo)數(shù)的定義 我們把函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)yf (x)的導(dǎo)數(shù)(如果可導(dǎo))叫做函數(shù)yf(x)的二階導(dǎo)數(shù) 記作 2. 二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算示例例2解例3. y=3x5 求yy3 解 y0 例3解一、高階導(dǎo)數(shù)的定義 我們把函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)yf (x)的導(dǎo)數(shù)(如果可導(dǎo))叫做函數(shù)yf(x)的二階導(dǎo)數(shù)

23、 記作 類似地，二階導(dǎo)數(shù)y=f (x)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的三階導(dǎo)數(shù)，記作 下頁(yè) 一般地 函數(shù)y=f(x)的(n1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù) 記作 我們把yf(x)的導(dǎo)數(shù)f (x)叫做函數(shù)yf(x)的一階導(dǎo)數(shù)把二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù) 對(duì)于 n 階導(dǎo)數(shù) ， 以下兩則運(yùn)算是成立的 ：這一公式稱為萊布尼茨公式 函數(shù)積的 n 階導(dǎo)數(shù) 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明(uv)uvuv(uv) (uv) = uvuv =uv2uvuv (uv)uv3uv3uvuv 下頁(yè)萊布尼茨公式 例3-35設(shè)解: 設(shè)則由萊布尼茨公式 例4(98二3 )（A）3 （B）2 （C）1 （D）0分析解例

24、5(92二3) 分析二、幾個(gè)初等函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù) 例3 求函數(shù)ye x 的n 階導(dǎo)數(shù) 即(e x )(n) e x一般地 可得y (n) e x y e x 解 y (4) e x y e x y e x 下頁(yè) 例4 求正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù) 解 ysin x一般地 可得 二、幾個(gè)初等函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù) 例5 求函數(shù)ln(1x)的n 階導(dǎo)數(shù) 一般地 可得 y=(-1)(-2)(1+x)-3 y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4 解下頁(yè) 觀察歸納的技巧 例6 求冪函數(shù)yx m(m是任意常數(shù))的n階導(dǎo)數(shù)公式 解 ymx m1 而 (xn)(n1) 0 (xn)(n) n (n

25、1) (n 2) 3 2 1 n! 當(dāng)mn時(shí) 得到即 (x m )(n) m(m1)(m2) (m(n1)x mn y (n) m(m1)(m2) (m(n1)x mn 一般地 可得 y (4) m(m1)(m2)(m3)x m4 ym(m1)(m2)x m3 ym(m1)x m2 首頁(yè)練習(xí)思考： 拆分技巧 例 設(shè) 則 解：例 方程確定為 的函數(shù)，求解：方程兩邊對(duì) 求導(dǎo)：（*）另一方面,將 代入原方程得將代入(*)式得即有(*)式兩邊再關(guān)于 求導(dǎo):即將代入上式得將上式限制在x0,作業(yè) P1331. (1)(4)(6)2. 3. (1)(2)(4)4.7.高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 微積分 大

26、 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一） 第十八講 微分的概念及其應(yīng)用腳本編寫：教案制作：一、微分的定義二、微分的幾何意義三、微分公式與微分運(yùn)算法則2. 7 函數(shù)的微分上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)一、微分的概念實(shí)例: 正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.設(shè)邊長(zhǎng)由 x0 變到 x0 + Dx, (2): Dx 的高階無窮小, 當(dāng) |Dx| 很小時(shí)可忽略(1): Dx 的線性函數(shù), 且為 DA 的主要部分(2)(1) 正方形面積 A = x02A = x02 再如,設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 處自變量 的改變量為 時(shí)，求函數(shù)的改變量既容易計(jì)算又是較好的近似值問題:所有函數(shù)的改變量是否都有這個(gè)線性主部? 如何求?當(dāng) |Dx| 很小時(shí), (2)

27、是 Dx 的高階無窮小, o(Dx)(1)(2)微 分 的 定 義函數(shù) y = f (x) 在 x0 某一鄰域內(nèi)有定義, 定義x0 和 x0 + Dx 都在領(lǐng)域內(nèi). 如果成立 (其中 A 與 Dx 無關(guān)). 則稱 f (x) 在 x0 可微, 并且把 A Dx 稱為 f (x) 在 x0 的微分, 記為 dy 或 df (x), 即dy由定義知:(1) dy 是自變量的改變量 Dx 的線性函數(shù);dy(2) Dy dy = o(Dx), 即是 Dx 的高階無窮小;(3) 當(dāng) A 0時(shí), dy Dy, 即是等價(jià)無窮小;(4) A 是與 Dx 無關(guān)的常數(shù), 但與 f (x) 和 x0 有關(guān);(5)

28、當(dāng) |Dx| 很小時(shí), Dy dy (線性主部).定理證設(shè) f (x) 在 x0 可微, 即= A即 f (x) 在 x0 可導(dǎo), 且yf(x)在點(diǎn)x0可微DyADxo(Dx) dy=ADx 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo) 且函數(shù)在點(diǎn)x0的微分一定是有 dyf (x0)Dx 定理證設(shè) f (x) 在 x0 可導(dǎo), 即即故可微. 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo) 且函數(shù)在點(diǎn)x0的微分一定是有 dyf (x0)Dx yf(x)在點(diǎn)x0可微DyADxo(Dx) dy=ADx 函數(shù)yf(x)在任意點(diǎn) x 的微分 稱為函數(shù)的微分 記作dy 或 df(x) 即dyf

29、(x)Dx yf(x)在點(diǎn)x0可微DyADxo(Dx) dy=ADx 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo) 函數(shù)在點(diǎn)x0的微分一定是 dyf (x0)Dx 可微與可導(dǎo)的關(guān)系下頁(yè)因此, 導(dǎo)數(shù)也稱為微商.自變量 x 的增量 Dx 就是自變量的微分, 即 dx = Dx.可微可導(dǎo)函數(shù) y = f (x) 的微分為:例如 dcos x(cos x)dx 因?yàn)楫?dāng) y=x 時(shí) dy=dx=(x)Dx=Dx sin xdx dydf (x)=f (x)dx即函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x 處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分 d y 與自變量的微分 d x 的商, 故導(dǎo)數(shù)也可稱為微商.哈哈！除法, 這一下復(fù)合函

30、數(shù)的求導(dǎo)公式就好理解了. 例2 求函數(shù) yx3當(dāng)x2 Dx 002時(shí)的微分 解 先求函數(shù)在任意點(diǎn)x 的微分 dy(x3)Dx3x2Dx 再求函數(shù)當(dāng)x2 Dx002時(shí)的微分 =322002=024 yf(x)在點(diǎn)x0可微DyADxo(Dx) dy 下頁(yè)5. 微分計(jì)算實(shí)例 （1）顯函數(shù)求微分題型 3. 微分的幾何意義yDyd 當(dāng) |Dx| 很小時(shí), Dy dy . 微分公式一目了然.微分的運(yùn)算法則 1.微分的基本公式可微 可導(dǎo) 微分的基本公式與導(dǎo)數(shù)的基本公式相似 微分公式d(x m)m x m1dx d(sin x)cos xdx d(cos x)sin xdx d(tan x)sec2xdx d

31、(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan xdx d(csc x)csc x cot xdx d(a x)a x ln adx d(e x)e xdx 導(dǎo)數(shù)公式(x m)m x m1 (sin x)cos x (cos x)sin x(tan x)sec2 x (cot x)csc2x (sec x)sec x tan x (csc x)csc x cot x (a x)a x ln a (e x)e x下頁(yè)三、微分公式與微分運(yùn)算法則微分公式導(dǎo)數(shù)公式下頁(yè)函數(shù)和、差、積、商的微分法則求導(dǎo)法則 (uv)uv (Cu)Cu (uv)uvuv微分法則 d(uv)dudvd(Cu

32、)Cdu d(uv)vduudv d(uv) =(uvuv)dxvudxuvdx 下頁(yè)公式d(uv)vduudv 的證明因?yàn)槎?udxdu vdxdv所以 d(uv)vduudv 復(fù)合函數(shù)的微分法則 設(shè)yf(u)及uj(x)可微 則復(fù)合函數(shù)yfj(x)的微分為dyyxdxf (u)j(x)dx 因?yàn)閖(x)dxdu 所以 復(fù)合函數(shù)yfj(x)的微分公式也可以寫成dyf (u)du. 由此可見 無論u是自變量還是中間變量 微分形式 dyf (u)du保持不變 這一性質(zhì)稱為微分形式不變性 下頁(yè)dy f (u)du復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 說明可以用兩種方法求復(fù)合函數(shù)的微分 例3 ysin(2x1) 求d

33、y 解法1分析微分的計(jì)算: 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分. 例3 ysin(2x1) 求dy 解法二 把2x1看成中間變量u 則ysinu u2x1 2cos(2x1)dx cos(2x1)2dxcos(2x1)d(2x1) dy =dsin(2x1) d(sin u)cos udu若yf(u) uj(x) 則dy= f (u)du 在計(jì)算過程中 也可以不寫出中間變量 若yf(u) uj(x) 則 例2dy= f (u)du例2解法2分析微分的計(jì)算: 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分. 例5 ye13xcos x 求dy 解 應(yīng)用積的微分法則 得e13x(3cos xsin x)dx

34、(cos x)e13x(3dx)e13x(sin xdx) dyd(e13xcos x)cos xd(e13x)e13xd(cos x)下頁(yè)(cos x)e13xd(1-3x)e13x(sin xdx)微分法則 d(uv)vduudv若yf(u) uj(x) 則dy= f (u)du 例6 在括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù) 使等式成立 d( )xdx 解 (1)因?yàn)閐(x2)2xdx 所以例4方程確定 是 的函數(shù),求解法一先求解得從而即（2）隱 函數(shù)求微分題型 例4方程確定 是 的函數(shù),求解法二方程兩邊求微分從而d(uv)vduudv因此（3）抽象函數(shù)求微分題型 例5平衡常數(shù) 是絕對(duì)溫度 的函數(shù),已知他

35、們有如下關(guān)系( 為常數(shù)).求解:一、近似公式2. 8 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)一、近似公式 當(dāng)函數(shù) yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù) f (x)0 且|Dx|很小時(shí) 我們有 Dydyf (x0)Dx f(x0Dx)f(x0)dyf (x0)Dx f(x0Dx)f(x0)f (x0)Dx 若令xx0Dx 即Dxxx0 那么又有 f(x)f(x0)f (x0)(xx0) 下頁(yè)yf(x)在點(diǎn)x0可微DyADxo(Dx) dy=ADx 既容易計(jì)算又是較好的近似值 這個(gè)公式成為近似計(jì)算中的理論依據(jù) 例6解：半徑10厘米的金屬圓盤加熱后, 半徑伸長(zhǎng)了0.05厘米, 問面積變化了多少？r = 1

36、0厘米, Dr = 0.05厘米求函數(shù)增量的近似公式 f(x)f(x0)f (x0)(xx0) f(x)f(x0)f (x0)(xx0) 例6 求的近似值.解: 設(shè)則由公式f(x)f(x0)f (x0)(xx0)有由上式常用近似公式(1) 證 f(x)f(x0)f (x0)(xx0) 求函數(shù)在x=0附近的值的近似公式 f(x)f(0)f (0)x 例3首頁(yè) f(x)f(x0)f (x0)(xx0) 例9解計(jì)算 的近似值. 精確值 = 9.994997= 9.995 f(x)f(0)f (0)xf(x)f(x0)f (x0)(xx0)例10 計(jì)算 的近似值.解:由近似公式得作業(yè) P1401. 2

37、. (2)(8)3. 5.(2)4.7.9.高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 微積分 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一） 第十九講 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用 腳本編寫：教案制作： 導(dǎo)數(shù)與微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用 1. 邊際分析2. 函數(shù)的彈性要求：掌握邊際和彈性的定義； 給具體問題后會(huì)計(jì)算邊際和彈性； 并能夠給出相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)解釋；.邊際分析 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,邊際這個(gè)概念是與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)的一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)概念,它反映一種經(jīng)濟(jì)變量y對(duì)另一種經(jīng)濟(jì)變量x的變化率.以導(dǎo)數(shù)為工具研究經(jīng)濟(jì)變量的邊際變化的方法，就是邊際分析方法。1.總成本、平均成本、邊際成本 “總成本”是生產(chǎn)一定量的產(chǎn)品所需要的成本總額，通常由固定成本和可變成本兩部分構(gòu)

38、成，用C(x)表示，其中x表示產(chǎn)品的產(chǎn)量，C(x)表示當(dāng)產(chǎn)量為x時(shí)的總成本。 不生產(chǎn)時(shí)，x=0，這時(shí)C(0)就是固定成本。 “平均成本”是生產(chǎn)每個(gè)單位產(chǎn)品的成本. 若產(chǎn)量由 變化到則：稱為C(x)在內(nèi)的平均成本. 稱為“平均成本函數(shù)”，表示產(chǎn)量為x時(shí)平均單位產(chǎn)品的成本。例1： 設(shè)某種商品的成本函數(shù)為其中x表示產(chǎn)量（單位：噸），C(x)表示產(chǎn)量為x噸時(shí)的總成本（單位：元），當(dāng)產(chǎn)量為400噸時(shí)的總成本及平均成本分別為：如果產(chǎn)量由400噸增加到450噸時(shí)，總成本的平均變化率為：它表示當(dāng)產(chǎn)量由400噸增加到450噸時(shí)，平均每噸增加成本13.728元。表示在產(chǎn)量為400噸時(shí)，再增加1噸產(chǎn)量所增加的成本。當(dāng)產(chǎn)量為400噸時(shí)再減少1噸，即類似的可以計(jì)算當(dāng)產(chǎn)量為400噸時(shí)再增加1噸，即表示在產(chǎn)量為400噸時(shí)，再減少1噸產(chǎn)量所減少的成本。定義：設(shè)成本函數(shù)C(x)為一可導(dǎo)函數(shù)，稱為產(chǎn)量是 時(shí)的邊際成本。 其經(jīng)濟(jì)意義是： 若成本函數(shù) 在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)，則稱 為在區(qū)間I內(nèi)的邊際成本函數(shù)。經(jīng)濟(jì)含義例2：已知某商品的成本函數(shù)為：求（1