1、機械能 第一模塊：功和功率 夯實基礎(chǔ)學問 （一）功： 1,概念：一個物體受到力 的作用,并且在這個力 的方向上發(fā)生了一段位移,就說這個力 對物體做了功； 2,做功的兩個必要因素： 力和物體在力的方向上的位移 3,公式： W FScos （ 為 F 與 s 的夾角）功是力的空間積存效應； 4,單位：焦耳（ J） 5,意義：功是能轉(zhuǎn)化的量度,反映力對空間的積存成效； 6,說明 1公式只適用于恒力做功 位移是指力的作用點通過位移 2要分清 “誰做功,對誰做功 ”；即：哪個力對哪個物體做功； 3力和位移都是矢量：可以分解力也可以分解位移；如：位移：沿力方向分解,與力垂直方向分解； 4 功是標量,沒有方

2、向,但功有正,負值； 其正負表示力在做功過程中所起的作用 ；正功表示動力做功 此力對物體的運動有推 動作用 ,負功表示阻力做功 5功大小只與 F,s, 這三個量有關(guān)與物體是否仍受其他力,物體運動的速度,加速度等其他因素無關(guān) （二）功的四個基本問題； 涉及到功的概念的基本問題,往往會從如下四個方面提出； 1,做功與否的判定問題：物體受到力的作用,并在力的方向上通過一段位移,我們就說這個力對物體做了功；由此看來,做功與 否的判定,關(guān)鍵看功的兩個必要因素, 第一是力；其次是力的方向上的位移； 而所謂的 “力的方向上的位移 ”可作如下懂得：當位 移平行于力,就位移就是力的方向上的位的位移；當位移垂直于

3、力,就位移就不是力的方向上的位移；當位移與力既不垂直又不 平行于力,就可對位移進行正交分解,其平行于力的方向上的分位移仍被稱為力的方向上的位移； 2,會判定正功,負功或不做功；判定方法有： （1）用力和位移的夾角 判 定 ; 當 0 2 時 F 做正功, 當 時 F 不做功, 2當 時 F 做負功； 2（2）用力和速度的夾角 判肯 定 ; （3）用動能變化判定； 3,做功多少的運算問題： （1）依據(jù)定義求功；即： W=Fsco s ；公式中 F 是做功的力； S 是 F 所作用的物體發(fā)生的位移；而 方法也可以說成是：功等于恒力和沿該恒力方向上的位移的乘積； 就是 F 與 S 間的夾角；這 種

4、具體求功時可以有兩種處理方法 W 等于力 F 乘以物體在力 F 方向上的分位移 scos,即將物體的位移分解為沿 F 方向上和垂直 F 方向上的兩個分位移 W 等于力 F 在位移 s 方向上的分力 Fcos 乘以物體的位 s,即將力 F 分解為沿 s 方向和垂直 s 方向的兩個分力 移 在高中階段,這種方法只適用于 恒力 做功；至于變力做功的運算,通常可以利用功能關(guān)系通過能量變化的運算來明白變力的功； （2）W=Pt （3）用動能定理 W=Ek 或功能關(guān)系求功；當 F 為變力時,高中階段往往考慮用這種方法求功； 這種方法的依據(jù)是：做功的過程就是能量轉(zhuǎn)化的過程,功是能的轉(zhuǎn)化的量度；假如知道某一過

5、程中能量轉(zhuǎn)化的數(shù)值,那么也就知 道了該過程中對應的功的數(shù)值 （4）能量的轉(zhuǎn)化情形求, （功是能量轉(zhuǎn)達化的量度） （5）F-s 圖象,圖象與位移軸所圍均 “面積 ”為功的數(shù)值 （6）多個力的總功求解 用平行四邊形定就求出合外力,再依據(jù) wFscos 運算功留 應是合外力與位意 移 分別求各個外力的功： W1 F1scos1, W 2=F2scos 再求各個外力功的代數(shù)和 s 間的夾角 4,做功意義的懂得問題：做功意味著能量的轉(zhuǎn)移與轉(zhuǎn)化,做多少功,相應就有多少能量發(fā)生轉(zhuǎn)移或轉(zhuǎn)化； （三）明白常見力做功的特點： （1）一類是與勢能相關(guān)的力,如重力,彈簧的彈力,電場力等,它們的功與路程無關(guān)系,只與位移

6、有關(guān)； 重力做功和路徑無關(guān),只與物體始末位置的高度差 h 有關(guān)： W= mgh,當末位置低于初位置時, W 0,即重力做正功；反之就重 第 1 頁,共 26 頁力做負功； （2）摩擦力做功 靜 摩擦力做功的特點 靜摩擦力可以做正功,也可以做負功,仍可以不做功； 在靜摩擦力做功的過程中,只有機械能的相互轉(zhuǎn)移（靜摩擦力起著傳遞機械能的作用） 滑動摩擦力做功的特點 滑動摩擦力可以對物體做正功,也可以對物體做負功,當然也可以不做功； ,而沒有機械能轉(zhuǎn)化為其他形式的能 做功與物體的運動路徑有關(guān)；滑動摩擦力做功要看物體運動的路程,這是摩擦力做功的特點,必需牢記； 一對滑動摩擦力做功的過程中, 如以下圖,

7、上面不光滑的長木板,放在光滑的水平地面上, 一小木塊以速度 V0 從木板的左端滑 上木板,當木塊和木板相對靜止時,木板相對地面滑動了 S,小木塊相對木板滑動了 d,就由動能定理知： 滑動摩擦力對木塊所做功為： Ek 木 f s d 塊 滑動摩擦力對木板所做功為： Ek 木 f s 板 得： Ek 木 Ek 木 f d式說明木塊和木板組成的系統(tǒng)的機械能的削減量等于滑動摩擦力與木塊相對木板的位移的乘積；這部分削減的能量轉(zhuǎn)化為內(nèi)能； 板 塊 （3）一對作用力和反作用力做功的特點： 作用力與反作用力同時存在,作用力做功時,反作用力可能做功,也可能不做功,可能做正功,也可能做負功,不要以為作用 力與反作

8、用力大小相等,方向相反,就確定有作用力,反作用力的功數(shù)值相等； 一對互為作用反作用的摩擦力做的總功可能為零（靜摩擦力） （3）斜面上支持力做功問題： 斜面固定不動,物體沿斜面下滑時斜面對物體的支持力不做功 ,可能為負（滑動摩擦力） ,但不行能為正 斜面置于光滑的水平面上,一個物體沿斜面下滑,物體受到的支持力對物體做負功,如以下圖,物體下滑到斜面底端,斜面由 于不受地面摩擦,后退一段距離,需要留意的是位移 力做功為 0 的錯誤結(jié)論； S 是物體相對于地面的位移,不要認為是斜面,否就會得出物體受到的支持 F P F S Q 功率 1,功率的定義：功跟完成這些功所用時間的比值叫做功率,它表示物體做功

9、的快慢 2,功率的定義式： P W ,所求出的功率是時間 t 內(nèi)的平均功率； t 3,功率的運算式： P=Fvcos ,其中 是力與速度間的夾角；該公式有兩種用法： 求某一時刻的瞬時功率；這時 F 是該時刻的作用力大小, v 取瞬時值,對應的 P 為 F 在該時刻的瞬時功率； 當 v 為某段位移（時間）內(nèi)的平均速度時,就要求這段位移（時間）內(nèi) F 必需為恒力,對應的 P 為 F 在該段時間內(nèi)的平均功率； 重力的功率可表示為 PG=mgV y,即重力的瞬時功率等于重力和物體在該時刻的豎直分速度之積 4,單位：瓦（ w）,千瓦（ kw）； 5,標量 6,功率的物理意義：功率是描述做功快慢的物理量；

10、 7,通常講的汽車的功率是指汽車的牽引力的功率 P F 牽 v 二,汽車的兩種起動問題 第 2 頁,共 26 頁汽車的兩種加速問題； 當汽車從靜止開頭沿水平面加速運動時, 有兩種不同的加速過程, 但分析時接受的基本公式都是 P F 牽 v F-f =ma 和 恒定功率的加速；由公式 P=Fv 和 F-f=ma 知,由于 P 恒定,隨著 v 的增大, F 必將減小, a 也必將減小,汽車做加速度不斷減 小的加速運動,直到 F=f ,a=0,這時 v 達到最大值 v m Pm Pm ；可見恒定功率的加速確定不是勻加速；這種加速過程發(fā)動機 F f 做的功只能用 W=Pt 運算,不能用 W=Fs 運算

11、（由于 F 為變力）； 恒定牽引力的加速；由公式 P=Fv 和 F-f=ma 知,由于 F 恒定,所以 a 恒定,汽車做勻加速運動,而隨著 v 的增大, P 也將不斷 增大,直到 P 達到額定功率 Pm,功率不能再增大了；這時勻加速運動終止,其最大速度為 vm Pm Pm v m ,此后汽車要 F f 想連續(xù)加速就只能做恒定功率的變加速運動了；可見恒定牽引力的加速時功率確定不恒定；這種加速過程發(fā)動機做的功只能用 W=F s 運算,不能用 W=P t 運算（由于 P 為變功率）； 要留意兩種加速運動過程的最大速度的區(qū)分； 題型解析 判定力對物體是否做功 【例題】下面列舉的哪幾種情形下所做的功是零

12、） （ A衛(wèi)星做勻速圓周運動,地球引力對衛(wèi)星做的功 B平拋運動中,重力對物體做的功 C舉重運動員,扛著杠鈴在頭上的上方停留 10s,運動員對杠鈴做的功 D木塊在粗糙水平面上滑動,支持力對木塊做的功 解析：引力作為衛(wèi)星做圓周運動的向心力,向心力與衛(wèi)星運動速度方向垂直,所以,這個力不做功；杠鈴在此時間內(nèi)位移為零； 支持力與位移方向垂直,所以,支持力不做功；故 A,C, D 是正確的； 【例題】如以下圖,質(zhì)量為 m 的物體 A 靜止于傾角為 的斜面體 B 上,斜面體 B 的質(zhì)量為 M ,現(xiàn)對該斜面體施加一個水平向左 的推力 F,使物體隨斜面體一起沿水平方向向左勻速運動的位移為 s,就在此運動過程中斜

13、面體 B 對物體 A 所做的功為：（ C ） Fsm 1A BMgscot C0 D mgssin2 M m 2【例題】如以下圖,線拴小球在光滑水平面上做勻速圓周運動,圓的半徑是 1m,球的質(zhì)量是 ,線速度 v=1m/s,小球由 A 點 運動到 B 點恰好是半個圓周；那么在這段運動中線的拉力做的功是（ ） O A A 0 BCD無法確定 解析：小球做勻速圓周運動,線的拉力為小球做圓周運動的向心力,由于它總是與運動方向垂直,所以,這個力不做功；故 A 是正確的； 【例題】小物塊位于光滑的斜面上,斜面位于光滑的水平地面上,從地面上看,在小物塊沿斜面下滑的過程中,斜面對小物塊的 作用力； P Q A

14、 垂直于接觸面,做功為零； B 垂直于接觸面,做功不為零；C不垂直于接觸面,做功不為零； D不垂于接觸面,做功不為零； 解析：錯解：斜面對小物塊的作用力垂直于接觸面,作用力與物體的位移垂直,故做功為零；即 A 選項正確； A F P B 固定在水平桌面上,物體 S Q F 分析糾錯：小物塊 A 在下滑過程中和斜面之間有一對相互作用力 F 和 F,如以下圖；假如把斜面 的位移方向和彈力方向垂直,這時斜面對物塊 A 不做功；但此題告知的條件是斜劈放在光滑的水平面上,可以自由滑動；此時彈 第 3 頁,共 26 頁力方向仍然垂直于斜面,但是物塊 A 的位移方向卻是從初位置指向終末位置；如圖 27 所示

15、,彈力和位移方向不再垂直而是成一 鈍角,所以彈力對小物塊 A 做負功,即 B 選項正確； 判定力對物體做正功仍是負功 【例題】質(zhì)量為 m 的物體,受水平力 F 的作用,在粗糙的水平面上運動,以下說法中正確選項（ ） A假如物體做加速直線運動, F 確定做正功 B假如物體做減速直線運動, F 確定做負功 C假如物體做減速直線運動, F 可能做正功 D假如物體做勻速直線運動, F 確定做正功 解析：物體在粗糙水平面上運動,它必將受到滑動摩擦力,其方向和物體相對水平面的運動方向相反；當物體做加速運動時, 其力 F 方向必與物體運動方向夾銳角（含方向相同） ,這樣才能使加速度方向與物體運動的方向相同；

16、此時,力 F 與物體位移的 方向夾銳角,所以,力 F 對物體做正功, A 對； 當物體做減速運動時,力 F 的方向可以與物體的運動方向夾銳角也可以夾鈍角（含方向相反） ,只要物體所受合力與物體運動方 向相反即可,可見,物體做減速運動時,力 F 可能對物體做正功,也可能對物體做負功, B 錯, C 對； 當物體做勻速運動時,力 F 的方向必與滑動摩擦力的方向相反,即與物體位移方向相同,所以,力 F 做正功, D 對； 故 A ,C, D 是正確的； 弄清求恒力做功的方法 【例題】如以下圖, 均勻長直木板長 L=40cm ,放在水平桌面上, 它的右端與桌邊相齊, 木板質(zhì)量 m=2kg,與桌面間的摩

17、擦因數(shù) , 今用水平推力 F 將其推下桌子,就水平推力至少做功為（ ）（g取 10/s2） F LA B C 8J D 4J 解 析 ： 將 木 板 推 下 桌 子 即 木 塊 的 重 心 要 通 過 桌 子 邊 緣 , 水 平 推 力 做 的 功 至 少 等 于 克 服 滑 動 摩 擦 力 做 的 功 , LW Fs mg 20 J；故 A 是正確的； 2 2【例題】在光滑水平面上有一靜止的物體；現(xiàn)以水平恒力甲推這一物體,作用一段時間后,換成相反方向的水平恒力乙推這一物 體,當恒力乙作用時間與恒力甲作用時間相同時,物體恰好回到原處,此時物體的動能為 32J,就在整個過程中,恒力甲做的功 等于

18、J,恒力乙做的功等于 J； 解析一：此題的條件是恒力甲與恒力乙的作用時間相同,而且物體恰好回到原處；解題時要抓住這基本特點,運用牛頓運動定 律和運動學公式,只要得出恒力甲與恒力乙大小之間的關(guān)系就可求得它們做功之間的關(guān)系； 解析：在恒力甲作用下,有 s 1F1 2 t 2 t 2m在恒力乙作用下,有 s F1 mtt 1F2 2 m 可解得： F2 = 3 F1 所以, W2 = 3 W1 把 32J 的動能分為 4 份,恒力甲做的功等于 32J/4 = 8J,恒力乙做的功等于 24J； 解析二：因位移大小相等,時間間隔又相等,所以兩階段運動的平均速度大小必相等, v1 v2 v1 得 v2 2

19、v1 22所以 Ek 2 12 mv2 12 m 2v1 412 mv1 4Ek 1 1:3,做功之比也為 1:3,以后在電場的題中也會用到這個模型； 222即得 E k1 Ek 2 32 J 48J 4由動能定理得,兩力做功分別為 W1 E k 1 8J W2 Ek 2 Ek 2 Ek1 32 8J 24J 小結(jié) 此題的結(jié)論是普遍適用的,恒力甲與恒力乙之比為 第 4 頁,共 26 頁弄清求變力做功的幾種方法 功的運算在中學物理中占有特殊重要的位置,中學階段所學的功的運算公式 運算就沒有一個固定公式可用,下面對變力做功問題進行歸納總結(jié)如下： 1,等值法（轉(zhuǎn)化為恒力做功） W=FScosa 只能

20、用于恒力做功情形,對于變力做功的 等值法即如某一變力的功和某一恒力的功相等,就可以通過運算該恒力的功,求出該變力的功；而恒力做功又可以用 W=FScosa 運算,從而使問題變得簡潔； 【例題】如圖,定滑輪至滑塊的高度為 h,已知細繩的拉力為 F（恒定）,滑塊沿水平面由 A 點前進 S 至 B 點,滑塊在初,末位 置時細繩與水平方向夾角分別為 和 ；求滑塊由 A 點運動到 B 點過程中,繩的拉力對滑塊所做的功； h解析：設(shè)繩對物體的拉力為 T,明顯人對繩的拉力 F 等于 T； T 在對物體做功的過程中大小雖然不變,但其方向時刻在轉(zhuǎn)變, 因此該問題是變力做功的問題；但是在滑輪的質(zhì)量以及滑輪與繩間的

21、摩擦不計的情形下,人對繩做的功就等于繩的拉力對物體做 的功；而拉力 F 的大小和方向都不變,所以 F 做的功可以用公式 W=FScosa 直接運算；由圖 1 可知,在繩與水平面的夾角由 變 到 的過程中,拉F 的作用點的位移大小為： F. S 1 Fh sin 1力 hhWT WF S S1 S2 sin sin sin 2,微元法 當物體在變力的作用下作曲線運動時,如力的方向與物體運動的切線方向之間的夾角不變,且力與位移的方向同步變化,可用微 元法將曲線分成無限個小元段,每一小元段可認為恒力做功,總功即為各個小元段做功的代數(shù)和； 【例題】如以下圖,某力 一樣,就轉(zhuǎn)動一周這個力 F=10N 作

22、用于半徑 R=1m 的轉(zhuǎn)盤的邊緣上,力 F 的大小保持不變,但方向始終保持與作用點的切線方向 F 做的總功應為： RO F A, 0J B, 20J C , 10J D,20J 解析：把圓周分成無限個小元段,每個小元段可認為與力在同始終線上,故 W=F 2 R=10 2 J=20,故JB 正確； 3,平均力法 W=FS,就轉(zhuǎn)一周中各個小元段做功的代數(shù)和為 假如力的方向不變,力的大小對位移按線性規(guī)律變化時,可用力的算術(shù)平均值（恒力）代替變力,利用功的定義式求功； 【例題】一輛汽車質(zhì)量為 105kg,從靜止開頭運動, 其阻力為車重的 倍；其牽引力的大小與車前進的距離變化關(guān)系為 F=103 x+f

23、0, f0 是車所受的阻力；當車前進 100m 時,牽引力做的功是多少？ 解析：由于車的牽引力和位移的關(guān)系為 F=10 3 x+f 0,是線性關(guān)系, 故前進 100m 過程中的牽引力做的功可看作是平均牽引力 F 所 做的功；由題意可知 f 0 10510N 5104N,所以前進 100m過程中的平均牽引力 : 4 3 4 F 5 10 100 10 5 10 N W F s 1105100J 110 J； 7 2 5 1 10 N 【例題】邊長為 a 的立方木塊浮于水面,平穩(wěn)時有一半露在水面；現(xiàn)用力向下壓木塊使之緩慢地下降,直到立方塊上表面與水面 齊平；求在這一過程中壓力做的功,水的密度為 ；

24、 1mg 所以平均力為 mg 力做的功為 解析：力的最小值為 0,而上表面與水面平齊時,壓力為 2W mg a而 mg ga 3 2所以 W mg a4 ga 22228【例題】用鐵錘將一鐵釘擊入木塊,設(shè)木塊對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進入木塊內(nèi)的深度成正比；在鐵錘擊第一次時,能把鐵釘擊入木 塊內(nèi) 1 cm；問擊其次次時,能擊入多少深度？（設(shè)鐵錘每次做功相等） 第 5 頁,共 26 頁x1 x2 （2）不能類比遷移,采 解析：考查對功概念的懂得才能及理論聯(lián)系實際抽象建立模型的才能； B 級要求； 錯解分析：（ 1）不能據(jù)阻力與深度成正比這一特點,將變力求功轉(zhuǎn)化為求平均阻力的功,進行等效替代； 用類似據(jù)勻

25、變速直線速度 -時間圖象 求位移的方式,依據(jù) F-x 圖象求功； 解題方法與技巧：解法一： （平均力法） 鐵錘每次做功都用來克服鐵釘阻力做的功,但摩擦阻力不是恒力,其大小與深度成正比,比例系數(shù)為 1K ； 第一次擊入深度為 x1,平均阻力 F1 = 1kx1,做功為 W1= F1 x1= 1kx12； 22k（ x2 -x1 2 2）； 其次次擊入深度為 x1 到 x2,平均阻力 F2 = 1k（ x2+ x1）,位移為 x2-x1,做功為 W2 = F2 （x2 -x1 ）= 22兩次做功相等： W1 =W2； 解后有： x2= 2x1 cm, x=x2-x1 cm； 解法二：（圖象法） F

26、 kx2 kx1 x1 x2 x 由于阻力 F= kx,以 F 為縱坐標, F 方向上的位移 x 為橫坐標,作出 F-x 圖象（圖 4-4）；曲線上面積的值等于 F 對鐵釘做的功； 由于兩次做功相等,故有： S1=S2 （面積）,即： 1 kx12= 1 k（ x2+ x1）（ x2-x1）,所以 x= x2-x1 cm 2 2【例題】要把長為 l 的鐵釘釘入木板中,每打擊一次賜予的能量為 E 0 ,已知釘子在木板中遇到的阻力與釘子進入木板的深度成 正比,比例系數(shù)為 k；問此釘子全部進入木板需要打擊幾次？ 解析：在把釘子打入木板的過程中,釘子把得到的能量用來克服阻力做功,而阻力與釘子進入木板的

27、深度成正比,先求出阻力 的平均值,便可求得阻力做的功；釘子在整個過程中受到的平均阻力為： F 0 kl kl 2釘子克服阻力做的功為 2WF Fl 12 kl 設(shè)全過程共打擊 n 次,就賜予釘子的總能量： EnE0 1 22 kl ,所以 n2 kl 2E0 2總4,用動能定理求變力做功 動能定理表達式為 WEk ,其中 W是全部外力做功的代數(shù)和, Ek 是物體動能的增量；假如物體受到的除某個變力以外 的其他力所做的功均能求出,那么用動能定理就可以求出這個變力所做的功； 【例題】如以下圖,質(zhì)量為 m 的小球用長 L 的細線懸掛而靜止在豎直位置；在以下三種情形下,分別用水平拉力 F 將小球拉到細

28、 線與豎直方向成 角的位置；在此過程中,拉力 F 做的功各是多少？ LmF 第 6 頁,共 26 頁用 F 緩慢地拉； F 為恒力；如 F 為恒力,而且拉到該位置時小球的速度剛好為零；可供選擇的答案有 A FL cos B FL sin C FL 1 cos D mgL 1 cos 解析：如用 F 緩慢地拉,就明顯 F 為變力,只能用動能定理求解； F 做的功等于該過程克服重力做的功；選 D如 F 為恒力,就可以直接按定義求功；選 B 如 F 為恒力,而且拉到該位置時小球的速度剛好為零,那么按定義直接求功和按動能定理求功都是正確的；選 B, D 在第三種情形下,由 FL sin = mgL 1

29、 cos ,可以得到 F 1 cos tan ,可見在擺角為 時小球的速度最大；實際 mg sin 2 2上,由于 F 與 mg 的合力也是恒力,而繩的拉力始終不做功,所以其成效相當于一個擺,我們可以把這樣的裝置叫做 “歪擺 ”； 【例題】如以下圖, AB 為 1/4 圓弧軌道,半徑為 0. 8m,BC 是水平軌道,長 L=3m ,BC 處的摩擦系數(shù)為 1/15,今有質(zhì)量 m=1kg 的物體,自 A 點從靜止起下滑到 C 點剛好停止；求物體在軌道 A RB CAB 段所受的阻力對物體做的功； 解析：物體在從 A 滑到 C 的過程中,有重力, AB 段的阻力, AC 段的摩擦力共三個力做功,重力

30、做功,水平面上摩擦力做功, 由于物體在 AB 段受的阻力是變力,做的功不能直接求；依據(jù)動能定理可知： W 外 =0, 所以 mgR mgL WAB 0 WAB 6 J 【例題】如以下圖,質(zhì)量 m 1kg 的物體從軌道上的 A 點由靜止下滑,軌道 AB 是彎曲的,且 A 點高出 B 點 h ；物體 到達 B 點時的速度為 2m / s ,求物體在該過程中克服摩擦力所做的功； A hB FN 和摩擦力 Ff ；由于軌道是彎曲的,支持力和摩擦 解析：物體由 A 運動到 B 的過程中共受到三個力作用：重力 G,支持力 力均為變力；但支持力時刻垂直于速度方向,故支持力不做功,因而該過程中只有重力和摩擦力

31、做功； W WG Wf 由動能定理 W Ek ,其中 外 E k 1mv B 2 1mv A 2 ,所以 mgh Wf 2 1 mvB ,代入數(shù)據(jù)解得 Wf 2 J 外 2 2【例題】 如以下圖, 某人通過一根跨過定滑輪的輕繩提升一個質(zhì)量為 m 的重物, 開頭時人在滑輪的正下方,繩下端 A 點離滑輪的 距離為 H；人由靜止拉著繩向右移動,當繩下端到 B 點位置時,人的速度為 v,繩與水平面夾角為 ；問在這個過程中,人對重 物做了多少功？ v A B 解析：人移動時對繩的拉力不是恒力,重物不是做勻速運動也不是做勻變速運動,故無法用 W Fscos 求對重物做的功, 需從動能定理的角度來分析求解；

32、 H H 1 sin 當 繩 下 端 由 A 點 移 到 B 點 時 , 重 物 上 升 的 高 度 為 ： h H , 重 力 做 功 的 數(shù) 值 為 ： sin sin W G mgH 1 sin ,當繩在 B 點實際水平速度為 v 時,v 可以分解為沿繩斜向下的分速度 v 和繞定滑輪逆時針轉(zhuǎn)動的分速 sin 度 v2 ,其中沿繩斜向下的分速度 v1 和重物上升速度的大小是一樣的,從圖中可看出： v1 v cos ,以重物為爭論對象,依據(jù)動 2 2能定理得： W WG 1mv1 2 0 W mgH 1 sin mv cos 2 人 sin 2人【例題】如以下圖,在水平放置的光滑板中心開一個

33、小孔 O,穿過一細繩,繩的一端系住一個小球,另一端用力 F 拉著使小球在 平板上做半徑為 r 的勻速圓周運動,在運動過程,逐步增大拉力,當拉力增大為 8F 時,球的運動半徑減為 r/2 ,求在此過程中拉 力所做的功 第 7 頁,共 26 頁O F 解析：對于變力做功問題,假如能知道運動過程中初末狀態(tài)的動能,都可利用動能定理求解；動能定理是一個適用面很廣的定 理,凡是涉及力對物體做功過程中動能的變化問題幾乎都能使用,不僅能夠解決恒力做功問題也適用于變力做功問題,這也正是 動能定理廣泛應用于解決力學問題的優(yōu)點；答案 :3Fr/2 ； 【例題】如以下圖,在長為 L 的輕桿中點 A 和端點 B 各固定

34、一質(zhì)量均為 m 的小球,桿可繞無摩擦的軸 O 轉(zhuǎn)動,使桿從水平位置 無初速釋放擺下；求當桿轉(zhuǎn)到豎直位置時,輕桿對 O A,B 兩球分別做了多少功 .vA A B vB 解析：錯解：由于桿的彈力總垂直于小球的運動方向,所以輕桿對 A ,B 兩球均不做功； 分析糾錯： 設(shè)當桿轉(zhuǎn)到豎直位置時, A 球和 B 球的速度分別為 V A 和 V B；假如把輕桿, 地球,兩個小球構(gòu)成的系統(tǒng)作為爭論對象, 那么由于桿和小球的相互作用力做功總和等于零,故系統(tǒng)機械能守恒；如取 B 的最低點為零重力勢能參考平面,可得： 3 1 2 1 2mgL mVA mVB , 又 因 A 球 對 B 球 在 各 個 時 刻 對

35、 應 的 角 速 度 相 同 , 故 B 2 A , 由 以 上 二 式 得 ： 2 2 23gL 12gL L 1 2VA ,VB ；依據(jù)動能定理,可解出桿對 A ,B 做的功；對于 A 有 WA mg m A 5 5 2 2所以 WA mgL ,對于 B 有 WB mgL 1 m B 2,所以 WB mgL 2【例題】如圖 4 所示,質(zhì)量 m=2kg 的物體,從光滑斜面的頂端 A 點以 V 0=5m/s 的初速度滑下,在 D 點與彈簧接觸并將彈簧壓縮 到 B 點時的速度為零,已知從 A 到 B 的豎直高度 h=5m,求彈簧的彈力對物體所做的功； A v0 D hB 解析： WB 125 J

36、 5,用 W=Pt 利用此式可求出功率保持不變的情形下變力所做的功； 【例題】質(zhì)量為 5t 的汽車以恒定的輸出功率 75kW 在一條平直的大路上由靜止開頭行駛,在 10s 內(nèi)速度達到 10m/s,求摩擦阻力 在這段時間內(nèi)所做的功； 解析：汽車的功率不變,依據(jù) P Fv 知,隨著速度 v 的增大,牽引力將變小,不能用 3WF Pt 75 10 10J 5 ,再由動能定理得： 10 J W Fl 求功,但已知汽車的功率恒 定,所以牽引力在這段時間內(nèi)所做的功 Wf WF 12 mv 02所以 Wf 12 mv WF 5 51 0J 26,用功能原理求變力做功 除系統(tǒng)內(nèi)重力和彈力以外的其他力對系統(tǒng)所做

37、功的代數(shù)和等于系統(tǒng)機械能的增量；如只有重力和彈力做功的系統(tǒng)內(nèi),就機械能守 恒（即為機械能守恒定律）； 【例題】兩個底面積都是 S 的圓筒,放在同一水平面上,桶內(nèi)裝水,水面高度分別為 h1 和 h2,如以下圖,已知水的密度為 ；現(xiàn) 把連接兩桶的閥門打開,最終兩桶水面高度相等,就這過程中重力所做的功等于 ； h1 h2 解析：由于水是不行壓縮的,把連接兩桶的閥門打開到兩桶水面高度相等的過程中,利用等效法把左管高 h1 2h2 以上部分的 水等效地移至右管,如圖中的斜線所示； h1 A B h2 最終用功能關(guān)系,重力所做的功等于重力勢能的削減量, 所以重力做的功 W G h1 2h2 h1 gS 2

38、h2 1gS h1 2 h2 4【例題】如以下圖,將一個質(zhì)量為 m,長為 a,寬為 b 的矩形物體直立起來的過程中,人至少需要做多少功？ ab分析：在人把物體直立起來的過程中,人對物體的作用力的大小和方向均未知,無法應用 WF l cos 求解； 該過程中,物體要經(jīng)受圖 4 所示的狀態(tài),當矩形對角線豎直時,物體重心高度最大,重心變化為： h 1a 2 b 2 b ,由功能原理可知 W 外 E P E k , 當 E k 0 時, W 外 最小,為： 2W 外 p mg h 1 mg abb 2 2E 27,用圖象法 在 F x 圖象中,圖線和橫軸所圍成的面積即表示力所做的功； 【例題】放在地面

39、上的木塊與一勁度系數(shù) k 200 N / m 的輕彈簧相連； 現(xiàn)用手水平拉彈簧, 拉力的作用點移動 x1 m 時, 木塊開頭運動,連續(xù)拉彈簧,木塊緩慢移動了 x2 m 的位移,求上述過程中拉力所做的功； 解析：由題意作出 F x 圖象如圖 3 所示,在木塊運動之前,彈簧彈力隨彈簧伸長量的變化是線性關(guān)系,木塊緩慢移動時彈簧 彈力不變,圖線與橫軸所圍梯形面積即為拉力所做的功；即 F/N 40 x/m W 1.0 6 0.440J 20J 2弄清滑輪系統(tǒng)拉力做功的運算方法 當牽引動滑輪兩根細繩不平行時,但都是恒力,此時如將此二力合成為一個恒力再運算這個恒力的功,就運算過程較復雜；但如 等效為兩個恒力

40、功的代數(shù)和,將使運算過程變得特殊簡便； 【例題】如以下圖,恒定的拉力大小 F=8N,方向與水平線夾 =60角,拉著繩頭使物體沿水平面移動 d=2m 的過程中,拉力做 了多少功？ 第 9 頁,共 26 頁F 解析：如以下圖,隨著物體沿水平面前進 d=2m,繩頭從 A 點被拉到 B 點,由此可見：拉 F 所作用的物體（繩頭）的位移 S 可由幾何關(guān)系求得為 S 2d cos30 2 3m .而力 F 與位移 S 間的夾角為 30 所以,這過程中拉 F 作用于繩頭所做的 功為 W Fs cos 823 3 J 24 J 2解法二 如圖 6-5 繩子張力大小為 F,但張力對物體做功包括沿 F 方向的張力

41、所做的功 W1 和水平向右的張力所做的功 W2,即 W W1 W2 Fs cos Fs 22Fscos 2W 2F cos s cos 解法三 如圖 6-6 ,繩子對物體拉力的合力大小為 2F cos ,此合力做的功為 2 22 22Fs cos 2【例題】如以下圖,在傾角為 30的斜面上,一條輕繩的一端固定在斜面上,繩子跨過連在滑塊上的定滑輪,繩子另一端受到一 個方向總是豎直向上,大小恒為 F=100N 的拉力,使物塊沿斜面對上滑行 1m 滑輪右邊的繩子始終與斜面平行 的過程中,拉力 F 做的功是 F 30 100J 150J 200J 條件不足,無法確定 W=F 1S+F2Scos60,而

42、 F1=F2=F=100N,所以 解析：拉力 F 做的功等效為圖 8 中 F1 ,F2 兩個恒力所做功的代數(shù)和；即 F2 F1 30 W=FS1+cos60=150J；即 B 選項正確 求某力的平均功率和瞬時功率 【例題】質(zhì)量為 的物體從高處以水平的初速度 V 0 =5m/s 拋出,在運動 t=2s 內(nèi)重力對物體做的功是多少？這 2s 內(nèi)重力對 第 10 頁,共 26 頁物體做功的平均功率是多少？ 2s 末,重力對物體做功的瞬時功率是多少？（ g 取 10m / s2） 解 析 ： t=2s 內(nèi) , 物 體 在 豎 直 方 向 下 落 的 高 度 h12 gt 110 2 2 20 m , 所

43、 以 有 22WG mgh 10 20 100 J , 平 均 功 率 P W 50 W ； 在 t=2s 末 速 度 物 體 在 豎 直 方 向 的 分 速 度 t Vyt gt 20m / s ,所以 t=2s 末瞬時功率 P mgVyt 100 W ； 【例題】（1994年 上海）跳繩是一種健身運動；設(shè)某運動員的質(zhì)量是 50kg,他一分鐘跳繩 180 次；假定在每次跳動中,腳與地面 的接觸時間占跳動一次所需時間的 2 / 5,就該運動員跳繩時克服重力做功的平均功率是 W（ g 取 10m/s2）； 解析：跳一次的時間是 t0 = 60 / 180 s = 1 / 3 s, 人跳離地面作豎

44、直上拋,到最高點時間為 t = 111 2 s 235此過程克服重力做功 W = 1 mg 22 gt 25 W,跳繩時克服重力做功的平均功率 P W 25 W = 75W t0 13【例題】起重機的鋼索將重物由地面吊到空中某個高度,其速度圖象如以下圖,就鋼索拉力的功率隨時間變化的圖象可能是圖中 的哪一個？ v 0 t1 t2 t 0P t2 t3 t 0P 3t1 t1 t 2 t3 t 0A t2 t3 t 0t3 t B P P t1 t1 t2 C D解析：在 0 t1 時間內(nèi),重物加速上升,設(shè)加速度為 a1,就據(jù)牛頓其次定律可得鋼索的拉力 F1=mg+ma 1,速度 V t=a1t,

45、所以拉力 的功率為： P1=ma 1+ga1t;, 在 t1 t2 時間內(nèi),重物勻速上升,拉力 F2=mg,速度為 V 1 =a1t1 ,所以拉力的功率為： P2=mga1t1 ； 在 t2 t3 時間內(nèi),重物減速上升,設(shè)加速度大小為 a2,就據(jù)牛頓其次定律可得鋼索的拉力 F2=mg-ma2,速度 V 2=a1t1,所以拉力的 功率為： P1 =mg-a2 a1 t1；綜上所述,只有 B 選項正確 機車起動問題 【例題】汽車以恒定功率 P 由靜止動身,沿平直路面行駛,最大速度為 v,就以下判定正確選項（ C ） A汽車先做勻加速運動,最終做勻速運動 B汽車先做加速度越來越大的加速運動,最終做勻

46、速運動 C汽車先做加速度越來越小的加速運動,最終做勻速運動 D汽車先做加速運動,再做減速運動,最終做勻速運動 【例題】 汽車發(fā)動機額定功率為 60 kW,汽車質(zhì)量為 103kg,汽車在水平路面行駛時, 受到的阻力大小是車重的 倍,試求： 汽車保持額定功率從靜止動身后能達到的最大速度是多少？ 解析：汽車以恒定功率起動時,它的牽引力 F 將隨速度 V 的變化而變化,其加速度 a 也隨之變化, 由此可得汽車速度達到最大時, a=0 , F f kmg V mP =12 m/s kmg P F Vm 小結(jié)：機車的速度達到最大時,確定是機車的加速度為零；弄清了這一點,利用平穩(wěn)條件就很簡潔求出機車的最大速

47、度； 【例題】 質(zhì)量為 2t 的農(nóng)用汽車,發(fā)動機額定功率為 30kW ,汽車在水平路面行駛時能達到的最大時速為 54km/h；如汽車以額定 功率從靜止開頭加速,當其速度達到 v=36km/h 時的瞬時加速度是多大？ 第 11 頁,共 26 頁解析：汽車在水平路面行駛達到最大速度時牽引力 可以求得這時的 2F 等于阻力 f,即 Pm=f vm,而速度為 v 時的牽引力 F=Pm/v,再利用 F-f=ma , 【例題】 汽車發(fā)動機額定功率為 60 kW,汽車質(zhì)量為 103kg,汽車在水平路面行駛時, 受到的阻力大小是車重的 倍,試求： 如汽車從靜止開頭,以 0.5 m/s2 的加速度勻加速運動,就

48、這一加速度能保護多長時間？ 解析：要保護汽車加速度不變,就要保護其牽引力不變,汽車功率將隨 V 增大而增大,當 P 達到額定功率 P 額后,不能再增加, 即汽車就不行能再保持勻加速運動了； 所以,汽車達到最大速度之前已經(jīng)受了兩個過程：勻加速和變加速,勻加速過程能保護到汽車功率增加到 P 額 的時刻,設(shè)勻加速 能達到最大速度為 V1 ,就此時 V1 at ；小結(jié)：機車勻加速度運動能保護多長時間,確定是機車功率達到額定功率的時間；弄清 P FV1 代入數(shù)據(jù)可得 : t 16s 額kmg ma 了這一點,利用牛頓其次定律和運動學公式就很簡潔求出機車勻加速度運動能保護的時間； F 【例題】質(zhì)量 4t

49、的機車,發(fā)動機的最大輸出功率為 100kW,運動阻力恒為 2 10 3 N ,試求； （1）當機車由靜止開頭以 2 的加速度沿水平軌道做勻加速直線運動的過程中,能達到的最大速度和達到該最大速度所需的 時間；（ 2）如機車保持額定功率不變行駛,能達到的最大速度以及速度為 10m/s 時機車的加速度； 2解析：（1） Vm=25m/s t=50s （2） um 50m / s a 2m / s 【例題】額定功率為 80kW 的汽車,在平直的大路上行駛的最大速度是 20m/s,汽車的質(zhì)量是 2t,假如汽車從靜止開頭做勻加速 直線運動,加速度的大小是 2m/s2,運動過程中阻力不變；求： （1）汽車受

50、到的阻力多大？（ 2）3s 末汽車的瞬時功率多大？（ 3）汽車保護勻加速運動的時間是多少？ 解析：（1）當汽車達最大速度時,加速度為零,牽引力的大小等于阻力的大小,即 f P額 80 10 3N = 4 10 3N20 vm （2）設(shè)汽車做勻加速運動時,需要的牽引力為 F 1,有 F1 f = ma,所以 F1 = f + ma =（ 4 31032 1032 ）N = 3 8 10 N6 W = 48kW 3s 末汽車的瞬時速度為 v3 = 6m/s,所以汽車在 3s 末的瞬時功率為 P3 = F1 v3 = 8 10（3）汽車做勻加速運動時,牽引力恒定,隨著車速的增大,汽車的輸出功率增大,

51、當輸出功率等于額定功率時的速度是汽車做勻 加速運動的最大速度,設(shè)為 v1,有 v P 額 F 1 80 108 10 3 3m/s= 10m/s ,依據(jù)運動學公式,汽車保護勻加速運動的時間為 t v1 10 s = 5s a 2【例題】電動機通過一繩子吊起質(zhì)量為 8 kg 的物體,繩的拉力不能超過 120 N ,電動機的功率不能超過 1200 W,要將此物體由靜 止起用最快的方式吊高 90 m（已知此物體在被吊高接近 90 m 時,已開頭以最大速度勻速上升）所需時間為多少？ 解析：此題可以用機車起動類問題的思路,即將物體吊高分為兩個過程處理：第一過程是以繩所能承擔的最大拉力拉物體,使 物體以最

52、大加速度勻加速上升,第一個過程終止時,電動機剛達到最大功率；其次個過程是電動機始終以最大功率拉物體,拉力 逐步減小,當拉力等于重力時,物體開頭勻速上升； 在勻加速運動過程中加速度為 a= Fm mg 120 8 10 m/s2=5m/s2,末速度 Vt= Pm 1200 =10m/s ,上升的時間 m 8 Fm 120 2 2Vt 10 Vt 10 t1= s=2 s , 上 升 高 度 為 h= =10m , 在 功 率 恒 定 的 過 程 中 , 最 后 勻 速 運 動 的 速 率 為 a 5 2a 2 5Vm= Pm Pm 1200 =15 m/s , 外 力 對 物 體 做 的 總 功

53、 W Pmt 2 mgh2 W=Pmt2-mgh2 , 動 能 變 化 量 為 F mg 8 10 EK 1 m m 2 1 m t 2,由動能定理得 Pm t2 mgh2 1 m m 2 1 m t 2,代入數(shù)據(jù)后解得 t 2 ,所以 2 2 2 2t t1 t2 所需時間至少為 7.75 s； 小結(jié)：機車運動的最大加速度是由機車的最大牽引力準備的,而最大牽引力是由牽引物的強度準備的；弄清了這一點,利用牛頓 其次定律就很簡潔求出機車運動的最大勻加速度 用圖象法巧解機車功率問題 【例題】 火車在恒定功率下由靜止動身, 沿水平軌道行駛, 5 min 后速度達到最大 20m/s,如火車在運動過程中

54、所受阻力大小恒定； 就該火車在這段時間內(nèi)行駛的距離： （ ） A可能等于 3kmB 確定大于 3kmC 確定小于 3kmD無法確定 第 12 頁,共 26 頁解析： v/ms-120 0300 t/ s 火車由靜止動身保持功率不變,必定是一個加速度不斷減小的加速運動,就圖象各點的斜率（即瞬時加速度）隨時間逐步減小, 其 v t 圖 線 為 下 圖 曲 線 部 分 , 且 曲 線 為 向 上 凸 ； 而 在 對 應 時 間 內(nèi) 的 勻 加 速 運 動 為 斜 直 線 , 這 段 時 間 的 位 移 s 20 5 2 60 m 3000m 3km（畫陰影線面積）確定要小于向上凸的曲線與時間軸圍成的

55、面積；其圖線很直觀地表現(xiàn) 出它們的大小關(guān)系；所以選 B； 【例題】完全相同的兩輛汽車,以相同速度在平直的大路上并排勻速行駛,當它們從車上輕推下質(zhì)量相同的物體后,甲車保持原 來的牽引力連續(xù)前進,乙車保持原先的功率連續(xù)前進,一段時間后： （ ） A甲車超前 B乙車超前 C仍齊頭并進 D先是甲車超前,后乙車超前 解析： 假如考慮列式分析,恐難以解決的；那么我們利用所熟識的勻加速運動和功率不變條件下的速度 時間圖象解決此題就特殊便利 了；兩輛車以相同的速度并排行駛時,當同時從兩輛車上輕推下質(zhì)量相同的物體,它們所受阻力必定有所減小,使牽引力大于阻 力,速度增大；不過此后,甲車保持原先的牽引力就做勻加速運

56、動；乙車保持功率不變（ P Fv ,速度增大,就牽引力減小） 做加速度越來越小的加速運動；簡潔看出,它們的初速度一樣,勻加速運動的圖線確定是功率不變的加速運動圖線在零時刻的切 線,很明顯乙曲線與時間軸圍成的面積小于甲圖線與時間軸圍成的面積,即相同時間內(nèi)乙的位移小于甲的位移；故甲車確定超前 乙車,所以此題應選 A 其次模塊：動能和動能定理 夯實基礎(chǔ)學問 一,動能 1,概念：動能概念的懂得：物體由于運動而具有的能叫動能, 2,達式為： Ek 12 mv 23,狀態(tài)量：和動量一樣,動能也是用以描述機械運動的狀態(tài)的狀態(tài)量；只是動量是從機械運動動身量化機械運動的狀態(tài),動量確 定的物體準備著它克服確定的阻

57、力仍能運動多久；動能就是從機械運動與其它運動的關(guān)系動身量化機械運動的狀態(tài),動能確定的 物體準備著它克服確定的阻力仍能運動多遠； 4,標量 5,單位：焦耳（ J） 二,動能定理： 1,推導：動能定理實際上是在牛頓其次定律的基礎(chǔ)上對空間累積而得：在牛頓其次定律 s,即可得 WFs mas 12 mv2 12 mv1 22合F= ma 兩端同乘以合外力方向上的位移 2,表述：外力所做的總功等物體動能的變化量 W=EK（這里的合外力指物體受到的全部外力的合力,包括重力） 3,動能定理表達式： W EK 2 EK 1 EK 合式中 W 是指合外力對物體所做的功的代數(shù)和,它可以是合外力做的功,也可以是各外

58、力做的總功；既可以是幾個外力同時做的 功的代數(shù)和,也可以是各外力在不同時間內(nèi)做功的累積；即可以是恒力做功,也可以是變力做功；式中 EK 是物體動能增量； 動能定理也可以表述為：外力對物體做的總功等于物體動能的變化；實際應用時,后一種表述比較好操作；不必求合力,特殊是 第 13 頁,共 26 頁在全過程的各個階段受力有變化的情形下,只要把各個力在各個階段所做的功都依據(jù)代數(shù)和加起來,就可以得到總功 和動量定理相像,動能定理也建立起過程量（功）與狀態(tài)量（動能）變化間的關(guān)系,利用這一關(guān)系,也可以通過比較狀態(tài)達到了 解過程之目的； 功和動能都是標量,動能定理表達式是一個標量式,不能在某一個方向上應用動能

59、定理 4,懂得動能定理的另一種形式, “生熱議程”也叫系統(tǒng)動能定理 （1）內(nèi)容：摩擦力在物體間相對滑動時所做的功,即摩擦力與相對位移之積等于系統(tǒng)動能的變化 （2）表達式： F s Ek1 Ek 2 5,運用動能定懂得題的關(guān)鍵：分析受力（四周物體施予爭論對象的全部的力）及各力做功的情形,受哪些力？每個力是否做功？ 在哪段位移過程中做功？正功？負功？做多少功？ 6,技巧：應用動能定懂得多過程問題時可把多過程看成整體列方程,更簡便；對于多過程,多階段問題,常常可以用多種做法： 分階段列方程； 對整個過程列方程（往往是 v0 ,vt 都為 0） 對整個過程列方程較簡潔； 7,留意事項： 動能定理適用于

60、單個物體或者可以看做單一物體的物體系,對于物體系統(tǒng)特殊是具有相對運動的物體系統(tǒng)不能盲目的應用動能 定理由于此時內(nèi)力的功也可引起物體動能向其他形式能（比如內(nèi)能）的轉(zhuǎn)化 動能定理的表達式是在物體受恒力作用且做直線運動的情形下得出的但它也適用于變力及物體作曲線運動的情形即動能定 理對恒力,變力做功都適用；直線運動與曲線運動也均適用 對動能定理中的位移與速度（ v 和 s）必需相對同一參照物 8,應用動能定理的優(yōu)越性 一般來說,用牛頓其次定律和運動學學問求解的問題,用動能定理也可以求解,而且往往用動能定理求解簡捷可是,有些用 動能定理能夠求解的問題,應用牛頓其次定律和運動學學問卻無法求解可以說,嫻熟地