1、高考數學總復習專題講解51拋物線考點要求1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率).2.理解數形結合思想.3.了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應用.必備知識填充口1.拋物線的定義滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線：標準方程y2 = 2px(p0)y2= 2px(p0)x2=2py(p0)x2= 2py(p0)p的幾何意義：焦點F到準線l的跑離圖形9X頂點0(0, 0)對稱軸y= 0 x= 0隹百 八、八、F 2, 0F 二”F Qp-2pF 0, -2離心率e= 1準線方程_ px- 2x=2y=-242范圍x0, y Rx0, x Ry0)焦點F的

2、弦，若A(x1, y1)，B(x2, y2),則P2 .2(1)x1X2= 4 , y1y2= - p .弦長AB|= X1 +X2+ p = s2p a為弦AB的傾斜角).(3)以弦AB為直徑的圓與準線相切.通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長度等于2p,通徑是過焦點最短的弦. TOC o 1-5 h z 一、思考辨析(正確的打“，”，錯誤的打X”)(1)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線.()(2)若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線一定相切.()a(3)方程y=ax2(aw0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是 a, 0 ,準線方程是ax=-

3、不)(4)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.()答案(1)X (2)X (3)X (4)X二、教材改編1.過拋物線y2=4x的焦點的直線l交拋物線于P(xi, yi), Q(x2, y2)兩點，如果xi + x2 = 6,則|PQ| 等于()A.9B. 8C. 7D. 6B 拋物線y2 = 4x的焦點為F(1, 0),準線方程為x= 1.根據題意可得，|PQ|=|PF|+|QF| = xi + 1 + x2+1=xi+x2+2= 8.2,若拋物線y= 4x2上的一點M到焦點的距離為1,則點M的縱坐標是(A.w B- 15A.w B- 15。8D. 011B M到準線的距離等于M到焦點的距

4、離，又準線萬程為v= 76，設M(x，y)，則y+=1,15 y=16.設拋物線y2 = 8x上一點P到y軸的距離是4,則點P到該拋物線焦點的距離是()A.4 B, 6 C. 8 D. 12B 如圖所示，拋物線的準線l的方程為x= 2, F是拋物線的焦點，過點P作 1JLFAy軸，垂足是A,延長PA交直線l于點B,則AB| = 2.由于點P到y軸的距離為4,則點P到準線l的距離|PB| = 4+ 2=6,所以點P到焦點的距離|PF|=|PB|=6.故選B.頂點在原點，對稱軸為坐標軸，且過點P( 4, 2)的拋物線的標準方程是 .2= x或x2= 8y 若焦點在y軸上，設拋物線方程為x2 = m

5、y,由題意可知16= 2m,.m=8,即x2= 8y.若焦點在x軸上，設拋物線方程為y2=nx,由題意，得4= 4n, ；n= 1, 32=-x綜上知,y2 = x 或 x2 = _ 8y.考點1拋物線的定義及應用法(1)應用拋物線定義的兩個關鍵點由拋物線定義，把拋物線上點到焦點距離與到準線距離相互轉化.注意靈活運用拋物線上一點 P(x0, y0)到焦點F的距離|PF|=|x0| + p或|PF|= |yo| + p.(2)解決與過拋物線焦點的弦有關問題的重要途徑是：“看到準線想焦點，看到焦點想準線” .曜里倒(1)已知F是拋物線=乂的焦點，A, B是該拋物線上的兩點AF|+|BF| = 3,

6、則線段AB 的中點到準線的距離為()A.5 B. 2 C. 1 D. 3(2)設P是拋物線y2 = 4x上的一個動點，若B(3, 2),則|PB|+|PF|的最小值為.(1)B (2)4 (1) . F是拋物線y2 = x的焦點，F(：, 0),準線方程 x= 1,設A(x1，y1)，B(x2, y2),根據拋物線的定義可得 TOC o 1-5 h z ，11AFl=x1+4，|BF|=x2+4, 1 ,1 c. |AF|+ |BF|=x1 + 4+乂2+4 = 3.55解得x1 + x2=5, 線段AB的中點橫坐標為5, 5 1 3線段AB的中點到準線的距離為4+4=2.故選B.(2)如圖，

7、過點B作BQ垂直準線于點Q,交拋物線于點P1,則|P1Q|=|P1F|.則有|PB|十|PF|河P1B|十|P1Q|=|BQ| = 4,即|PB|十|PF|的最小值為 4.母題探究.若將例(2)中的B點坐標改為(3, 4),試求|PB| 十 |PF|的最小值.解由題意可知點B(3, 4)在拋物線的外部.|PB|+|PF|的最小值即為B, F兩點間的距離,F(1, 0),.|PB|+|PF| 刁 BF|=，42 + 22 = 2-5,即|PB|十|PF|的最小值為2 ,5.若將例(2)中的條件改為：已知拋物線方程為y2=4x,直線l的方程為x y+5 = 0,在拋物線上有一動點P到y軸的距離為d

8、i,到直線l的距離為d2,求di + d2的最小值.解由題意知，拋物線的焦點為F(1, 0).點P至Uy軸的距離di = |PF|1,所以 di + d2=d2+|PF|1.易知d2+|PF|的最小值為點F到直線l的距離，|1+5|故d2+|PF|的最小值為 I 9=3V2,W2+ (-1)2所以d1 + d2的最小值為3亞1.河與拋物線有關的最值問題的轉換方法(1)將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解.將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段 最短”原理解決.M是C上一點，FM的延長線交yx軸于點A,

9、過Ems (2017 全國卷H)M是C上一點，FM的延長線交yx軸于點A,過軸于點N.若M為FN的中點，則|FN| =.6 如圖，不妨設點M位于第一象限內，拋物線C的準線交點M作準線的垂線,垂足為點B,交y軸于點P, . PM/OF.由題意知，F(2, 0), |FO|=AO| = 2.點M為FN的中點,PM /OF, 1 -.|MP|=2|FO|=1.又 |BP|=|AO| = 2,.|MB|=|MP|+|BP| = 3.由拋物線的定義知|MF|=|MB| = 3,故|FN|=2|MF|=6.考點2拋物線的標準方程及其性質法 求拋物線標準方程的常用方法是待定系數法，其關鍵是判斷焦點位置、開口

10、方向，在方 程的類型已經確定的前提下，由于標準方程只有一個參數p,只需一個條件就可以確定拋物線的標準 方程.照於例(1)(2019濰坊卞g擬)拋物線y2=2px(p0)的焦點為F, O為坐標原點，M為拋物線上一點， 且|MF|=4|OF|, AMFO的面積為4、/3,則拋物線的方程為()A.y2=6xB. y2=8xC.y2=16xD. 丫2二臂(2)一題多解在平面直角坐標系xOy中，設拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l, P為拋物線上 一點，FAl, A為垂足.如果直線AF的傾斜角為120 ,那么|PF|=.(1)B (2)4 (1)設 M(x, y),因為 |OF|=p, |MF|=4|

11、OF|,所以 |MF|=2p,由拋物線定義知 x+ 昌= 2p,所以乂= 2p，所以y=W3P.又AMFO的面積為4屹，所以；xpx，3P = 4，3,解得p= 4(p= 4 舍去).所以拋物線的方程為y2 = 8x(2)法一：拋物線y2 = 4x的焦點為F(1, 0),準線方程為x= 1.因為直線AF的傾斜角為120, 所以/AFO = 60.又tan 60 =世,所以yA = 243.因為PAH,所以yP=yA=243.將其代入y21- ( D= 4x,得 xp = 3,所以 |PF|=|PA|=3( 1)=4.法二：拋物線y2=4x的焦點為F(1, 0),準線方程為x= 1.因為PAL,

12、所以|PA|=|PF|.又因為直線AF的傾斜角為120,所以/AFO=60,所以/PAF = 60,所以4PAF為等邊三角形,所以|PF|1準線的問題更是如此8x4x2xxB30則在RtzACE中FG2|AE|=|AC|,又|AF|=4,2.如圖所示，過拋物線y2 = 2px(p0)的焦點F的直線依次交拋物線及準線于AC| = 4+3a, AE| = 4,A, B, C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=4,則拋物線的方程為(A.y21準線的問題更是如此8x4x2xxB30則在RtzACE中FG2|AE|=|AC|,又|AF|=4,2.如圖所示，過拋物線y2 = 2px(p0)的焦點F的直線

13、依次交拋物線及準線于AC| = 4+3a, AE| = 4,A, B, C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=4,則拋物線的方程為(A.y2B.y2C.y2D.y2分別過點A, B作準線的垂線由定義得|BD| = a,故/BCD4+5=產4 + 5, ；p=4(負值舍去)4 點ApA.2 B. 4 C. 6 D. 84不妨設A p16 02+8 = p兩點.已知|AB| = , |DE|=2y5,則C的焦點到準線的距離為(= 4. cos ZAFOD 243a = 8,從而得a = 3整=CF，即%* p=2.拋物線的方程為y2=4x.故選B.AE AC 4 8B 設拋物線的方程為y2=2p

14、x(p0),圓的方程為x2+y2=r2 AB|=4、也，|DE|=2/5拋物線的準線方程為x=2考點3直線與拋物線的位置關系法求解拋物線綜合問題的方法(1)研究直線與拋物線的位置關系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關系的方法類似，一般是用方程法，但涉及拋物線的弦長、中點、距離等問題時，要注意“設而不求”“整體代入”“點差法”以 及定義的靈活應用.(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式AB| = xi + x2+p(焦點在x軸正半軸)，若不過焦點，則必須用弦長公式.提醒：涉及弦的中點、弦所在直線的斜率時一般用“點差法”求解.fc里例(1)過

15、點(0, 1)作直線，使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點，這樣的直線有 條.3一(2)(2019全國卷I)已知拋物線C: y2 = 3x的焦點為F,斜率為2的直線l與C的父點為A, B,與 x軸的交點為P.若AF| + |BF|=4,求l的方程；若 AP= 3PB,求 |AB|.(1)3 結合圖形分析可知(圖略)，滿足題意的直線共有3條：直線x= 0,過點(0, 1)且平彳T于x軸的直線以及過點(0, 1)且與拋物線相切的直線(非直線x=0).3解 設直線 l： y=2x+1, A(x1，y1)，B(x2, y2).3 一 一3由題設得 F 4, 0 ,故AF|+|BF|=x1 + x2+3

16、,5由題設可得x1+x2=2.則 x1+x則 x1+x2= 一12 (t1)9y=2x+1,可得 9x2+12(t1)x+4t2 = 0,y2= 3x12 (t-1)57從而由9=2,行t=一g.37所以l的方程為y=3x由 AP= 3PB得 y1 = 3y2.3 一 y=2x+1,得 y3 一 y=2x+1,得 y2 2y+ 2t = 0.所以 yi + y2= 2.從而一 3y2 + y2 = 2,故 y2=1, yi = 3.1代入C的萬程得xi = 3, x2=-3故 |AB|=%13.3心評 解答本例(2)第問的關鍵是從條件“京=3病” 中發現變量間的關系“yi = 3y2，從而 為

17、方程組的消元提供明確的方向. 備選例題備選例題1. (2018全國卷H)設拋物線C: y2 = 4x的焦點為F,過F且斜率為k(k0)的直線l與C交于A, 兩點,|AB| = 8.(1)求l的方程；(2)求過點A, B且與C的準線相切的圓的方程.解(1)由題意得 F(1, 0), l 的方程為 y=k(x1)(k0).設 A(x1, y1)，B(x2, y2).y=k (x 1),由 2得 k2x2 (2k2+4)x+k2=0.y =4xA= 16k2+160,2k2+4故 x1 +x2= k2.4k2+4所以 |AB| = AF|+|BF|=(x1+ 1)+(x2+1) = ,2-.k4k2

18、 + 4由題設知-k2- = 8,解得k= 一1(舍去)或k=1.因此l的方程為y=x1.(2)由(1)得AB的中點坐標為(3, 2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=(x3),即丫= x + 5.設所求圓的圓心坐標為(x0, yO),則y0= xo + 5,(x0+ 1)2=(y(x0+ 1)2=(yo xo+ 1)22-+16,xo=3,xo=11,解得 或yo= 2yo= -6.因此所求圓的方程為(x 3)2 + (y 2)2 = 16 或(x 11)2 + (y + 6)2 = 144.52. (2019金華模擬)已知拋物線C: y2=2px(p0)在第一象限內的點P(2, t)到焦

19、點F的距離為(1)若N(2, 0),過點N, P的直線11與拋物線相交于另一點Q,求|QF|的值；(2)若直線12與拋物線C相交于A, B兩點，與圓M: (x- a)2+y2=1相交于D, E兩點，。為坐 標原點，OAL OB,試問：是否存在實數a,使得|DE|為定值？若存在，求出a的值；若不存存，請 說明由.5解=點P(2, t)到焦點F的距離為2,2 + 2 = 1，解得 p= 1,故拋物線C的方程為y2=2x, P(2, 2),42口的方程為v= 5x+5，4 , 2y=5x+5，151 55 |QF| 8 1又Iqfi=xq+ 2=8, |PF|=2, 晶1 55 |QF| 8 1又I

20、qfi=xq+ 2=8, |PF|=2, 晶=5=4 2(2)設直線l2的方程為x= ny+ m(m*0)，代入拋物線方程可得 y2),則 y1 + y2=2n, y1y2= 2m,由 OAL OB 得,(ny+m)(ny2+m) + y1y2= 0,整理得(n2+1)y1y2 + nm(y1 + y2)+m2 = 0,將代入解得m= 2或m=0(舍去)，滿足A= 4n2 + 8m0, 直線l2： x=ny+2,y2 2ny 2my2 2ny 2m= 0,設 A(xi , y1), B(x2,圓心M(a, 0)圓心M(a, 0)到直線12的距離d =|a 2| .|DE|=21 -(a2)顯然

21、當a = 2時，|DE|=2, .存在實數a=2,使得|DE|為定值. 鶴心醺1.一題多解過拋物線y2=4x的焦點F鶴心醺1.一題多解過拋物線y2=4x的焦點F的直線1與拋物線交于A, B兩點，若|AF|=2|BF|,則|AB|等于()9A.4 B. 2 C. 5 D. 6 法一：(直接法)易知直線l的斜率存在，設為k,則其方程為y=k(x1).y=k (x 1),由 2得 k2x2(2k2 + 4)x+k2=0,y =4x得 xA xb= 1,因為AF| = 2|BF|,由拋物線的定義得 xa+1=2(xb+1),即xa = 2xb+1,1由解得xa=2, xb=2，所以 AB| = AF| + |BF| = xa+ xb + p=1法二：(應用性質)由對稱性不妨設點A在x軸的上方，如圖設A, B在準線上的射影分別為D, C,作BELAD于E,設|BF|=m，直線1的傾斜角為9,7 df則 |AB|=3m,、由拋物線的定義知AD|=AF| = 2m, |BC|=|BF|=m,所以cos41A曷=2，所以tan42版.則sin2 8= 8cos2以sin2 8= 8.又y