1、3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析“ 二倍角的正弦、余弦、 正切公式” 是在爭(zhēng)論了兩角和與差的三角函數(shù)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步爭(zhēng)論具有“ 二倍角” 關(guān)系的正弦、余弦、正切公式的,它既是兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的特別化,又為以后求三角函數(shù)值、化簡(jiǎn)、證明供應(yīng)了特別有用的理論工具、通過對(duì)二倍角的推導(dǎo)知道,二倍角的內(nèi)涵是：揭示具有倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律、通過推導(dǎo)仍讓同學(xué)加深懂得了高中數(shù)學(xué)由一般到特別的化歸思想、因此本節(jié)內(nèi)容也是培育同學(xué)運(yùn)算和規(guī)律推理才能的重要內(nèi)容,對(duì)培育同學(xué)的探究精神和創(chuàng)新才能、發(fā)覺問題和解決問題的才能都有著特別重要的意義 . 本節(jié)課通過老師提出問題、設(shè)

2、置情境及對(duì)和角公式中 、 關(guān)系的特別情形 = 時(shí)的簡(jiǎn)化, 讓同學(xué)在探究中既感到自然、易于接受, 仍可清楚知道和角的三角函數(shù)與倍角公式的聯(lián)系,同時(shí)也讓同學(xué)學(xué)會(huì)怎樣發(fā)覺規(guī)律及體會(huì)由一般到特別的化歸思想 . 這一切老師要引導(dǎo)同學(xué)自己去做 , 由于,數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出：“ 要讓同學(xué)在參加特定的數(shù)學(xué)活動(dòng),在詳細(xì)情境中初步熟識(shí)對(duì)象的特點(diǎn),獲得一些體驗(yàn)” .在實(shí)際教學(xué)過程中不要過多地補(bǔ)充一些高技巧、高難度的練習(xí), 更不要再補(bǔ)充一些較為復(fù)雜的積化和差或和差化積的恒等變換,否就就違反了新課標(biāo)在這一章的編寫意圖和新課改 精神 . 三維目標(biāo)1. 通過讓同學(xué)探究、發(fā)覺并推導(dǎo)二倍角公式, 明白它們之間、以及它們與和角公式

3、之間的內(nèi)在聯(lián)系 , 并通過強(qiáng)化題目的訓(xùn)練 , 加深對(duì)二倍角公式的懂得,培育運(yùn)算才能及規(guī)律推理才能 , 從而提高解決問題的才能 . 2. 通過二倍角的正弦、余弦、正切公式的運(yùn)用,會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)潔的求值、化簡(jiǎn)、恒等證明 . 體會(huì) . 使同學(xué)進(jìn)一步把握 化歸這一基本數(shù)學(xué)思想在發(fā)覺中和求值、化簡(jiǎn)、恒等證明中所起的作用 聯(lián)系變化的觀點(diǎn), 自覺地利用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)來分析問題,提高同學(xué)分析問題、解決問題的 才能 . 3. 通過本節(jié)學(xué)習(xí), 引導(dǎo)同學(xué)領(lǐng)會(huì)查找數(shù)學(xué)規(guī)律的方法,培育同學(xué)的創(chuàng)新意識(shí),以及善于發(fā)覺和勇于探究的科學(xué)精神. 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：二倍角公式推導(dǎo)及其應(yīng)用 . 教學(xué)難點(diǎn)：如何敏捷應(yīng)用和、差、倍角公式進(jìn)行

4、三角式化簡(jiǎn)、求值、證明恒等式 . 課時(shí)支配 1 課時(shí) 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 思路 1. 復(fù)習(xí)導(dǎo)入 請(qǐng)同學(xué)回憶上兩節(jié)共同探討的和角公式、差角公式,并回憶這組公式的來龍去脈,然后讓同學(xué)默寫這六個(gè)公式. 老師引導(dǎo)同學(xué)：和角公式與差角公式是可以互相化歸的 . 當(dāng)兩角相等時(shí) , 兩角之和便為此角的二倍 , 那么是否可把和角公式化歸為二倍角公式呢 .今日 , 我們進(jìn)一步探討一下二倍角的問題,請(qǐng)同學(xué)們摸索一下,應(yīng)解決哪些問題呢？由此綻開新課 . 思路 2. 問題導(dǎo)入 出示問題,讓同學(xué)運(yùn)算,如sin =3 , 52, , 求sin2 ,cos2的值.學(xué)生會(huì)很容易看出：sin2 =sin + =sin cos +

5、cos sin =2sin cos 聯(lián)想推出其他公式 . 推動(dòng)新課新知探究 提出問題的,以此綻開新課,并由此綻開仍記得和角的正弦、余弦、正切公式嗎？ 請(qǐng)同學(xué)默寫出來,并由一名同學(xué)到黑板默寫 你寫的這三個(gè)公式中角 、 會(huì)有特別關(guān)系 = 嗎？此時(shí)公式變成什么形式？在得到的 C2 公式中,仍有其他表示形式嗎？細(xì)心觀看二倍角公式結(jié)構(gòu),有什么特點(diǎn)呢？能看出公式中角的含義嗎？摸索過公式成立的條件嗎？讓同學(xué)填空： 老師隨機(jī)給出等號(hào)一邊括號(hào)內(nèi)的角,同學(xué)回答等號(hào)另一邊括號(hào)內(nèi)的角,稍后兩 人 為 一 組 , 做 填 數(shù) 游 戲 ： sin =2sin cos ,cos =cos 2 -sin 2 . 摸索過公式的

6、逆用嗎？想一想 C2 仍有哪些變形？請(qǐng)摸索以下問題： sin2 =2sin 嗎？cos2 =2cos 嗎？tan2 =2tan ？活動(dòng)： 問題 , 同學(xué)默寫完后,老師打出課件,然后引導(dǎo)同學(xué)觀看正弦、余弦的和角公式,提示同學(xué)留意公式中的 , ,既然可以是任意角,怎么任意的？你會(huì)有些什么樣的奇妙想法呢？并勉勵(lì)同學(xué)大膽試一試 . 假如同學(xué)想到 , 會(huì)有相等這個(gè)特別情形,老師就此進(jìn)入下一個(gè)問題, 假如同學(xué)沒想到這種特別情形,老師適當(dāng)點(diǎn)撥進(jìn)入問題,然后找一名學(xué)生到黑板進(jìn)行簡(jiǎn)化, 其他同學(xué)在自己的座位上簡(jiǎn)化、老師再與同學(xué)一起集體訂正黑板的書寫,最終同學(xué)都不難得出以下式子,勉勵(lì)同學(xué)嘗試一下,對(duì)得出的結(jié)論給出

7、說明 . 這個(gè)過程老師要舍得花時(shí)間,充分地讓同學(xué)去摸索、去探究,并初步地感受二倍角的意義 . 同時(shí)開拓同學(xué)的思維空間,為同學(xué)將來遇到的 3 或 3 等角的探究附設(shè)類比聯(lián)想的源泉 . sin + =sin cos +cos sin sin2 =2sin cos （ S2 ）; cos + =cos cos- sin sin cos2 =cos2 -sin2 C2 ; 余弦, 正切公tan + =tantantan212tan2T21tantantan這時(shí)老師適時(shí)地向同學(xué)指出,我們把這三個(gè)公式分別叫做二倍角的正弦,式,并指導(dǎo)同學(xué)閱讀教科書,準(zhǔn)確明白二倍角的含義,以后的“ 倍角” 專指“ 二倍角”

8、、教師適時(shí)提出問題, 點(diǎn)撥同學(xué)結(jié)合 sin 2 +cos 2 =1 摸索 , 因此二倍角的余弦公式又可表示為以下右表中的公式 . 這時(shí)老師點(diǎn)出, 這些公式都叫做倍角公式（用多媒體演示）. 倍角公式給出了 的三角函數(shù)與 2的三角函數(shù)之間的關(guān)系. 問題 , 老師指導(dǎo)同學(xué),這組公式用途很廣,并與同學(xué)一起觀看公式的特點(diǎn)與記憶,首先公式左邊角是右邊角的2 倍；左邊是2的三角函數(shù)的一次式,右邊是的三角函數(shù)的二次式, 即左到右升冪縮角,右到左降冪擴(kuò)角、二倍角的正弦是單項(xiàng)式,余弦是多項(xiàng)式,正切是分式 . 問題 , 由于仍沒有應(yīng)用,對(duì)公式中的含義同學(xué)可能仍懂得不到位,老師要引導(dǎo)同學(xué)觀察摸索并初步感性熟識(shí)到： 這

9、里的“ 倍角” 專指“ 二倍角”, 遇到“ 三倍角” 等名詞時(shí), “ 三” 字等不行省去； 通過二倍角公式 , 可以用單角的三角函數(shù)表示二倍角的三角函數(shù)； 二倍角公式是兩角和的三角函數(shù)公式的特別情形； 公式 S 2 ,C 2 中的角 沒有限制,都是 R. 但公式 T2 需在 1 k + 和 k + k Z 時(shí)才成立,這2 4 2一條件限制要引起同學(xué)的留意 . 但是當(dāng) =k + ,k Z 時(shí), 雖然 tan 不存在 , 此時(shí)不能用2此公式,但 tan2 是存在的 , 故可改用誘導(dǎo)公式 . 問題 , 填空是為了讓同學(xué)明白二倍角的相對(duì)性,即二倍角公式不僅限于 2 是 的二倍的形式 , 其他如 4 是

10、 2 的二倍 , a 是 a 的二倍 ,3 是 3a 的二倍 , a 是 a 的二倍,2 4 2 3 6- 是-a 的二倍等 , 全部這些都可以應(yīng)用二倍角公式 . 2 4 2例如 :sin a =2sin a cos a ,cos a =cos 2 a -sin 2 a 等等 . 2 4 4 3 6 6問題 , 本組公式的敏捷運(yùn)用仍在于它的逆用以及它的變形用,這點(diǎn)老師更要提示同學(xué)引起足夠的留意 . 如:sin3 cos3 = 1 sin6 , 4sin a cos a =22sin a cos a =2sin a , 2 4 4 4 4 22 tan 402 =tan80 , cos 22 -

11、sin 22 =cos4 ,tan2 =2tan 1-tan 2 等等 . 1 tan 40問題 , 一般情形下 :sin2 2sin ,cos2 2cos ,tan2 2tan .如 sin2 =2sin , 就 2sin cos =2sin , 即sin =0 或 cos =1, 此時(shí) =k k Z. 如 cos2 =2cos , 就 2cos2 - 2cos -1=0, 即 cos =123cos =123舍去 . 如 tan2 =2tan , 就12tana=2tan , tan =0, 即 =k k Z. tan2a解答： （略）應(yīng)用示例思路 1 例 1 已知 sin2 =5 , 1

12、34 2, 求 sin4 ,cos4 ,tan4 的值 . 留意二倍角公活動(dòng)： 老師引導(dǎo)同學(xué)分析題目中角的關(guān)系,觀看所給條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu),式的選用,領(lǐng)會(huì)“ 倍角” 是相對(duì)的這一換元思想. 讓同學(xué)體會(huì)“ 倍” 的深刻含義,它是描述兩個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的 . 此題中的已知條件給出了 2 的正弦值 . 由于 4 是 2 的二倍角 , 因此可以考慮用倍角公式 . 本例是直接應(yīng)用二倍角公式解題,目的是為了讓同學(xué)初步熟識(shí)二倍角的應(yīng)用,懂得二倍角的相對(duì)性,老師大膽放手,可讓同學(xué)自己獨(dú)立探究完成 . 解: 由 , 得 2 .4 2 2又sin2 = 5 , 13cos2 = 1 sin 22 a = 1 5 2

13、12. 13 13于是 sin4 =sin2 2 =2sin2 cos2 =25 1312=120; , 在解題時(shí) . 本節(jié)13169cos4 =cos2 2 =1-2sin22 =1- 2 5 132=119 ; 129tan4 =sin4 a=-120 169169 = 119120. cos 4 a119點(diǎn)評(píng)： 同學(xué)由問題中條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)不難想象出解法,但要提示同學(xué)留意 留意優(yōu)化問題的解答過程,使問題的解答簡(jiǎn)捷、奇妙、規(guī)范,并達(dá)到嫻熟把握的程度公式的基本應(yīng)用是高考的熱點(diǎn). 變式訓(xùn)練 1. 不查表 , 求值:sin15 +cos15 .解: 原式 =sin15cos 152sin2152

14、sin15cos2156讓學(xué)2點(diǎn)評(píng)： 此題在兩角和與差的學(xué)習(xí)中已經(jīng)解決過,現(xiàn)用二倍角公式給出另外的解法,生體會(huì)它們之間的聯(lián)系,體會(huì)數(shù)學(xué)變化的魅力. 2.2022年高考海南卷 ,9 如cos2 a2, 就 cos +sin 的值為 sina42A.7 B.1 C.1 D. 27222答案 : C 3.2022年高考重慶卷 ,6 以下各式中 , 值為3 的是 2215 -sin215A.2sin15 - cos15 B.cosC.2sin215 -1 D.sin215 +cos215答案 : B 例 2 證明1sin2cos 2=tan . 教 從復(fù)雜一端1sin2cos 2活動(dòng)： 先讓同學(xué)摸索一

15、會(huì),勉勵(lì)同學(xué)充分發(fā)揮聰慧才智,戰(zhàn)勝它,并力爭(zhēng)一題多解師可點(diǎn)撥同學(xué)想一想,到現(xiàn)在為止, 所學(xué)的證明三角恒等式的方法大致有幾種：化向簡(jiǎn)潔一端；兩邊化簡(jiǎn),中間碰頭；化切為弦；仍可以利用分析綜合法解決,有時(shí)幾種方 法會(huì)同時(shí)使用等 . 對(duì)找不到摸索方向的同學(xué),老師點(diǎn)出：可否再添加一種,化倍角為單角？這可否成為證明三角恒等式的一種方法？再適時(shí)引導(dǎo),前面學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時(shí) 1” 上做做文章？曾用到“1” 的代換,對(duì)“1” 的妙用大家深有體會(huì),這里可否在“待同學(xué)探究解決方法后,可找?guī)讉€(gè)同學(xué)到黑板書寫解答過程,以便對(duì)比點(diǎn)評(píng)及給同學(xué)以 啟示 . 點(diǎn)評(píng)時(shí)對(duì)能夠善于運(yùn)用所學(xué)的新學(xué)問解決問題的同學(xué)賜予頌揚(yáng)；對(duì)

16、臨時(shí)找不到思路的 在證明過程 同學(xué)賜予點(diǎn)撥、 勉勵(lì) . 強(qiáng)調(diào)“1” 的妙用很妙,妙在它在三角恒等式中一旦顯現(xiàn),中就會(huì)起到至關(guān)重要的作用,在今后的證題中,萬萬不要忽視它 . 證明 : 方法一 : 左=sin2 1cos 22sincos 112cos 2sin21cos 22sincos 12cos 21=sincos1cos2sincoscos2=sincossin2sincoscos2sincossin=tan =右 . cossincos所以 , 原式成立 . 方法二 : 左=sin2sin2 cossin2sin2cos2sin22sin2sin22 cossin22 cossin2si

17、n22cos2=2 2sincos =tan =右 . cossincos方法三 : 左= 1sin2cos2sin22 cos2sin.cos2 cossin2 1sin2cos2sin22 cos2sin.cos2 cossin2=sincos2cossincossinsincos2cossincossin其次, 化倍角為單 1” 的代換的妙用,=sincossincossincossincossincoscossin=sincos.2sin=tan =右 . sincos.2cos點(diǎn)評(píng)： 以上幾種方法大致遵循以下規(guī)律：第一從復(fù)雜端化向簡(jiǎn)潔端；角,這是我們今日剛剛學(xué)習(xí)的；第三,證題中留意對(duì)

18、數(shù)字的處理,特別“請(qǐng)同學(xué)們?cè)谔骄恐姓J(rèn)真體會(huì)這點(diǎn). 在這道題中通常用的幾種方法都用到了,不論用哪一種方法,都要思路清楚,書寫規(guī)范才是 . 思路 2例 1 求 sin10 sin30 sin50 sin70 的值 . 活動(dòng)： 本例是一道敏捷應(yīng)用二倍角公式的經(jīng)典例題,有肯定難度, 但也是訓(xùn)練同學(xué)思維才能的一道好題 . 此題需要公式的逆用,逆用公式的先決條件是熟識(shí)公式的本質(zhì),要善于把表象的東西拿開,正確捕獲公式的本質(zhì)屬性,以便合理運(yùn)用公式. 教學(xué)中老師可讓同學(xué)充分進(jìn)行爭(zhēng)論探究, 不要輕易告知同學(xué)解法,可適時(shí)點(diǎn)撥同學(xué)需要做怎樣的變化,又需怎樣應(yīng)用二倍角公式 . 并點(diǎn)撥同學(xué)結(jié)合誘導(dǎo)公式摸索 . 同學(xué)經(jīng)過探

19、究發(fā)覺,假如用誘導(dǎo)公式把 10 ,30 ,50 ,70 正弦的積化為 20 ,40 ,60 ,80 余弦的積 , 其中 60 是特別角 , 很簡(jiǎn)潔發(fā)覺 40 是 20 的 2 倍,80 是 40 的 2 倍, 故可考慮逆用二倍角公式 . 解: 原式=cos80 cos60 cos40 cos20=23.sin20cos20cos40cos80.23.2sin20=sin160sin201.16sin2016sin2016點(diǎn)評(píng)：二倍角公式是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要學(xué)問點(diǎn)之一,又是解答很多數(shù)學(xué)問題的重要模型和工具,具有敏捷多變,技巧性強(qiáng)的特點(diǎn),要留意在訓(xùn)練中細(xì)心體會(huì)其變化規(guī)律. 例 2 在 ABC中,co

20、sA=4 ,tanB=2, 求 tan2A+2B 的值 . 5活動(dòng)： 這是本節(jié)課本上最終一個(gè)例題,結(jié)合三角形,具有肯定的綜合性, 同時(shí)也是和與差公式的應(yīng)用問題. 老師可引導(dǎo)同學(xué)留意在三角形的背景下爭(zhēng)論問題, 會(huì)帶來一些隱含的條件, 如 A+B+C= ,0A ,0B ,0C , 就是其中的一個(gè)隱含條件. 可先讓同學(xué)爭(zhēng)論探究,老師適時(shí)點(diǎn)撥 . 同學(xué)探究解法時(shí)老師進(jìn)一步啟示同學(xué)摸索由條件到結(jié)果的函數(shù)及角的聯(lián)系由于對(duì) 2A+2B與 A,B 之間關(guān)系的看法不同會(huì)產(chǎn)生不同的解題思路, 所以同學(xué)會(huì)產(chǎn)生不同的解法,不過它們都是對(duì)倍角公式、和角公式的聯(lián)合運(yùn)用,本質(zhì)上沒有區(qū)分 . 不論同學(xué)的解答正確與否,老師都不

21、要直接干預(yù) . 在同學(xué)自己嘗試解決問題后 , 老師可與同學(xué)一起比較各種不同的解法, 并引導(dǎo)同學(xué)進(jìn)行解題方法的歸納總結(jié) . 基礎(chǔ)較好的班級(jí)仍可以把求 tan2A+2B 的值改為求 tan2C 的值 . 解： 方法一 : 在 ABC中, 由 cosA= 4 ,0A , 得5sinA= 1 cos 2 A 1 4 2 3 .5 5所以 tanA= sin A = 3 5 = 3 , cos A 5 4 43tan2A= 2 tan A 24 241 tan 2 A 1 3 2 74又 tanB=2, 所以 tan2B=12tanB 2 B224.244444.tan1223于是 tan2A+2B=t

22、an2Atan2B17 2431tan2Atan2 B17773方法二 : 在 ABC中, 由 cosA=4 ,0A , 得 5sinA=1cos2 A1423.55所以 tanA=sin cosA3 55 = 43 . 又 tanB=2, 411A所以 tanA+B=tanAtanB1332241tanAtanB24于是 tan2A+2B=tan2A+B =12tanAB211 211 2244., 本質(zhì)上沒有區(qū)分, 其目的是tan2AB 1117點(diǎn)評(píng)：以上兩種方法都是對(duì)倍角公式、和角公式的聯(lián)合運(yùn)用為了勉勵(lì)同學(xué)用不同的思路去摸索, 以拓展同學(xué)的視野. 變式訓(xùn)練化簡(jiǎn)：1cos 4 asin4

23、a.2acos2a1cos4 asin4a解： 原式2cos22a2sin2sin22 a2sin2 acos2a=2cos2a cos2 asin2a 2sin2 asin2acos2a=cot2 .知能訓(xùn)練 2022年高考四川卷 ,17 已知 cos =1 ,cos - = 713 , 且 0 142, 1 求 tan2 的值 ; 2 求 .解: 1 由 cos =1 ,0 72, 得 sin =12 cosa=11 7243.83.7tan =sina=4737=43 . 于是 tan2 =12tana243cosa1tan2a1tan2a472 由 0 2, 得 0 - 2. 113233.又cos - = 13 , sin - = 141cos2 a1414由 = - - , 得cos =cos - - =cos cos - +sin sin - =1 713 + 1447333=1 . 214 =3. 三角函數(shù)值的符號(hào), 已知三角函數(shù)值點(diǎn)評(píng) : 此題主要考查三角恒等變形的主要基本公式、求角以及運(yùn)算才能.