1、高中數學必修 +選修學問點歸納必修 1 數學學問點 第一章：集合與函數概念 1.1.1 、集合1、 把爭論的對象統稱為元素,把一些元素組成的總體叫做集合；集合三要素：確定性、互異性、無序性；2、 只要構成兩個集合的元素是一樣的,就稱這兩個集合相等；3、 常見集合：正整數集合：* N 或 N,整數集合：Z ,有理數集合：Q ,實數集合：R . 4、集合的表示方法：列舉法、描述法. 1.1.2 、集合間的基本關系1、 一般地,對于兩個集合 A、B,假如集合 A中任意一個元素都是集合 B 中的元素,就稱集合 A 是集合 B 的子集；記作 A B . 2、 假如集合 A B,但存在元素 x B,且 x

2、 A,就稱集合 A 是集合 B 的真子集 . 記作： A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集 . 記作：. 并規定：空集合是任何集合的子集 . n n4、 假如集合 A 中含有 n 個元素,就集合 A 有 2 個子集, 2 1 個真子集 . 1.1.3 、集合間的基本運算1、 一般地,由全部屬于集合A 或集合 B 的元素組成的集合,稱為集合A 與 B 的并集 . 記作：AB. 2、 一般地,由屬于集合A且屬于集合B 的全部元素組成的集合,稱為A 與 B 的交集 . 記作：AB. 3、全集、補集？C Ax xU,且xU 1.2.1 、函數的概念1、 設 A、B是非空的數集,假如依據某種確定

3、的對應關系Bf ,使對于集合A 中的任意一個數x ,在集合 B 中都有惟一確定的數fx和它對應,那么就稱f :A為集合 A到集合 B的一個函數, 記作：yfx,xA. 2、 一個函數的構成要素為：定義域、對應關系、值域 就稱這兩個函數相等 . 1.2.2 、函數的表示法. 假如兩個函數的定義域相同,并且對應關系完全一樣,1、 函數的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法 . 1.3.1 、單調性與最大（小）值 1、留意函數單調性的證明方法：1 定義法：設2x 、x2a,b,x 1x2那么fx 1fx20fx 在a,b上是減函數 . fx 1fx0fx 在 a ,b上是增函數；步驟：取值作差變形定

4、號判定格式：解：設x 1,x2ya,b且x 1x2,就：fx 1fx 2=,就fx 為增函數； 2 導數法：設函數ff x在某個區間內可導,如fx 0如fx0,就x為減函數 . 1.3.2 、奇偶性1、 一般地,假如對于函數fx的定義域內任意一個x ,都有ffxfx,那么就稱函數fx為偶函數 .偶函數圖象關于y 軸對稱 . 的定義域內任意一個x ,都有xfx,那么就稱函數fx為奇函數 .2、 一般地,假如對于函數fx奇函數圖象關于原點對稱. 學問鏈接：函數與導數1、函數yfx在點0 x 處的導數的幾何意義：- 1 - 函數yfx在點x 處的導數是曲線yfx在Px0,fx 0處的切線的斜率fx0

5、,相應的切線方程是yy 0fx 0 xx 0. 2、幾種常見函數的導數C0 ；xnnxn1；sinxcosx； cosxx sinx；. ；exex；logax x1a；ln1axaxlnalnx3、導數的運算法就（1）uvu v . （2）uv u v uv . （ 3）u u v2uv0vvv4、復合函數求導法就復合函數yf g x 的導數和函數yf u ug x 的導數間的關系為y xy uu x,即 y 對 x 的導數等于 y 對 u 的導數與 u 對 x 的導數的乘積 . . 解題步驟 : 分層層層求導作積仍原5、函數的極值 1極值定義：fxfx 0,就fx0是函數fx 的極大值；極

6、值是在x 鄰近全部的點,都有,就0是函數的微小值 . 極值是在x 鄰近全部的點,都有 0fxfx0fxfx 2 判別方法：假如在x 鄰近的左側f x0,右側f x0,那么fx0是極大值；假如在x 鄰近的左側f x0,右側f x 0,那么圖a10a1fx0是微小值 . 6、求函數的最值象 1 求yf x 在 , a b 內的極值（極大或者微小值）性2 將yf x 的各極值點與f a ,f b 比較,其中最大的1 定義域： R （2）值域：（0, +）一個為最大值,最小的一個為微小值；質（3）過定點（ 0,1）,即 x=0 時, y=1 注：極值是在局部對函數值進行比較（局部性質）；最值（4）在

7、R 上是增函（4）在 R上是減函數是在整體區間上對函數值進行比較 整體性質 ；數其次章：基本初等函數（）5xx0,axax1; 5x0,0 x 0, aax1; n0, 01x1 2.1.1 、指數與指數冪的運算,1nN. 1、 一般地,假如xna,那么 x 叫做 a的 n 次方根；其中2、 當 n 為奇數時,nana；當 n 為偶數時,nana. 3、 我們規定：anmana0,m ,nN* m1；an1n0；man4、 運算性質：arasarsa0,r,sQ； arsarsa0 ,r,sQ； abrarbra,0b0 ,rQ. - 2 - 2.1.2 、指數函數及其性質0a11、記住圖象：

8、yaxa,0 a112、性質：o 2.2.1 、對數與對數運算1、指數與對數互化式：axNxlogaN ；MlogaMlog2、對數恒等式：alog a NN . 3、基本性質：log a10,logaa1. 4、運算性質：當a0 ,a,1M0 ,N0時：logaMNlogaMlogaN；logaN5、換底公式：logablogcba0 ,a,1c0,c,1b0. 0a1logac6、重要公式：loganm bmlogab1. n17、倒數關系：logab1aa0 ,a,1b,0blogba 2.2.2、對數函數及其性質1、記住圖象：ylogaxa,0a12、性質：yy=log ax圖1111

9、00象0a1質（ 3）過定點（ 1,0）,即 x=1 時, y=0 2.3 、冪函數（ 4）在 （0,+）上是增函數5 x ,1 log a x 0；0 x ,1 log a x 0（4）在（ 0, +）上是減函數5 x ,1 log a x 0；0 x ,1 log a x 01、幾種冪函數的圖象：第三章：函數的應用 3.1.1 、方程的根與函數的零點1、方程fx0有實根函數yfx的圖象與 x 軸有交點函數yfx有零點 . - 3 - 2、 零點存在性定理：假如函數yfx在區間a,b上的圖象是連續不斷的一條曲線,并且有faxfb0,那么函數yfx在區間a,b內有零點,即存在ca,b,使得fc

10、0,這個 c 也就是方程f0的根 . 3.1.2 、用二分法求方程的近似解 1、把握二分法 . 3.2.1 、幾類不同增長的函數模型 3.2.2 、函數模型的應用舉例 1、解決問題的常規方法：先畫散點圖,再用適當的函數擬合,最終檢驗 . 必修 2 數學學問點 第一章：空間幾何體1、空間幾何體的結構 常見的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺；常見的旋轉體有：圓柱、圓錐、圓臺、球；棱柱：有兩個面相互平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱；棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面與截面之間的部分,這樣的多面體叫做棱臺；2、空間幾何體的三視圖和直

11、觀圖 把光由一點向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影線交于一點；把在一束平行光線照耀下的投影 叫平行投影,平行投影的投影線是平行的；3、空間幾何體的表面積與體積圓柱側面積；S 側面2rl圓錐側面積：S側面SrlV錐體RlSh；V 臺體1S 上S上S 下S 下hrl圓臺側面積：S側面h；1體積公式：V柱體33y球的表面積和體積：其次章：點、直線、平面之間的位置關系 1、公理 1：假如一條直線上兩點在一個平面內,那么這條直線在此平面內；2、公理 2：過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面；3、公理 3：假如兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線；4、公理 4：

12、平行于同一條直線的兩條直線平行 . 5、定理：空間中假如兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補；6、線線位置關系：平行、相交、異面；7、線面位置關系：直線在平面內、直線和平面平行、直線和平面相交；8、面面位置關系：平行、相交；9、線面平行：判定：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,就該直線與此平面平行（簡稱線線平行,就線面平行）；性質：一條直線與一個平面平行,就過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行（簡稱線面平行,就線線平行）；- 4 - 10、面面平行：判定：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行,就這兩個平面平行（簡稱線面平行,就面面平行）；性質：假如兩個平行平面同

13、時和第三個平面相交,那么它們的交線平行（簡稱面面平行,就線線平行）11、線面垂直：定義：假如一條直線垂直于一個平面內的任意一條直線,那么就說這條直線和這個平面垂直；判定：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,就該直線與此平面垂直（簡稱線線垂直,就線面垂直）；性質：垂直于同一個平面的兩條直線平行；12、面面垂直：定義：兩個平面相交,假如它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面相互垂直；判定：一個平面經過另一個平面的一條垂線,就這兩個平面垂直（簡稱線面垂直,就面面垂直）；性質： 兩個平面相互垂直,就一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面；（簡稱面面垂直, 就線面垂直）；第三章：直線與方程

14、1、傾斜角與斜率：ktany2y1x2x12、直線方程：點斜式：yy0kxx0斜截式：ykxbByC0兩點式：yy 1y 2y 1截距式：xy1一般式：Axxx 1x 2x 1ab3、對于直線l1:yk 1xb 1,l2:yk2xb2有：l1/l2k 1k2；1l 和2l 相交k 1k ；b 1b 21l 和2l重合k 1k2；l1l2k1k21. b 1b 24、對于直線：l1:A 1xB 1yC 12,0l2:A 2xB 2yC0C 1C22有：l 1/l2A 1B 2A 2B 1；1l 和2l相交A 1B2A2B 1；B 1C 2B 2C 11l 和2l重合A 1B 2A 2B 1；l1

15、l2A 1A 2B 1B20. B 1C2B 2C 15、兩點間距離公式：P 1P 2x2x12y2y 126、點到直線距離公式：dAx 0ABy02C2B7、兩平行線間的距離公式：1l ：AxByC10與2l ：AxByC20平行,就dA2B- 5 - 第四章：圓與方程 1、圓的方程：標準方程：xa2yb2r2其中圓心為 , a b ,半徑為 r . r1D2E24F . 一般方程：x2y2DxEyF0. 其中圓心為 D,E,半徑為2222、直線與圓的位置關系直線AxByC0與圓xa2ryb2r2的位置關系有三種: ；相交0. dr相離0; d相切0; dr弦長公式：l2r2d21k2x 1

16、x 224 x x 1 2r3、兩圓位置關系：dO 1O 2Rr；相交：RrdR外離：dRr；外切：d內切：dRr；內含：dRr. z 12x2x 12y2y12z 23、空間中兩點間距離公式：P 1P 2必修 3 數學學問點第一章：算法1、算法三種語言：自然語言、流程圖、程序語言；2、流程圖中的圖框：起止框、輸入輸出框、處理框、判定框、流程線等規范表示方法；3、算法的三種基本結構：次序結構、條件結構、循環結構當型循環結構直到型循環結構次序結構示意圖：語句 n （圖 1）語句 n+1 條件結構示意圖：滿意條件？否語句 2 IF-THEN-ELSE 格式：是語句 1 （圖 2）IF-THEN 格

17、式：是 滿意條件？否語句（圖 3）循環結構示意圖：滿意條件？循環體循環體否當型（ WHILE型）循環結構示意圖：（圖 4）是滿意條件？圖 5 否是- 6 - 直到型（ UNTIL 型）循環結構示意圖：4、基本算法語句：輸入語句的一般格式：INPUT“ 提示內容”；變量輸出語句的一般格式：PRINT“ 提示內容”；表達式賦值語句的一般格式：變量表達式（“ =” 有時也用“ ”）. 條件語句的一般格式有兩種：IF THENELSE語句的一般格式為：IF 條件 IFTHENTHEN語句的一般格式為：（圖 3）（圖 2）語句 1 IF 條件 THEN語句ELSE 語句 2 END IF 循環語句的一般

18、格式是兩種：當型循環（ WHILE）語句的一般格式：直到型循環（ UNTIL）語句的一般格式：（圖 4）WHILE 條件（圖 5）DO 循環體循環體WEND LOOP NTIL 條件算法案例：輾轉相除法結果是以相除余數為 0 而得到利用輾轉相除法求最大公約數的步驟如下：）：用較大的數 m除以較小的數 n 得到一個商 S 和一個余數 R ；）：如 R 0,就 n 為 m,n 的最大公約數； 如 R 0,就用除數 n 除以余數 R 得到一個商 S 和一個余數 R ；）：如 R 0,就 R 為 m,n 的最大公約數；如 R 0,就用除數 R 除以余數 R 得到一個商 S 和一個余數R ； 依次運算直

19、至 R 0,此時所得到的 R n 1 即為所求的最大公約數；更相減損術結果是以減數與差相等而得到利用更相減損術求最大公約數的步驟如下：）：任意給出兩個正數；判定它們是否都是偶數；如是,用2 約簡；如不是,執行其次步；）：以較大的數減去較小的數,接著把較小的數與所得的差比較,并以大數減小數；連續這個操作,直到所得的數相等為止,就這個數（等數）就是所求的最大公約數；進位制十進制數化為k 進制數除k 取余法 k進制數化為十進制數其次章：統計 1、抽樣方法：簡潔隨機抽樣（總體個數較少）系統抽樣（總體個數較多）分層抽樣（總體中差異明顯）留意：在N個個體的總體中抽取出n 個個體組成樣本,每個個體被抽到的機

20、會（概率）均為n ；N2、總體分布的估量：一表二圖：頻率分布表數據詳實頻率分布直方圖分布直觀頻率分布折線圖便于觀看總體分布趨勢 注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為 1；莖葉圖：莖葉圖適用于數據較少的情形,從中便于看出數據的分布,以及中位數、眾位數等；個位數為葉,十位數為莖,右側數據依據從小到大書寫,相同的數據重復寫；- 7 - 3、總體特點數的估量：平均數：xxx 1nx2x3xn；2,p n,就其平均數為x1p1x2p2x npn；n取值為x 1,2,x的頻率分別為p 1,p留意：頻率分布表運算平均數要取組中值；方差與標準差：一組樣本數據x 1,x 2,xnn1x ix 2注：方差與標

21、準差越小,說明樣本數據越穩固；方差：s21inxix2；標準差：s1in1n平均數反映數據總體水平；方差與標準差反映數據的穩固水平；線性回來方程 變量之間的兩類關系：函數關系與相關關系；制作散點圖,判定線性相關關系n線性回來方程：ybxa（最小二乘法）bix y inx y留意：線性回來直線經過定點x ,y ；1anx2nx2ii1bxy第三章：概率 1、隨機大事及其概率：大事：試驗的每一種可能的結果,用大寫英文字母表示；必定大事、不行能大事、隨機大事的特點；隨機大事A 的概率：PA m, 0P A 1. n2、古典概型：基本領件：一次試驗中可能顯現的每一個基本結果；古典概型的特點：全部的基本

22、領件只有有限個；每個基本領件都是等可能發生；古典概型概率運算公式：一次試驗的等可能基本領件共有n 個,大事 A 包含了其中的m個基本領件,就大事A發生的概率P A m. n3、幾何概型：幾何概型的特點：全部的基本領件是無限個；每個基本領件都是等可能發生；幾何概型概率運算公式：P A d 的測度；其中測度依據題目確定,一般為線段、角度、面積、體積等；D的測度4、互斥大事：不行能同時發生的兩個大事稱為互斥大事；假如大事A 1,A 2,A n任意兩個都是互斥大事,就稱大事A 1,A 2,A n彼此互斥；PABPA PB 假如大事A,B 互斥,那么大事A+B發生的概率,等于大事A, B發生的概率的和,

23、即：假如大事A 1,A 2,A n彼此互斥,就有：P A 1A 2A nP A 1PA 2PA n對立大事：兩個互斥大事中必有一個要發生,就稱這兩個大事為對立大事；大事 A 的對立大事記作APA PA ,1PA 1PA 對立大事肯定是互斥大事,互斥大事未必是對立大事；- 8 - 必修 4 數學學問點第一章：三角函數 1.1.1 、任意角1、 正角、負角、零角、象限角的概念. 2 k ,kZ. 2、 與角終邊相同的角的集合： 1.1.2 、弧度制1、 把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1 弧度的角 . 2、1lRl. r3、弧長公式：lnRR. 4、扇形面積公式：SnR2. 3602180 1

24、.2.1 、任意角的三角函數1、 設是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點Px,y,那么：sin3y,cosx,tanTxyx2、 設點A x,y為角終邊上任意一點,那么：（設rx2y2）yPsiny, cosx, tany, cotxrrxy. 2OMA3、sin, cos, tan在四個象限的符號和三角函數線的畫法正弦線： MP; 余弦線： OM; 正切線： AT 5、 特殊角的三角函數值. 0 64322 33 42sincostan 1.2.2 、同角三角函數的基本關系式1、 平方關系：sin2cos21.2 、 商數關系：tansin. kZ）,.cos 1.3 、三角函數的誘導公式（

25、概括為“ 奇變偶不變,符號看象限”sin2 ksin,sinsin,1、誘導公式一：cos2 kcos, 2 、 誘導公式二：coscos,tan2ktan.tantan.（其中：kZ）sin,sinsin,2sin3、誘導公式三：coscos, 4、誘導公式四：coscos,tantan.tantan.cos, 6 、誘導公式六：sincos5、誘導公式五：sin2cos2sin.cos2sin- 9 - 1.4.1 、正弦、余弦函數的圖象和性質1、記住正弦、余弦函數圖象：y=sinx y325374x-4y=cosx-2-3-2y2325374x-7-3-51-4-7-3-5-2-3-21

26、 o-1222222o-122222222、能夠對比圖象講出正弦、余弦函數的相關性質：定義域、值域、最大最小值、對稱軸、對稱中心、奇偶性、單調性、周期性. 上的五個關鍵點為：（ ,）（,2,）（,）（,3,）（,2,）.3、會用五點法作圖. ysinx 在x0, 2 2 1.4.3 、正切函數的圖象與性質yy=tanx-32- 2o232x1、記住正切函數的圖象：2、能夠對比圖象講出正切函數的相關性質：定義域、值域、對稱中心、奇偶性、單調性、周期性 . 周期函數定義：對于函數 f x,假如存在一個非零常數 T,使得當 x 取定義域內的每一個值時,都有f x T f x,那么函數 f x 就叫做

27、周期函數,非零常數 T 叫做這個函數的周期 . 圖表歸納：正弦、余弦、正切函數的圖像及其性質ysinxycosxytanx圖象定義域RRx|x2k,kZ值域x2k2-1,1 x2k,k-1,1 在 k2,TR上單調遞增最值2,kZ時,y max1Z時,y max1無x2kx2k,kZ時,y min12,kZ 時,ymin1周期性T2T2奇偶性在 2k奇在 2k,2偶k奇,2k2上單調遞增,2k上單調遞增單調性2在2k在 2kk上單調遞減kZ,2k3上單調遞減22- 10 - 對稱性對稱軸方程：xk2對稱軸方程：x2k無對稱軸k, 0kZ對稱中心 k, 0對稱中心對稱中心 k,02 1.5 、函

28、數yAsinx的圖象1、對于函數：yAsinxB A0,0有：振幅 A,周期T2,初相,相位x,頻率fB1 T2. 2、能夠講出函數ysinx的圖象與AsinxByAsinxB 的圖象之間的平移伸縮變換關系. 先平移后伸縮：ysinx平移 | 個單位ysinx橫坐標不變y（左加右減）縱坐標變為原先的A 倍Asinx縱坐標不變yAsinx平移 |B 個單位y橫坐標變為原先的|1|倍（上加下減）Asinx先伸縮后平移：ysinx橫坐標不變yAsinx縱坐標不變ysinx縱坐標變為原先的A 倍橫坐標變為原先的|1|倍平移個單位yAsinx平移 |B 個單位yA（左加右減）（上加下減）3、三角函數的周

29、期,對稱軸和對稱中心函數ysinx,xR及函數ycosx,xRA,為常數,且A 0 的周期Tk2k|；函數|ytanx,xk2,kZ A, ,為常數,且A 0 的周期T|. . 對于yAsinx和yAcosx來說,對稱中心與零點相聯系,對稱軸與最值點聯系求函數yAsinx圖像的對稱軸與對稱中心,只需令xk2kZ 與xZ解出 x 即可 . 余弦函數可與正弦函數類比可得. 4、由圖像確定三角函數的解析式利用圖像特點：Ay max2ymin,Bymax2ymin. . 要依據周期來求,要用圖像的關鍵點來求. 1.6 、三角函數模型的簡潔應用要求熟識課本例題- 11 - 第三章、三角恒等變換12sin

30、coscostan3 3.1.1 、兩角差的余弦公式記住 15 的三角函數值：6426224 3.1.2 、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sincossin1、sinsincoscossin 2、sin3、coscoscossinsin 4、coscoscossinsin5、tantantan. 6、tantantan. 1 tantan1 tantan 3.1.3 、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin22 sincos,變形：sincos1 2sin 2. 1 21cos 22、cos2cos2sin22cos2112sin2. 升冪公式：1cos22cos2降冪公式：cos2變形如下

31、：1cos22sin211cos 2sin21 23、tan212tan2. 4、tansin21cos2cos2sin 2tan 3.2 、簡潔的三角恒等變換1、 留意正切化弦、平方降次. bcosxa2b2sinxb . 2、幫助角公式yasinx（其中幫助角所在象限由點 , a b 的象限打算 , tana其次章：平面對量 2.1.1 、向量的物理背景與概念1、 明白四種常見向量：力、位移、速度、加速度 . 2、 既有大小又有方向的量叫做向量 . 2.1.2 、向量的幾何表示1、 帶有方向的線段叫做有向線段,有向線段包含三個要素：起點、方向、長度 . 2、 向量 AB 的大小,也就是向量

32、 AB 的長度（或稱模） ,記作 AB ；長度為零的向量叫做零向量；長度等于 1個單位的向量叫做單位向量 . 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量）. 規定：零向量與任意向量平行 . 2.1.3 、相等向量與共線向量1、 長度相等且方向相同的向量叫做相等向量 . 2.2.1 、向量加法運算及其幾何意義1、 三角形加法法就和平行四邊形加法法就 . 2、a ba b . 2.2.2 、向量減法運算及其幾何意義1、 與 a 長度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量 . 2、 三角形減法法就和平行四邊形減法法就 . 2.2.3 、向量數乘運算及其幾何意義1、 規定：實數 與向量 a

33、 的積是一個向量,這種運算叫做向量的數乘 . 記作：a ,它的長度和方向規定如下： a a , 當 0時 , a 的方向與 a 的方向相同；當 0時 , a 的方向與 a 的方向相反 . 2、 平面對量共線定理：向量 a a 0 與 b 共線,當且僅當有唯獨一個實數,使 b a . 2.3.1 、平面對量基本定理1、 平面對量基本定理：假如 e 1,e 2 是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內任一向量 a ,有且只有一對實數 1, 2,使 a 1 e 1 2 e 2 . 2.3.2 、平面對量的正交分解及坐標表示、a ix y j x , y . 2.3.3 、平面對量的坐標運算1

34、、 設ax1x 1,y 1,b2,x2,y2,就：aabx 1x2,y 1. y 2,aby2x 1x2x2,y 1y2,2、 設A,y 1,Bxy2,就：x 2x 1, y 1,a/bx 1y 1. ABx 1,y 2y 1 2.3.4 、平面對量共線的坐標表示1、 設Ax 1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3,就線段 AB中點坐標為x 1x 2,y 1y 2,y3. 22 ABC的重心坐標為x 1x2x3,y 1y233 2.4.1 、平面對量數量積的物理背景及其含義1、a2baabcos. 2aa、 a 在 b 方向上的投影為：acos. 3、2. 5、abab0. 2a. 4 2.4.

35、2、平面對量數量積的坐標表示、模、夾角1、 設ax 1,y 1,b,x2,y2,就：abx 1x2y 1y 22aa2 x 1y2 10aba b0 x x 2y y 20 x2a/ / bbx y 2x y 1x 12y2. ABy 12、 設Ax1,y 1,Bx2y2,就：2 x 1x x2y y2cosa b a b3、 兩向量的夾角公式y12x22y224、點的平移公式平移前的點為P x y （ 原坐標 ）,平移后的對應點為Px y（ 新坐標 ）,平移向量為PP , h k 就xx hyy k .ykf xh.函數yf x 的圖像按向量a , h k 平移后的圖像的解析式為- 3 -

36、2.5.1 、平面幾何中的向量方法 2.5.2 、向量在物理中的應用舉例學問鏈接：空間向量空間向量的很多學問可由平面對量的學問類比而得 歸納 . 1、直線的方向向量和平面的法向量. 下面對空間向量在立體幾何中證明,求值的應用進行總結直線的方向向量：如 A、B 是直線 l 上的任意兩點,就 AB 為直線 l 的一個方向向量；與 AB 平行的任意非零向量也是直線 l 的方向向量 . 平面的法向量：如向量 n 所在直線垂直于平面,就稱這個向量垂直于平面,記作 n,假如n,那么向量 n 叫做平面 的法向量 . 平面的法向量的求法（待定系數法）：建立適當的坐標系設平面 的法向量為 n , , x y z

37、 求出平面內兩個不共線向量的坐標 a a a 2 , a 3 , b b b b 3 n a 0依據法向量定義建立方程組 . n b 0解方程組,取其中一組解,即得平面 的法向量 . （如圖）2、 用向量方法判定空間中的平行關系線線平行設直線l1,l 的方向向量分別是a、 ,就要證明1l 2l ,只需證明 a b ,即akb kR . 即：兩直線平行或重合兩直線的方向向量共線；線面平行（法一）設直線l 的方向向量是a ,平面的法向量是 u ,就要證明 l ,只需證明 au ,即a u0. . 即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外（法二） 要證明一條直線和一個平面平

38、行,也可在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可面面平行如平面的法向量為 u ,平面的法向量為 v ,要證,只需證 u v ,即證 uv . 即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線；3、用向量方法判定空間的垂直關系線線垂直設直線l1,l 的方向向量分別是a、 ,就要證明l1l ,只需證明 ab ,即a b0. 即：兩直線垂直兩直線的方向向量垂直；線面垂直（法一）設直線l 的方向向量是a ,平面的法向量是 u ,就要證明 l,只需證明 a u ,即 au . （法二）設直線a ,平面、 ,如a m0, 0就l.l 的方向向量是內的兩個相交向量分別為ma n- 4 - 即：直線與平面垂

39、直直線的方向向量與平面的法向量共線直線的方向向量與平面內兩條不共線直線的方向向量都垂直；面面垂直如平面的法向量為 u ,平面的法向量為 v ,要證,只需證 uv ,即證u v0. 即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直；4、利用向量求空間角求異面直線所成的角已知a b 為兩異面直線,A, C與 B, D分別是a b 上的任意兩點,a b 所成的角為,就 cosAC BD.AC BD求直線和平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角求法：設直線l 的方向向量為a ,平面的法向量為 u ,直線與平面所成的角為,a 與 u 的夾角為的補角的余角 . 即有：s

40、 incosa u a u.,就為的余角或求二面角定義： 平面內的一條直線把平面分為兩個部分,其中的每一部分叫做半平面；從一條直線動身的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,每個半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一點O,分別在兩個半平面內作射線A AOl,BOl,就AOB為二面角l的平面角 . 如圖：B l B 求法：設二面角l的兩個半平面的法向量分別為m、 ,再設 m、 的夾角為,二面角l的平面角為,就二面角為 m、 的夾角或其補角.O O A 依據詳細圖形確定是銳角或是鈍角： 假如是銳角,就 coscosm n,即arccosm n；m nm n

41、假如是鈍角,就 coscosm n,即arccosm n. m nm n5、利用法向量求空間距離點 Q到直線 l 距離 如 Q為直線 l 外的一點 , P 在直線 l 上, a 為直線 l 的方向向量,b = PQ ,就點 Q到直線 l 距離為 h 1| a | b | 2 a b 2| a |點 A 到平面 的距離 如點 P為平面 外一點,點 M為平面 內任一點,平面 的法向量為 n ,就 P 到平面 的距離就等于 MP 在法向量 n 方向上的投影的確定值 . 即 d MP cos n MPn MP n MPMPn MP n- 5 - 直線 a 與平面之間的距離當一條直線和一個平面平行時,直

42、線上的各點到平面的距離相等；即dnMP.由此可知,直線到平面的距離可轉化為求直線上任一點到平面的距離,即轉化為點面距離； 兩平行平面,之間的距離n.nMP利用兩平行平面間的距離到處相等,可將兩平行平面間的距離轉化為求點面距離；即dn 異面直線間的距離設向量 n 與兩異面直線a b 都垂直,Ma Pb 就兩異面直線a b 間的距離 d 就是 MP 在向量 n 方向上投影的確定值；即dnMP n.6、三垂線定理及其逆定理 三垂線定理：在平面內的一條直線,假如它和這個平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直推理模式：PO,OaPA概括為：垂直于射影就垂直于斜線. PPAaAaOA 三垂線定理

43、的逆定理：在平面內的一條直線,假如和這個平面的一條斜線垂直,PO,OA1ACOa那么它也和這條斜線的射影垂直推理模式：PAAaAOa,aAPB概括為：垂直于斜線就垂直于射影. 7、三余弦定理設 AC是平面內的任一條直線,AD是的一條斜線AB 在內的射影,D且 BDAD,垂足為 D.設 AB與 AD 所成的角為1, AD 與 AC所成的角為2,2AB與 AC所成的角為就coscos1cos2. 8、 面積射影定理已知平面內一個多邊形的面積為S S原,它在平面內的射影圖形的面積為S S射,平面與平面所成的二面角的大小為銳二面角,就cos S=S 射.S 原S9、一個結論長度為 l 的線段在三條兩兩

44、相互垂直的直線上的射影長分別為l1、 、2l3,夾角分別為1、2、3, 就有l2l2l2l22 cos12 cos22 cos312 sin12 sin2sin232 . 123（立體幾何中長方體對角線長的公式是特例）- 6 - 必修 5 數學學問點第一章：解三角形ABC 外接圓的半徑）,sinCc;bBcC2R（其中 R 為1、正弦定理：aAsinsinsina2 RsinA b2RsinB c2RsinC ;sinAa,sinBb2R2R2Ra b csinA:sinB:sinC.用途：已知三角形兩角和任一邊,求其它元素；已知三角形兩邊和其中一邊的對角,求其它元素；2、余弦定理：a 2b2

45、c 22 bccos ,cosAb2c2a2,2bcb 2a2c 22 accos ,cosBa2c2b2,2acc 2a2b 22 abcos .cosCa2c2.b22ab用途：已知三角形兩邊及其夾角,求其它元素；已知三角形三邊,求其它元素；做題中兩個定理常常結合使用 .3、三角形面積公式：S ABC1absinC1bcsinA1acsinBA2 C2A2AB . 2224、三角形內角和定理：在 ABC中,有ABCCABC2A2B25、一個常用結論：在ABC中,absinAsinBAB ;sinBB 不成立；如 sin 2Asin 2 ,就AB或AB2.特殊留意,在三角函數中,sin其次章

46、：數列S n, n1留意通項能否合并；a nS 1S n1、數列中a 與S 之間的關系：1,n2.2、等差數列：定義： 假如一個數列從第2 項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數,即a an1=d ,（n2,nN）,那么這個數列就叫做等差數列；等差中項：如三數a、 、b成等差數列Aa2b*、, 也成等差數列；通項公式：ana 1n1 damnm d或anpnqp、 是常數） .前 n 項和公式：Snna1nn1dna12an2常用性質： 如mnpqm ,n,p,qN,就a manapaq； 下標為等差數列的項ak,akm,ak2m,仍組成等差數列；數列anb（,b為常數）仍為等差數列； 如

47、 an、 b n是等差數列,就 ka n、ka npb n k 、 p 是非零常數 、ap nqp qN- 7 - 單調性：a n 的公差為 d ,就：）d 0 a n 為遞增數列；）d 0 a n 為遞減數列；）d 0 a n 為常數列；數列 a 為等差數列 a n pn q （p,q 是常數）如等差數列 a n 的前 n 項和 S ,就 n S 、k S2 k S k、S 3 k S 2 k是等差數列；3、等比數列定義：假如一個數列從第2 項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數,那么這個數列就叫做等比數列；a n等比中項：如三數a、G、 成等比數列G2ab （ ab同號）；反之不肯定成

48、立；通項公式：ana qn1a qn m前 n 項和公式：Sna11qna1a q n1q1q常用性質 如mnpqm ,n ,p ,qN,就a ma napa ；ak,a km,ak2m,為等比數列,公比為k q 下標成等差數列, 就對應的項成等比數列 數列a n（為不等于零的常數）仍是公比為 q 的等比數列； 正項等比數列a n；就 lg是公差為 lg q 的等差數列； 如an是等比數列,就ca n,a n2,1,a nrrZ是等比數列,公比依次是q,q2 1, ,qqr.na單調性：a 10,q1 或a 10,0q1a n為遞增數列；為遞減數列；a 10,0q1 或a 10,q1a nq1

49、a n為常數列；q0a n為搖擺數列；既是等差數列又是等比數列的數列是常數列；如等比數列an的前 n 項和S ,就S 、S2kS k、S 3kS 2k是等比數列 . 3、 非等差、等比數列通項公式的求法4、類型 觀看法：已知數列前如干項,求該數列的通項時,一般對所給的項觀看分析,查找規律,從而依據規律寫出此數列的一個通項；類型公式法：如已知數列的前n 項和S 與a 的關系,求數列 nan的通項a 可用公式 na nS 1S n, n1S n1 ,n2構造兩式作差求解；用此公式時要留意結論有兩種可能,一種是“ 一分為二”,即分段式；另一種是“ 合二為一”,即1a 和a 合為一個表達,（要先分n1

50、和n2兩種情形分別進行運算,然后驗證能否統一）；- 8 - 類型累加法：f n12n1a nan1形如an1anfn型的遞推數列（其中fn是關于 n 的函數）可構造：a n1an2f n. .1 a 2a 1f將上述n1個式子兩邊分別相加,可得：anf n1f n2. 2f1a 1,n2如f n 是關于 n 的一次函數,累加后可轉化為等差數列求和; 如f n 是關于 n 的指數函數,累加后可轉化為等比數列求和; f如f n 是關于 n 的二次函數,累加后可分組求和; an如f n 是關于 n 的分式函數,累加后可裂項求和. 類型累乘法：an1形如a n1a nf n a n1f n 型的遞推數

51、列 （其中fn 是關于 n 的函數） 可構造：ffn2an1a nan2. 1a2將上述n1個式子兩邊分別相乘,可得：anf n1f n2 .f2f1a 1,n2a1有時如不能直接用,可變形成這種形式,然后用這種方法求解；類型 構造數列法：形如 a n 1 pa n q（其中 p q均為常數且 p 0）型的遞推式：（1）如 p 1 時,數列 a 為等差數列 ; （2）如 q 0 時,數列 a 為等比數列 ; （3）如 p 1 且 q 0 時,數列 a 為線性遞推數列,其通項可通過待定系數法構造等比數列來求 . 方法有如下兩種：法一：設an1p an, 綻開移項整理得a n1panp1, 與題設

52、an1panq 比較系數 （待定系數法）得1pq1,p0an1pq1p a npq1anpq1p a n1npq1, 即anq1構成p以a 1pqaq1的通項整理可得an.為首項,以p 為公比的等比數列. 再利用等比數列的通項公式求出p- 9 - 法二：由 a n 1 pa n q 得 a n pa n 1 q n 2 兩式相減并整理得 a n 1 a n p , 即 a n 1 a n 構成以 a 2 a 為a n a n 1首項,以 p 為公比的等比數列 . 求出 a n 1 a n 的通項再轉化為類型（累加法）便可求出 a n .形如 a n 1 pa n f n p 1 型的遞推式：當

53、 f n 為一次函數類型（即等差數列）時：法一：設 a n An B p a n 1 A n 1 B ,通過待定系數法確定 A、 的值,轉化成以 a 1 A B 為首項,以 p 為公比的等比數列 a n An B ,再利用等比數列的通項公式求出 a n An B 的通項整理可得 a n .法二：當 f n 的公差為 d 時,由遞推式得：a n 1 pa n f n ,a n pa n 1 f n 1 兩式相減得：a n 1 a n p a n a n 1 d ,令 b n a n 1 a 得：b n pb n 1 d 轉化為類型求出 b ,再用類型（累加法）便可求出 a n .當 f n 為指

54、數函數類型（即等比數列）時：法一：設 a n f n p a n 1 f n 1,通過待定系數法確定 的值,轉化成以 a 1 f 1 為首項, 以 p為公比的等比數列 a n f n ,再利用等比數列的通項公式求出 a n f n 的通項整理可得 a n .法二：當 f n 的公比為 q 時,由遞推式得：a n 1 pa n f n ,a n pa n 1 f n 1,兩邊同時乘以 q 得 a q pqa n 1 qf n 1,由兩式相減得 a n 1 a q p a n qa n 1 ,即 a n 1 qa n p,在a n qa n 1轉化為類型便可求出 a n .法三： 遞推公式為 a

55、n 1 pa n q n（其中 p,q 均為常數）或 a n 1 pa n rq （其中 p,q, r n均為常數）時,要先在原遞推公式兩邊同時除以 q n 1,得：a nn 11 p a nn 1,引入幫助數列 b n（其中 b n a nn）,得：q q q q qb n 1 p b n 1 再應用類型的方法解決；q q當 f n 為任意數列時,可用通法：在 a n 1 pa n f n 兩邊同時除以 p n 1可得到 a nn 11 a nn f n n 1,令 a nn b n,就 b n 1 b n f n n 1,在轉p p p p pn化為類型（累加法） ,求出 nb 之后得 a

56、 n p b . - 10 - 類型 對數變換法：q形如 a n 1 pa p 0, a n 0 型的遞推式：q在原遞推式 a n 1 pa 兩邊取對數得 lg a n 1 q lg a n lg p ,令 b n lg a 得：b n 1 qb n lg p ,化歸為ba n 1 pa n q 型,求出 b 之后得 na 10 .（留意：底數不肯定要取 10,可依據題意挑選） ；類型 倒數變換法：形如 a n 1 a n pa n 1 a （ p 為常數且 p 0）的遞推式：兩邊同除于 a n 1 a,轉化為 1 1p 形式,化歸a n a n 1為 a n 1 pa n q 型求出 1 的

57、表達式,再求 a ；a n仍有形如 a n 1 ma n 的遞推式,也可采納取倒數方法轉化成 1 m 1 m 形式,化歸為 a n 1 pa n q 型求pa n q a n 1 q a n p出1 的表達式,再求 a . a n類型 形如 a n 2 pa n 1 qa n 型的遞推式：用待定系數法,化為特殊數列 a n a n 1 的形式求解；方法為：設 a n 2 ka n 1 h a n 1 ka n ,比較系數得 h k p , hk q,可解得 h k、 ,于是 a n 1 ka n 是公比為 h 的等比數列, 這樣就化歸為 a n 1 pa n q 型；總之,求數列通項公式可依據

58、數列特點采納以上不同方法求解,納、猜想、證明方法求出數列通項公式 a n .5、非等差、等比數列前 n 項和公式的求法 錯位相減法對不能轉化為以上方法求解的數列, 可用歸 如數列 a n 為等差數列,數列 b n 為等比數列,就數列 a n b n 的求和就要采納此法 . 將數列 a n b n 的每一項分別乘以 nb 的公比,然后在錯位相減,進而可得到數列 a n b n 的前 n 項和 . 此法是在推導等比數列的前 n 項和公式時所用的方法 . 裂項相消法 一般地,當數列的通項 a n c , a b b 2 , c為常數） 時,往往可將 a 變成兩 an b 1 an b 2 項的差,采

59、納裂項相消法求和 . 可用待定系數法進行裂項：設 a n,通分整理后與原式相比較,依據對應項系數相等得an b 1 an b 2c,從而可得 c= c 1 1.b 2 b 1 an b 1 an b 2 b 2 b 1 an b 1 an b 2常見的拆項公式有： 1 1 1； 1 1 1 1;n n 1 n n 1 2 n 12 n 1 2 2 n 1 2 n 1- 11 - a1ba1bab;Cm1Cm1Cm;n n.n1.n. nnn分組法求和有一類數列,既不是等差數列,也不是等比數列,如將這類數列適當拆開,可分為幾個等差、等比或常見的數列,然后分別求和, 再將其合并即可. 一般分兩步：

60、 找通向項公式由通項公式確定如何分組倒序相加法假如一個數列a n,與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和,就可用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加,就得到了一個常數列的和,這種求和方法稱為倒序相加法；特點：a 1a na2a n1.記住常見數列的前n 項和：123.nn n1;135.2n1n2;22 12 232.n21n n12n1.6 3.1 、不等關系與不等式第三章：不等式1、不等式的基本性質（對稱性）a b b a （傳遞性）a b b c a c（可加性）a b a c b c（同向可加性）a b , c d a c b d（異向可減性）a b , c d a c b d（可積性）a