1、高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納選修 4-5 不等式選講1、基礎學問梳理2、常考題型歸納3、強化訓練一、基礎學問梳理【復習指導】本講復習時, 緊緊抓住含肯定值不等式的解法,以及利用重要不等式對一些簡潔的不等式進行證明 該部分的復習以基礎學問、 基本方法為主, 不要刻意提高難 度,以課本難度為宜,關鍵是懂得有關內容本質 . 基礎梳理 1含有肯定值的不等式的解法 1|fx|aa0. fxa 或 fxa；2|fx|aa0. afxa；3對形如 |xa|xb|c,|xa| |xb|c 的不等式,可利用肯定值不等式的 幾何意義求解2含有肯定值的不等式的性質 |a|b|ab|a|b|. 3基本不等式

2、 定理 1：設 a,bR,就 a2b22ab.當且僅當 ab 時,等號成立定理 2：假如 a、b 為正數,就ab 2ab,當且僅當 ab 時,等號成立定理 3：假如 a、b、c 為正數,就abc 33 abc,當且僅當 abc 時,等號成立高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納定理 4：一般形式的算術幾何平均值不等式假如 a1、a2、 、an為 n 個正數,就a1a2 an nn a1a2 an,當且僅當 a1a2 an 時,等號成立4 柯西不等式1柯西不等式的代數形式：設 a,b,c,d 為實數, 就 a 2 b 2 c 2d2 ac bd 2,當且僅當 ad bc 時等號成立n n n2如

3、 ai, bii N *為實數,就 a 2i b 2i aibi 2,當且僅當i1 i1 i1bi 0i 1,2, , n或存在一個數 k,使得 ai kbii 1,2, ,n時,等號成立3柯西不等式的向量形式：設, 為平面上的兩個向量,就| | | |,當且僅當這兩個向量同向或反向時等號成立5不等式的證明方法 證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等雙基自測 1不等式 1|x1|3 的解集為 _答案 4,20,2 2不等式 |x8| |x4|2 的解集為 _4,x4,解析令： fx|x8|x4|2x12,4x8,4,x8,當 x4 時,fx42；當 4x8 時,fx 2

4、x122,得 x5,4x5；當 x8 時,fx 42 不成立故原不等式的解集為： x|x5答案 x|x5 3已知關于 x 的不等式 |x1|x|k 無解,就實數 k 的取值范疇是 _解析|x1|x|x1x|1,當 k1 時,不等式 |x1|x|k 無解,故高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納k1. 答案 k1 4如不等式 |3x b|4 的解集中的整數有且僅有_解析 由|3xb|4,得b4 3xb4 3,0b4 31,即 解得 5b7. 3b4 34,答案 5,7 1,2,3,就 b 的取值范疇為52022 南京模擬 假如關于 x 的不等式 |xa|x4|1 的解集是全體實數,就 實數 a

5、的取值范疇是 _解析 在數軸上,結合實數肯定值的幾何意義可知 a5 或 a3. 答案 , 53, 考向一 含肯定值不等式的解法【例 1】.設函數 fx|2x1|x4|. 1解不等式 fx2；2求函數 yfx的最小值審題視點 第1問：采納分段函數解不等式；第2問：畫出函數fx的圖象可求 fx的最小值解1fx|2x1|x4|x5x1 2,3x3 1 2x4 ,x5 x4 .當 x1 2時,由 fx x52 得, x7.x 7；當1 2x4 時,由 fx3x32,得 x5 3,高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納5 3x4；當 x4 時,由 fxx52,得 x 3,x4. 故原不等式的解集為x x

6、7或x5 3 . 2畫出 fx的圖象如圖：fxmin9 2. 1用零點分段法解肯定值不等式的步驟：求零點；劃區間、去絕對值號；分別解去掉肯定值的不等式；要遺漏區間的端點值取每個結果的并集, 留意在分段時不2用圖象法,數形結合可以求解含有肯定值的不等式,使得代數問題幾何化,即通俗易懂,又簡潔直觀,是一種較好的方法【訓練 1】 設函數 fx|x1|xa|. 1如 a 1,解不等式 fx3；2假如. xR,fx2,求 a 的取值范疇解 1當 a1 時, fx|x1|x1|,2x, x 1,fx2, 1x1,2x, x1.作出函數 fx|x1|x1|的圖象高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納由圖象可

7、知,不等式的解集為 x|x3 2或x3 2 . 2如 a1,fx2|x1|,不滿意題設條件；2xa1, xa,如 a1,fx1a, ax1,2x a1 , x1,fx的最小值為 1a. 2xa1,x1,如 a1,fxa1,1xa,2x a1 ,xa,fx的最小值為 a1. 對于 . xR,fx2 的充要條件是 |a1|2,a 的取值范疇是 , 13, 考向二 不等式的證明【例 2】.證明以下不等式：1設 ab0,求證： 3a32b33a2b2ab2；2a24b29c22ab3ac6bc；3a 68b61 27c 62a2b 2c 2. 審題視點 1作差比較； 2綜合法； 3利用柯西不等式證明

8、13a32b33a2b2ab 23a 2ab2b 2ab ab3a22b2ab0, ab0,3a22b20. ab3a22b20. 3a22b33a2b2ab 2. 2a 24b22 a24b 24ab,a 29c22 a29c 26ac,4b 29c22 4b29c 212bc,2a28b218c24ab6ac12bc,a24b29c22ab3ac6bc. 高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納3a 68b61 27c 63 327a 8 6b 6c 632 3a2b2c22a2b2c2,a68b61 27c 62a2b 2c 2. 1作差法應當是證明不等式的常用方法作差法證明不等式的一般步

9、驟是：作差；分解因式；與0 比較；結論關鍵是代數式的變形才能2留意觀看不等式的結構,利用基本不等式或柯西不等式證明【訓練 2】2022遼寧已知 a,b,c 均為正數,證明：a2b2c21 a1 b1 26 3,并確定 a,b,c 為何值時,等號成立證明法一由于 a,b,c 均為正數,由基本不等式得,a2b2c23abc2 3,a1 b1 c3abc1 3,所以1 a1 b1 29abc2 3,故 a2b2c21 a1 b123abc2 39abc2 3. 又 3abc2 39abc2 32 276 3,所以原不等式成立當且僅當 abc 時,式和式等號成立當且僅當 3abc2 39abc2 3時

10、,式等號成立故當且僅當 abc31 4時,原不等式等號成立法二 由于 a,b,c 均為正數,由基本不等式得 a2b22ab,b2c22bc,c2a22ac.所以 a2b2c2abbcac.同理1 a 21 b 21 c 21 ab 1 bc 1 ac,故 a2b2c21 a1 b12abbcac3 ab 3 bc 3 ac6 3.高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納所以原不等式成立當且僅當 abc 時,式和式等號成立,當且僅當abc,ab2bc2ac 23 時,式等號成立故當且僅當 a bc31 4時,原不等式等號成立考向三 利用基本不等式或柯西不等式求最值【例 3】.已知 a,b,cR,且

11、 abc1,求 3a13b13c1的最大值審題視點 先將 3a13b13c1平方后利用基本不等式；仍可以利用柯西不等式求解解 法一 利用基本不等式 3a1 3b1 3c1 2 3a 1 3b 1 3c 1 2 3a13b1 2 3b13c12 3a13c13a1 3b13c13a13b13b13c1 3a13c1 33a13b1 3c118,3a13b13c13 2, 3a13b13c1max3 2. 法二 利用柯西不等式 12 1212 3a12 3b12 3c121 3a1 13b113c12 3a13b13c1233abc3又 abc1, 3a13b13c1218,3a13b13c13

12、2. 當且僅當 3a13b13c1時,等號成立 3a13b13c1max3 2. 利用基本不等式或柯西不等式求最值時,第一要觀看式子特點,構造出基本不等式或柯西不等式的結構形式,其次要留意取得最值的條件是否成立【訓練 3】 已知 abc1,ma2b2c2,求 m 的最小值解法一abc1,a 2b 2c 22ab2bc2ac1,高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納又 a 2b 22ab,a 2c 22ac,b 2c 22bc,2a2b2c22ab2ac2bc,1a2b2c22ab2bc2ac3a2b2c2a2b2c21 3. 當且僅當 abc 時,取等號, mmin1 3. 法二 利用柯西不等

13、式121212a2b2c21 a1b1cabc1. a2b2c21 3,當且僅當 abc 時,等號成立mmin1 3如何求解含肯定值不等式的綜合問題從近兩年的新課標高考試題可以看出,所降低,重點考查含肯定值不等式的解法 式,題型為填空題或解答題高考對不等式選講 的考查難度要求有 可能含參 或以函數為背景證明不等【示例】 . 此題滿分 10 分2022 新課標全國 設函數 fx|xa|3x,其中 a0. 1當 a1 時,求不等式 fx3x2 的解集；2如不等式 fx0 的解集為 x|x1 ,求 a 的值第2問解不等式 |xa|3x0 的解集,結果用 a 表示,再由 x|x1 求 a. 解答示范

14、1當 a1 時,fx3x2 可化為 |x1|2. 由此可得 x3 或 x 1. 3 分 故不等式 fx3x2 的解集為 x|x3 或 x 15 分 2由 fx0 得,|xa|3x0. 此不等式化為不等式組xa,或xa,xa3x0ax3x0,高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納xa,xa,即 xa 4 或 xa 2. 8 分 由于 a0,所以不等式組的解集為 x xa 2 . 由題設可得a 21,故 a2.10 分 此題綜合考查了含肯定值不等式的解法,屬于中檔題解含肯定值的不等式主要是通過同解變形去掉肯定值符號轉化為一元一次和一元二次不等式組進行求解含有多個肯定值符號的不等式,一般可用零點分段

15、法求解,對于形如 |xa|xb|m 或|xa| |xb|mm 為正常數 ,利用實數肯定值的幾何意義求解較簡便【試一試】2022遼寧 已知函數 fx|x2|x5|. 1證明： 3fx3；2求不等式 fxx28x15 的解集3,x2,嘗試解答 1fx|x2| |x5|2x7,2x5,3,x5.當 2x5 時, 32x73.所以 3fx3. 2由1可知,當 x2 時,fxx 28x15 的解集為空集 ；當 2x5 時,fxx28x15 的解集為 x|53x5 ；當 x5 時,fxx28x15 的解集為 x|5x6 綜上,不等式 fxx28x15 的解集為 x|53x6.二、常考題型歸納6.1 均值不

16、等式在證明中的應用1. （1）已知a bR, , x yR ,求證：2 xy2xy2；abab高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納（2）已知實數,x y 滿意：2x2y21,試利用（ 1）求21 y的最小x2值；（1）證：ab2 xy2x2y22 bx2 ayx2y222xyxy21abab2 xy2xy2（當且僅當xy b時,取等號）；y21時,2ababa1222 1129,當且僅當x（2）解：2 2 x2y22x2y22x2y23x2y2的最小值是 9；考點：均值不等式在證明中的應用、綜合法證明不等式6.2 肯定值不等式 a 6.2.1 單肯定值不等式2. 已知函數f x 2 x5xx

17、4 ,x0如函數yf x a x 恰有 4個零點,2x2 ,0就實數 a 的取值范疇為 _. 答案： 1,2解析：分別作出函數 y f x 與 y a x 的圖像,由圖知,a 0 時,函數 y f x 與 y a x 無交點,a 0 時,函數 y f x 與 y a x 有三個交點,故 a 0.當 x 0,a 2 時,函數 y f x 與 y a x 有一個交點,高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納當 x 0, 0 a 2 時,函數 y f x 與 y a x 有兩個交點,當 x 0 時,如 y ax與 y x 25 x 4, 4 x 1 相切,就由 0得：a 1 或 a 9（舍）,因此當

18、x 0,a 1 時,函數 y f x 與 y a x 有兩個交點,當 x 0,a 1 時,函數 y f x 與 y a x 有三個交點,當 x 0, 0 a 1 時,函數 y f x 與 y a x 有四個交點,所以當且僅當 1 a 2 時,函數 y f x 與 y a x 恰有 4個交點 . 考點：單肯定值不等式3. 存在x0,使得不等式x22xt成立,就實數t 的取值范疇為_ 答案：9 ,2 42 x2xt,即xt22 x,解析：不等式高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納令y 1xt,y 1的圖象是關于 xt對稱的一個 V字形圖形, 其象位于第一、二象限；y 2 2 x 2,是一個開口向

19、下, 關于 y 軸對稱,最大值為 2 的拋物線；要存在 x 0,使不等式 x t 2 x 2 成立,就 1y 的圖象應當在其次象限和 y 2 的圖象有交點,兩種臨界情形,當 t 0 時,1y 的右半部分和 y 2 在其次象限相切：1y 的右半部分即 1y x t ,聯列方程 y x ty 2 x 2,只有一個解；即 x t 2 x 2,即 x 2x t 2 0,1 4 t 8 0,得：t 9；4此時 1y 恒大于等于 2y,所以 t 9 取不到；4所以 9t 0；4當 t 0 時,要使 1y 和 y 2 在其次象限有交點,即 1y 的左半部分和 2y 的交點的位于其次象限；無需聯列方程,只要

20、1y 與 y 軸的交點小于 2 即可；1y t x 與 y 軸的交點為 0, t,所以 t 2,又由于 t 0,所以 0 t 2；綜上,實數 t 的取值范疇是：9t 2；4故答案為：9 ,24高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納考點：單肯定值不等式6.2.2 同系數肯定值相加型不等式4. 已知函數 f x | 2 x 1| | 2 x a ,g x x 3 . （1）當 a 2 時,求不等式 f x g x 的解集；（2）設 a 1,且當 x a, 1 時,f x g x ,求 a 的取值范疇；2 25 , x x 12（1）當 a 2 時,令 y 2 x 1 2 x 2 x 3 x 2,

21、1x 1,23 x 6, x 1作出函數圖像可知,當 x 0,2 時,y 0,故原不等式的解集為x0 x2；x3,（2）依題意,原不等式化為1a故xa2對a 1,2 2都成立,故aa2,2高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納故a4,1,4 3. 3故 a 的取值范疇是考點：同系數肯定值相加型不等式6.2.3 同系數肯定值相減型不等式5. 已知函數f x x2x55fx3（1）證明：3f x 3;8x15的解集；（2）求不等式f x x2（1）f x x2x53,x22x7,2x當 2x5時,32 x73,x53,所以,3（2）由（ 1）可知當x2時,f x 2 xx8x15的解集為空集；x3

22、x5當 2x5時,f x 28x15的解集為x|5當x5時,f x x28x15的解集為x| 56高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納綜上：不等式f x x28x15的解集：x|53x6考點：同系數肯定值相減型不等式6.2.4 不同系數肯定值相加減型不等式6. 設函數 f x 2 x 1 x 2（1）求不等式 f x 2 的解集；（2）如 x R f x t 2 11 t 恒成立,求實數 t 的取值范疇21x 3, x2（1）由題意得 f x 3 x 1, 1 x 22x 3, x 2當 x 1 時,不等式化為 x 3 2,解得 x 5 x 5,2當 1x 2 時,不等式化為 3 x 1 2

23、,解得 x 1 1 x 2,2當 x 2 時,不等式化為 x 3 2,解得 x 1 x 2,綜上,不等式的解集為 x x 1 . x 5（2）由（ 1）得 f x min 5,如 x R,f x t 2 11 t 恒成立,2 2就只需 f x min 52 t 2 112 t,解得12 t 5,綜上, t 的取值范疇為 1 ,52考點：不同系數肯定值相加減型不等式高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納6.3 已知肯定值不等式解求參數7. 設函數f x xa3 , x a0 xa3 x01當a1時,求不等式f x 3x2的解集；2假如不等式f x 0的解集為x x1,求 a 的值；（1）當a1時

24、,f x 3x2可化為 |x1|2；由此可得x3或x1；故不等式f x 3x2的解集為 x x3或x1； 2 由f 0得xa3 x0此不等式化為不等式組xa3x0或xaaxxaxa即xa或aa42由于a0,所以不等式組的解集為x xa2由題設可得a=-1,故a22考點：已知肯定值不等式解求參數6.4 已知肯定值不等式解的范疇求參數范疇8. 已知函數 f x | x a | | x 2 | . （1）當 a 3 時,求不等式 f x 3 的解集；（2）如 f x | x 4| 的解集包含 1,2 ,求a的取值范疇 . 答案：高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納52 x x23,或x33（1）當

25、a3時,f x |x3|x2 |12x35 x32 x所以不等式f x 3可化為x23,或2x52x132x5解得x1或x4因此不等式f 3的解集為 x x1或x4（2）由已知f x |x4|即為 |xa|x2| |x4|,也即 |xa| |x4 |x2|如f x |x4 |的解集包含 1,2 ,就x1,2, |xa| |x4|x2 |,也就是x1,2, |xa| 2,所以x1,2,xa22,xa從而1a2,2a2解得3a0因此a的取值范疇為a 3,0. 考點：已知肯定值不等式解的范疇求參數范疇、相加減同系數肯定值不等式高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納6.5 含肯定值不等式的恒成立問題9

26、. 已知函數f x 2x12x1,a b 都成立,求 x（1）如對任意的 x 有f x 1a 成立,求 a 的取值范疇；（2）如不等式2abaab f x 0,對于任意的2的取值范疇；（1）依據題意 ,a 小于等于f x 的最小值0恒成立,xR4 , x x1 2由f x 2,1x1224 , x x1 2可得f x min2所以a2（2）當ab0即 ab 時, 2b0f x 1恒成立,當ab0時,由肯定值不等式得性質可得2 aba2ab aab,當且僅當 2ab a0時取 ,2aabba2 aba1ab f x 0,2aabba1 2f x 21f x 1,f x 221x122高中數學不等

27、式選修學問點和常考題型歸納考點：含肯定值不等式的恒成立問題、同系數肯定值相加型不等式6.6 含肯定值不等式的能成立問題10. 已知函數 f x x 1 x 3 . 1求 x 的取值范疇 ,使 f x 為常數函數 . 2如關于 x 的不等式 f x a 0 有解,求實數 a 的取值范疇 . 2 x 2, x 31 f x x 1 x 3 4, 3 x 12 x 2, x 1就當 x 3,1 時, f x 為常數函數 . 2方法一 :如圖,結合1知函數 f實數 a 的取值范疇為a4 . x 的最小值為 4 , 方法二 :x1x3x1x3; a4 . x1x34, 等號當且僅當x3,1時成立 . 得

28、函數 fx的最小值為 4 ,就實數a 的取值范疇為考點：含肯定值不等式的能成立問題高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納6.7 利用肯定值的三角不等式放縮求最值11. 已知實數,x y滿意：|xyy|1,| 2xy|1,求證：|y|53618證明：3|y| = |3 |= | 2x12xy| 2xy2xy ,由題設|xy|1,| 2xy|,363|y|11=5. 366|y|5. 18考點：肯定值的三角不等式6.8 數形結合在含參肯定值不等式中的應用12. 已知函數f x 2 x6x92 x8 x16R都成立,g x 對任意的 x（1）求f x f4的解集；R,如f x （2）設函數k x3,

29、kg x 求實數 k 的取值范疇（1）f x 2 x6x9x28x16x32x42|x3|x4 |,f x f4,即 |x3|x4 |9 , 9,xx4,49 或34xxx3,9 或x3,3x4x3x43圖象的上解得不等式：x5；：無解；：x4,所以f x f4的解集為 x x5或x4g x k x（2） g x 即f x |x3|x4 |的圖象恒在方,高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納2 x 1, x 4,可以作出 f x | x 3| | x 4 | 7, 4 x 3, 的圖象,2 x 1, x 3而 g x k x 3 圖象為恒過定點 P 3, 0,且斜率 k 變化的一條直線,作出函

30、數 y f x , y g x 圖象,其中 k PB 2, A 4,7,k PA 1,由圖可知,要使得 f x 的圖象恒在 g x 圖象的上方,實數 k的取值范疇應當為 1 k 2考點：同系數肯定值不等式相加型、應用7.證明不等式的基本方法7.1 比較法證明不等式數形結合在含參肯定值不等式中的設不等式 | 2x1|1的解集是 M ,a bM高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納（1）試比較ab1與 ab 的大小；max2,a2b2,2,求證：h2.（2）設 max 表示數集 A的最大數haabb答案：（ 1）ab1ab （2）見解析解析：（ 1）先解出Mx|0 x1 .ab1ab a1b10.

31、 問題得證 . （2）hmax2,a2b2,2 b,aab可知h2,ha2b22 b, ,haab所以依據不等式的性質,同向正向不等式具有可乘性,從而可證出h3h8. . 故2考點：比較法證明不等式7.2 綜合法證明不等式7.3 分析法證明不等式13. 已知f x x1x1,不等式f x 4的解集為 M . （1）求 M ；高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納（2）當a bM 時,證明:2ab4ab . 16,（1）解不等式：x1x14；xx14或21x1或x2 x12441x2或1x1或2x1,2x2M2,2. （2）需證明：42 a2abb22 a b28 ab0只需證明2 a b24a

32、24 b2160,即需證明a24b2404a b 2, 2a24,b24a240,b2a24b240,所以原不等式成立 . 考點：分析法證明不等式7.4 反證法證明不等式14. 設a0,b0.且ab1 a1 . b證明：2,即ab2；（1）ab2；b2不行能同時成立 . （2）a2a2與b2由ab11 = a b ab,ba0,b0.得ab1a（1）由基本不等式及ab1,有ab2ab高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納（2）假設 a 2a 2 與 b 2b 2 同時成立,就由 a 2a 2 及 a 0 得 0 a 1,同理 0 b 1,從而 ab 1,這與 ab 1 沖突,故 a 2 a 2

33、 與 b 2 b 2 不行能同時成立 . 考點：反證法證明不等式、均值不等式在證明中的應用8.5 放縮法證明不等式多為數列的題 15.已知數列an的前 n項和S 滿意S n2 ann 1T nn0（1）求數列an1的通項公式；T ,證明：na n（2）設b n,記數列nb的前 n 和為an32【答案】（1）a nn 21；（2）詳見解析 .【解析】試題分析：（ 1）考慮到 a n 1 S n 1 S n,因此可以利用條件中的式子得到數列 a n 的一個n遞推公式,從而即可求解；（2）由（ 1）可知 b n a n 2n 1 1,b n 1n 12,a n 1 2 1 2 2 2從而可證 T n

34、 n 0,進一步放縮可得 n 12 n 1n 1n,求和即可得證 .2 2 2 2 2 3 2 3 2試 題 解 析 ：（ 1 ） S n 2 a n n , 當 n 1 時 ,S 1 a 1 2 a 1 1 a 1 1, 又 S n 1 2 a n 1 n 1, 與 S n 2 a n n 兩 邊 分 別 相 減 得 a n 1 2 a n 1 2 a n 1, 得a n 1 1 2 a n 1,又a 1 1 2,數列 a n 1 是以 2 為首項, 2 為公比的等比數列,a n 1 2 n,得 a n 2 n1；高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納n2b n1ann 21n 2,n01得

35、b n1n2n12又,12n112an2T n3 2211,T n0,2242222n 212n11n,T n111223 2n3 223222n 2111,1T nn0.33 2n3329.柯西不等式9.1 柯西不等式的代數形式16. 已知關于 x 的不等式 xab的解集為 x| 2x24t2 1求實數a b 的值；4t2求at12bt 的最大值 . 1由 xab,得baxba就baa42,b解得a3,b1.23 t12t34tt322 1 24tt4當且僅當43tt 即 1t1 時等號成立,高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納故3t12tmin4. 考點：柯西不等式的代數形式9.2 一般

36、形式的柯西不等式17. 已知函數f x m|x2|,mR 且f x20的解集為1,1 , 1求 m的值; 2 如a b cR 且1 a11m ,求證a2 b3 c9.2b3 c1f x2mx0,xm1,1f x20的解集是m0,mxm ,故m1 . 111, , , a b cR,2 由 1知1 a2b3 c由柯西不等式得a2 b3 ca2 b13 1119.a2 b3 ca12 bb3 c12a23 c考點：一般的柯西不等式三、 強化訓練 選修 4-5 不等式選講 1不等式 x|2x1|3 的解集為 _解析 原不等式可化為高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納2x10,或2x10,. x 2

37、x1 3x 2x1 3.解得1 2x4 3或2x1 2. 所以原不等式的解集是x2x4 3答案x2x4 32不等式 |x1|x2|5 的解集為 _解析法一當 x2 時原不等式即 1x2x5,解得 3x2；當 2x1 時,原不等式即 1x2x5,由于 31 時,原不等式即 x12x5,解得 1x2. 綜上,原不等式的解集為 x|3x2 法二 不等式 |x1|x2|5 的幾何意義為數軸上到2,1 兩個點的距離之和小于 5 的點組成的集合,而 2,1 兩個端點之間的距離為 3,由于分布在2,1 以外的點到 2,1 的距離在 2,1 外部的距離要運算兩次,而在2,1內部的距離就只運算一次,因此只要找出

38、2 左邊到 2 的距離等于53 21的點 3,以及 1 右邊到 1 的距離等于53 21 的點 2,這樣就得到原不等式的解集為 x|3x2 答案 x|3x2 3已知 a,b,c 是正實數,且 abc1,就1 a1 b1 c的最小值為 _解析 a1 b1 cabcabc babc c3b aa b c aa c c bb c3222 9.當且僅當 abc1 3時等號成立答案 9 高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納42022 廣州模擬 不等式 |x1|x2|a 對任意實數 x 恒成立, 就 a 的取值范圍是 _解析|x1|x2|x1|2x|x12x|3, a3. 答案 , 3 5使關于 x 的

39、不等式 |x1|kx 有解的實數 k 的取值范疇是 _解析 |x1| kx. kx|x1|,2x1,x1,又 x|x1|1,x1,x|x1|的最大值為 1.ka 的解集是全體實數,就 a 的取值范疇是 _新- 課 - 標 - 第 -一- 網解析 令 fx|x3|x4|,就|x3|x4|x34x|1,就 fxmin1,故 a1. 答案, 1 a 的取值范疇是7如關于x 的不等式 |a|x1| |x 2|存在實數解,就實數_解析 令 t|x1|x2|,得 t 的最小值為 3,即有 |a|3,解得 a3 或 a3. 答案 , 33, 8在實數范疇內,不等式 |2x1|2x1|6 的解集為 _解析原不

40、等式可化為x1 2,12x2x162x12x16,解得3 2x3 2,高中數學不等式選修學問點和常考題型歸納即原不等式的解集為x3 2x3. 答案x3 2x392022 江西重點盟校二次聯考 如不等式 |x1|x3|m1|恒成立,就 m 的 取值范疇為 _解析|x1|x3|x1x3|4,不等式 |x1|x3|m1|恒成立,只需 |m1|4,即 3m5. 答案 3,5 102022 臨沂模擬 對任意 xR,|2x|3 x|a24a 恒成立,就 a 滿意_解析|2x|3x|5,要使 |2x| |3x|a24a 恒成立,即 5a24a,解得 1a5. 答案 1,5 11如不等式 |3xb|4 的解集中的整數有且僅有 _1,2,3,就 b 的取值范疇是解析|3xb|4. b4 3 xb4 3 .0b4 3 1,. 5b7,即 b 的取值范3|a5|1 對于任一非零實數 x 均成立,就實數 a 的取值范疇是_解析 x1 x|x| 1 |x|2,所以 |a5|12,即|a5|1, 4a2；2求函數 yfx的最小值解1fx|2x1|x4|x5,x1 2,3x3,1 2x4,x5,x4.當 x2 得 x7,x7；當1 2x2 得 x5 3,新 - 課- 標