1、13.2 極大值與微小值 對應同學用書P16 極值已知 yf x 的圖象 如圖 問題 1：當 x a時,函數(shù)值 f a 有何特點？提示：在 xa 的鄰近, f a 最小, f a 并不肯定是 yf x 的最小值問題 2：當 x b時,函數(shù)值 f b 有何特點？提示：在 xb 的鄰近, f b 最大, f b 并不肯定是 yf x 的最大值1觀看下圖中的函數(shù)圖象,發(fā)覺函數(shù)圖象在點P 處從左側(cè)到右側(cè)由“ 上升” 變?yōu)椤?下降” 函數(shù)由單調(diào)遞增變?yōu)閱握{(diào)遞減,這時在點P鄰近,點P的位置最高,亦即f1x比它鄰近點的函數(shù)值都要大,我們稱fx1 為函數(shù)fx 的一個極大值2類似地,上圖中fx2 為函數(shù)的一個微

2、小值3函數(shù)的極大值、微小值統(tǒng)稱為函數(shù)的 極值極值與導數(shù)的關系觀看圖 問題 1：試分析在函數(shù)取得極大值的x1的鄰近左右兩側(cè)導數(shù)的符號有什么變化？提示：左側(cè)導數(shù)大于0,右側(cè)導數(shù)小于0. 問題 2：試分析在函數(shù)取得微小值的x2的鄰近左右兩側(cè)導數(shù)的符號有什么變化？1 / 12 提示：左側(cè)導數(shù)小于0,右側(cè)導數(shù)大于0. 1極大值與導數(shù)之間的關系如下表：x x1左側(cè)x1x1右側(cè)f xf x0f x 0f x0 f x增極大值 f x1減2微小值與導數(shù)之間的關系如下表：x x2左側(cè)x2x2右側(cè)f xf x0 f x減微小值 f x2增1極值是一個局部概念,它只是某個點的函數(shù)值與它鄰近的函數(shù)值比較是最大或最小,

3、并不意味著它在整個定義域內(nèi)是最大或最小3極大值和微小值之間沒有確定的大小關系,如圖所2函數(shù)的極值并不惟一 如下列圖 示,fx1 是極大值,f4x是極小值,而fx4 fx1 對應同學用書 P17求函數(shù)的極值 例 1 求以下函數(shù)的極值：1 f x x 33x 29x5；ln x 2 f x x . 思路點撥 按求函數(shù)極值的步驟求解,要留意函數(shù)的定義域2 / 12 精解詳析 1 函數(shù) f x x33x29x5 的定義域為R,且 f x 3x26x 9.解方程 3x 26x90,得 x1 1,x23. 當 x 變化時, f x 與 f x 的變化情形如下表：x , 11 1,333 ,f x00f x

4、極大值 10微小值 22因此,函數(shù)f x 的極大值為f 1 10；微小值為 f 3 22. 2 函數(shù) f x ln x x的定義域為 0 , ,. 且 f x 1ln x x2令 f x 0,解得 xe. 當 x 變化時, f x 與 f x 的變化情形如下表：x 0 ,ee e ,f x0f x極大值1e因此函數(shù) f x 的極大值為f e 1 e,沒有微小值 一點通 1 求可導函數(shù)極值的步驟：求導數(shù) f x ；求方程 f x 0 的根；檢查 f x 的值在方程f x 0 的根左右的符號,假如左正右負,那么f x在這個根處取得極大值；假如左負右正,那么 2 留意事項：不要忽視函數(shù)的定義域；f

5、x 在這個根處取得微小值要正確地列出表格,不要遺漏區(qū)間和分界點1函數(shù)f x 的定義域為開區(qū)間 a,b,導函數(shù)f x 在 a,b 內(nèi)的圖象如下列圖,就函數(shù) f x 在開區(qū)間 a,b 內(nèi)有 _個微小值3 / 12 解析：由圖可知,在區(qū)間 a,1x , x 2, 0,0,3x 內(nèi) f x 0；在區(qū)間 x 1,x 2 , 3x,b 內(nèi) f x 0 ；當 x 0,2 時, f x0.所以 f x 的單調(diào)增區(qū)間是 , 0 和2 , ,減區(qū)間是0,2 ；極大值為f 0 ,微小值為 f 2 答案：3設fxaln x13x1,其中aR,曲線yfx在點1,f1處的切線垂2x2直于 y 軸1 求 a 的值；2 求函

6、數(shù) f x 的極值由于曲線yf x 在點 1 ,f 1 處的切線垂直于解：1因fx aln x13x1,2x2故f xa x13.2x22y 軸,故該切線斜率為0,即 f 14 / 12 0,從而a1230,2解得 a 1.令f x 2由1知fxlnx13 x 21x0,2xf x1x12x233x22x13x 1x1.22x22x20,解得x11,2x1因2x1 不在定義域內(nèi),舍去 33當 x0,1 時, f x0 ,故 f x 在1 , 上為增函數(shù)故 f x 在 x1 處取得微小值 f 1 3.已知函數(shù)極值求參數(shù) 例 2 已知 f x x33ax2bxa2在 x 1 時有極值 0. 求 a

7、,b 的值a, 思路點撥 解答此題可先求f x ,利用 x 1 時有極值 0 這一條件建立關于b 的方程組解方程組可得a,b 的值,最終將a, b 代入原函數(shù)驗證極值情形 精解詳析 f x 在 x 1 時有極值 0 且 f x 3x26axb,f 10,即36ab0,f10,13aba20.解得a1,或a2,b3b9.當 a1,b3 時,f x 3x 26x33 x 1 20,所以 f x 在 R上為增函數(shù),無極值,故舍去當 a2,b9 時,f x 3x 212x 93 x1 x3 當 x , 3 時, f x 為增函數(shù)；當 x 3, 1 時, f x 為減函數(shù)；當 x 1, 時, f x 為

8、增函數(shù)所以 f x 在 x 1 時取得微小值,因此 a2,b9. 5 / 12 一點通 已知函數(shù)極值情形,逆向應用確定函數(shù)的解析式,進而爭論函數(shù)性質(zhì)時,留意兩點：1 常依據(jù)取極值點處導數(shù)為0 和極值兩個條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解2 由于導數(shù)值等于零不是此點取極值的充要條件,所以利用待定系數(shù)法求解后必需驗證根的合理性4已知函數(shù)f x x 3ax 2bx a 2 在 x1 處有極值為10,就 ab _. 解析： f x 3x22axb,由題意可知：f 110,f10,即2a b30,a2ab110,得a4或a 3,b 11b3.當 a 3, b3 時,f x 3x 26x33 x 1 2,易

9、知在 x1 的左右兩側(cè)都有 f x 0,即函數(shù) f x 在 R上是單調(diào)遞增的,因此 f x 在 x1 處并不存在極值,故a4,ab 44. b 11.答案： 44 5已知函數(shù) y3xx 3m的極大值為 10,就 m的值為 _ . 解析： y 33x 231 x1 x ,令 y 0 得 x1 1,x21,經(jīng)判定知極大值為 f 1 2m10,m8. 答案： 8 6已知函數(shù)f x ax 3bx23x 在 x 1 處取得極值爭論f 1 和 f 1 是函數(shù)f x 的極大值仍是微小值解： f x 3ax 22bx 3,6 / 12 依題意, f 1 f 1 0,即3a2b30,3a2b30.解得 a1,

10、b0, f x x 33x,f x 3x 23 3 x1 x1 ,令 f x 0,得 x 1,x1,x , 11 1,111 ,f x00f x極大值微小值所以 f 1 2 是極大值, f 1 2 是微小值極值的綜合應用 例 3 已知 a為實數(shù),函數(shù) f x x 33xa. 1 求函數(shù) f x的極值,并畫出其圖象 草圖 ；2 當 a 為何值時,方程f x 0 恰好有兩個實數(shù)根？ 精解詳析 1 由 f x x 33xa,得 f x 3x 23,令 f x 0,得 x 1 或 x1. 當 x , 1 時, f x0 ；當 x1 , 時, f x0. 所以函數(shù) f x 的微小值為 f 1 a2；極大

11、值為 f 1 a 2. 由單調(diào)性、極值可畫出函數(shù)f x 的大致圖象,如下列圖這里,極大值a2 大于微小值a 2. a20 時,曲線2 結(jié)合圖象,當極大值a20 或微小值f x 與 x 軸恰有兩個交點,即方程f x0 恰有兩個實數(shù)根綜上,當 a 2 時,方程恰有兩個實數(shù)根 一點通 極值問題的綜合應用主要涉及極值的正用和逆用,以及與單調(diào)性問題的綜 合,題目著重考查已知與未知的轉(zhuǎn)化,以及函數(shù)與方程的思想、分類爭論的思想在解題中的應用,在解題過程中,嫻熟把握單調(diào)區(qū)間問題以及極值問題的基本解題策略是解決綜合問題的關鍵7 / 12 7在例 3 中當 a 在什么范疇內(nèi)取值時,曲線 解：函數(shù) f x 的大致圖

12、象如下列圖：yf x 與 x 軸僅有一個交點？當函數(shù)f x 的極大值8a20 時,曲線yf x 與 x 軸僅有一個交點,所以所求實數(shù)a 的范疇是 a2.已知x3是函數(shù)fxaln1xx210 x的一個極值點1 求 a；2 求函數(shù) f x 的單調(diào)區(qū)間；3 如直線 yb 與函數(shù) y f x 的圖象有 3 個交點,求 b 的取值范疇a解：1 由于 f x 1x2 x10,a所以 f346100,因此 a16.2 由1 知,f xfx16ln1xx210 x,x1,21,1x24x3,當x3,時,1xf x0 ,當 x 1,3 時, f x0 ,所以 f x 的單調(diào)增區(qū)間是 1,1 和3 , , f x

13、 的單調(diào)減區(qū)間是 1,33 由2 知, f x 在 1,1 內(nèi)單調(diào)遞增,在 1,3 內(nèi)單調(diào)遞減,在 3 , 上單調(diào)遞增,且當 x1 或 x3 時, f x 0,所以 f x 的極大值為 f 1 16ln 2 9,微小值為 f 3 32ln 2 21,所以要使直線 yb 與 yf x 的圖象有 3 個交點,當且僅當 f 3 bf3,33排除；取函數(shù)fxx12,就x1是fx 的極大值點,但1不是fx的極小值點,排除；fx 的圖象與fxfx x12,1不是fx 的微小值點,排除,.的圖象關于原點對稱,由函數(shù)圖象的對稱性可得0 x應為函數(shù) f x 的微小值點,填答案：二、解答題6已知函數(shù)fx13x4

14、x4,求函數(shù)的極值,并畫出函數(shù)的大致圖象4.3解：1f x x2解方程x240,得x12,x22.當 x 變化時, f x 、f x 的變化情形如下表：x , 22 2,222 ,28；f x00f x從上表看出,當x284f2332時,函數(shù)有極大值,且極大值為310 / 12 而當x2時,函數(shù)有微小值,且微小值為f24 3 .函數(shù)fx1x34x4的圖象如下列圖37已知函數(shù)fx 3x3ax1,a 0.1 求 f x 的單調(diào)區(qū)間；2 如 f x 在 x 1 處取得極值,直線ym與 yf x 的圖象有三個不同的交點,求 m的取值范疇解：1f x 32x3 a3x2a當 a0 ,當a0時,fx的單調(diào)增區(qū)間為當 a0時,由f x0解得xa,由f x0解得ax 0,故 f x 在 R上為增函數(shù)3由1知f x 2e2x2e2 xc,而2e2 x2e2x22e