1、研卷知古今；藏書教子孫。(二)點、直線、平面之間的位置關系一、選擇題1.【04安徽理】若二面角a -l - B為1200,直線mla ,則P所在平面內的直線與 m所成角的取值范圍是(A)(00,900(B) 300, 600(C) 600, 900(D) 30 0 , 900北京I理】設m、n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列四個命題：若 ， ，則 TOC o 1-5 h z 若 ， ，則若 ， ，則若 ， ，則其中正確命題的序號是A.和B.和C.和D.和北京春招L理一個圓錐的側面積是其底面積的2倍，則該圓錐的母線與底面所成的角為A.B.C.D.北京春招I理】兩個完全相同的長方體的長

2、、寬、高分別為5cm, 4cm, 3cm,把它們重疊在一起組成一個新長方體，在這些新長方體中，最長的對角線的長度是A.B.C.D.福建U理】如圖，A、B、C是表面積為48兀的球面上三點，AB=2 , BC=4 ,/ ABC=60 , O為球心，則直線 OA與截面ABC所成的角是A . arcsin 史B . arccos史C. arcsin 史D. arccos走6.104福建U理】 已知m、n是不重合的直線，“、3是不重合的平面，有下列命題 TOC o 1-5 h z 若m=a,n IIa,則m“n;若m /a ,m /3,則a /3；若a A3 =n, m/n,則 m/a 且 m / 3

3、；若ma ,m3,則a 3.其中真命題的個數是A. 0B. 1C. 2D. 37.104湖南U理】把正方形ABCD沿對角線AC折起，當A、B C、D四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線 BD與平面ABC所成的角的大小為A. 90B. 60C. 45D, 308.【04湖北L理】已知平面汽與P所成的二面角為 80 , P為a、P外一定點，過點 P的一條直線與a、P所成的角都是30。，則這樣的直線有且僅有9.1條【04全國n 理】距離為二，則球心22條3條已知球。的半徑為1, A、B、O到平面ABC的距離為4條C三點都在球面上，且每兩點間的球面(A) 3全國n75(B)昱3(C)正四棱錐的側棱長與底

4、面邊長都是60。45。(D)常31,則側棱與底面所成的角為30全國IV 理】對于直線m、n和平面久,下面命題中的真命題是A.如果m u o(,n s a, m、n是異面直線，那么 naB.如果mu , n 遼 a,m、n是異面直線，那么 n與u相交C.如果mua,nct,m、n 共面，那么 m/nD.如果m/o(,n/a, m n 共面，那么 m/ n12.104全國IV 理】 已知球的表面積為 20元，球面上有 A、B、C三點.如果AB=AC=2 ,BC= 273 ,則球心到平面 ABC的距離為10取小 =(-1, -1,2)，則n0是一個與平面CiDE垂直的向量,向重aa =(0,0, 2

5、)與平面CDE垂直，,n0與AA所成的角6為二面角C -DE -&的平面角 TOC o 1-5 h z n0 *AAu -1 0-1 0 2 2.6.2.cosF =/ 飛 一二一.tani =|n0|x|AA| V1+1 +4XV0 + 0+432(II)設ECi與FDi所成角為3 ,則ECi *FDi _1 (-4) 3 2 2 2_ 冷| ECi | | FDi |12 32 22(-4)2 22 2214.【04江蘇】 在棱長為4的正方體 ABCD-A 1B1C1D1中，。是正方形AiBiCiDi的中心,點 P 在CCi 上，且 CCi=4CP.(I)求直線 AP與平面 BCCiBi所

6、成的角的大小 (結果用反三角函數值表示)；(11)設0點在平面 DiAP上的射影是 H,求證:DiHXAP;(m )求點P到平面ABD 1的距離.解(1)/ APB = arctan17(2)略(3) 3 22.104上海L.春季】 如圖，點P為斜三棱柱PM _LBB交 AAi于點 M , PN _L BB交 CC1于點 N .(1)求證：CC1 1MN ；(2)在任意AD E沖有余弦定理： DE2 =DF2 EF2 -2DF EF cos. D F .E拓展到空 間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側 面面積與其中兩個側面所成的二面角之間的關系式， 并予以證明.ABC -A1B1C1

7、的側棱 BBi上一點, TOC o 1-5 h z 解(1)證：TCCiBBi= CCi_LPM , CCi_LPN , ：.CCi_L平面 PMN= CCi _LMN; HYPERLINK l bookmark60 o Current Document 2一 2一2一一(2)斛：在斜二梭柱ABC-Ai Bi Ci中，有Sabb1Al=Sbccibi+Sacc1Al2sBeciBiSACC1Al cosa,其中a為平面CgB但與平面CC1A1A所組成的二面角.丫 CCi _L平面PMN，二上述的二面角為 ZMNP,在妒MN 中，PM 2 =PN2+MN 2_2PN MN cos/MNP =PM

8、 2CC2 =PN2CC2 +MN 2CC22(PN CCi) (MN CCJcosZMNP ,由于 Sbcc1b1 =PN CC1 , Sacc1Al =MN CC1 , Sabb1Al =PM BBi ,，有 SAbB1A =SBcC1B1 +SAcC1A1 -2SBCC1B1 ，SACC1A1 C0S0t .【04遼寧】 已知四棱錐P-ABCD ,底面ABCD是菱形，/DAB =60*PD _L平面ABCD , PD=AD，點E為AB中點，點F為PD中點.(1)證明平面 PED，平面 PAB;(2)求二面角PAB F的平面角的余弦值.【解】 本小題主要考查空間中的線面關系，四棱錐的有關概

9、念及余弦定理等基礎知識，考查空間想象能力和推理能力。(1)證明：連接 BD. 丁 AB =AD,NDAB =60=. &ADB為等邊三角形.丁 E是AB中點，,AB _L DE.丁 PD _L 面 ABCD , AB 仁面 ABCD , 二 AB _L PD.丁 DE 二面 PED, PDU面 PED, DE 口 PD = D,. AB，面 PED.Al；D, C丁 ABU 面 PAB,二面 PED _L 面 PAB.(2)解：: AB _L 平面 PED, PEU 面 PED, AB PE. 連接 EF, ； EFuPED,二 AB I EF.工/PEF為二面角P-AB-F的平面角.設 AD

10、=2 ,那么 PF=FD=1 , DE= J3.在 APEF 中，PE = 7, EF = 2, PF = i,cos PEF J 7)22 2. 7即二面角P-AB-F的平面角的余弦值為5.7i4側面AiACCi.【04安徽理】已知三棱柱ABC AiBiCi中，底面邊長和側棱長均為6_L底面 ABC, AiB = a2(I )求異面直線 AC與BCi所成角的余弦值;(n)求證：AiB,面 ABiC.解(I )叵;5(n)略.6.104北京L文】 如圖，在正三棱柱中，AB =2,B沿棱柱側面經過棱到頂點的最短路線與的交點記為M ,求：(I)三棱柱的側面展開圖的對角線長(II)該最短路線的長及的

11、值(III)平面與平面ABC所成二面角(銳角)的大小解本小題主要考查直線與平面的位置關系、棱柱等基本知識，考查空間想象能力、 邏輯思維能力和運算能力(I)正三棱柱的側面展開圖是長為6,寬為2的矩形其對角線長為(II)如圖，將側面使其與側面動到點D的位置，連接于M,則在同一平面上，點B運繞棱 旋轉就是由頂點B沿棱柱側面經過棱到頂點Ci的最短路線，其長為,故(III)連接DB,則DB就是平面與平面ABC的交線在 中DBC =/CBA . ABD =60： 30，=90。. CB _ DB又由三垂線定理得就是平面與平面ABC所成二面角的平面角(銳角)側面是正方形故平面 與平面ABC所成的二面角(銳角

12、)為7.104北京春招L理】如圖，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，SD垂底面ABCD由三垂線定理得 (II)解可以把四棱錐直于底面ABCD ,(I)求證；(II)求面ASD與面BSC所成二面角的大小；(III )設棱SA的中點為M ,求異面直線DM與SB 所成角的大小解本小題主要考查直線與平面的位置關系等基 本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力(I)證明：如題圖底面ABCD是正方形DC是SC在平面 ABCD上的射影底面ABCD ,且ABCD為正方形補形為長方體，如圖2面ASD與面BSC所成的二面角就是面與面所成的二面角,S SC -L BC, BC/A1S A SC-L A1S又為

13、所求二面角的平面角中，由勾股定理得中，由勾股定理得即面ASD與面BSC所成的二面角為圖2。圖%圖如(III)解：如圖3是等腰直角三角形又M是斜邊SA的中點. DM_LSA，BA AD BA , SDH AD =SD面ASD , SA是SB在面ASD上的射影由三垂線定理得異面直線DM與SB所成的角為8.104福建理】在三錐S-ABC中， ABC是邊長為4的正三角形，平面 SAC，平面 ABC , SA=SC=2 J3 , M、N 分別為 AB、SB的中點.(I )證明：ACXSB;(n)求二面角 NCMB的大小；(m)求點B到平面CMN的距離.解本小題主要考查直線與直線， 直線與平 面，二面角，

14、點到平面的距離等基礎知識，考查空間想 象能力和邏輯推理能力.解法一：(I)取AC中點D,連結SD、DB. SA=SC , AB=BC ,AC，SD 且 AC，BD ,AC，平面 SDB,又 SBC 平面 SDB, .-.AC SB.(n ) AC，平面 SDB , AC u 平面 ABC , 平面SDB，平面ABC.過N作NE，BD于E, NE，平面 ABC , 過E作EFXCM于F,連結 NF,貝U NFL CM. /NFE為二面角 N CM B的平面角.平面 SAC,平面 ABC , SDXAC,SDL平面 ABC.又 NEL平面 ABC , NE / SD.一11 :.2_2 1 . S

15、N=NB , NE= _ SD= vSA AD =篤 12 4 = J2 ,且 ED=EB.222在正 ABC中，由平幾知識可求得 EF= - MB=4,在 RtANEF 中，tan/NFE=_EN =272EF 面角 N CM B的大小是 arctan2j2. TOC o 1-5 h z 一22 3(出)在 RtNEF 中，NF= jef2+EN2 =二， 2Sacmn = CM , NF= - 33 , Sacmb = BM , CM=2 V3 . HYPERLINK l bookmark78 o Current Document 222設點B到平面CMN的距離為h, V B-CMN =V

16、 N-CMB , NE _L 平面 CMB，.二Sacmn , h= SCMB . NE, HYPERLINK l bookmark96 o Current Document 33=包=建.即點SCMN3B到平面CMN的距離為4. 2解法二：（I ）取AC中點O,連結OS、OB. SA=SC , AB=BC ,.小$0且人80.平面 SAS平面 ABC ,平面 SAC n平面 ABC=AC.SOABC,，SO，BO.如圖所示建立空間直角坐標系O xyz.則 A (2, 0, 0), B (0, 2 V3 , 0), C (2, 0, 0),S (0, 0, 2 J2), M(1 , 73, 0

17、), N(0, V3,也).AC = (4, 0, 0), SB= (0, 2 r_ AC SB= (4, 0, 0) (0, 2J3 , .-.AC SB.(n)由(i)得 CM =(3,/3 , 0), MN = ( 1, 0, 22.).設 n= (x, y, z)為平面CMN的一個法向量，CM n=3x+ %3 y=0,則取 z=1 ,則Kx= 2 , y=- v1 6 ,MN n= x+ J2 z=0, n=( m12 , 66 , 1),又OS=(0, 0, 2/2)為平面ABC的一個法向量,cos(n,OS尸 n OS =1|n| |OS| 3，二面角1N - CM B 的大小為

18、 arccos-3(出)由(I )(n)得 MB = ( 1, 73 , 0), n= ( V6 , 1)為平面 CMN的一個法向量,點B到平面CMN的距離d=| n1 MBI = 4L2 |n|39.104湖北L理】如圖，在棱長為1的正方體ABCD AiBiCiDi中，點E是BC的中點，點F是棱CD上的動點.(I)試確定點F的位置，使得 DiE,平面ABF;(H)當diE_L平面AB 1F時，求二面角 Ci EF A的大小(結果用反三角函數值表示)解本小題主要考查線面關系和正方體等基礎知識， 考查空間想象能力和推理運算能力.解法一：(I)連結 AiB,則AiB是DiE在面ABBiA;內的射影

19、ABiAiB,DiEXABi,于是 DiE,平面 ABiFU DiEXAF.連結DE,則DE是DiE在底面ABCD內的射影.DiEAFU dexaf. ABCD是正方形，E是BC的中點.當且僅當F是CD的中點時，DELAF, 即當點F是CD的中點時，DiE,平面ABiF.(II)當DiE,平面ABiF時，由(I)知點F是CD的中點.又已知點E是BC的中點，連結 EF,則EF / BD.連結AC ,設AC與EF交于點H ,則CHIEF,連結CiH,則CH是CiH在底面ABCD內的射影.CiHXEF,即/ CiHC是二面角Ci EFC的平面角.在 RtAC1CH 中, CiC=1 , CH= -A

20、C=，44,一C1C.tan/ CHC= CH1.=22,2AHC 1=二-arctan2 2 ./ CHC=arctan 2 V2 ,從而/故二面角C1EFA的大小為a -arctan22 .解法二：以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系(1)設 DF=x,則 A (0, 0, 0), B (1, 0, 0), D (0, 1, 0),/、,、,、1A1 (0,0, 1), B (1,0, 1),D1 (0,1, 1),E(1,-,Q), F (x, 1, 0)1. DiE =(12，-1),ABi =(1,0,1), AF =(x,1,0), DE Ab1 =1 -1 =0,即 D1

21、E _L AB1一 一 一1于是 D1E _L 平面 ABF u D1EUAF= D1E AF =0- x=02一一1 ,即x =萬.故當點F是CD的中點時，D1E _L平面AB1F(1)當D1E,平面AB1F時，F是CD的中點，又 E是BC的中點，連結 EF,則EF / BD.連結AC,設AC與EF交于點H ,則AH，EF.連結CH，則CH是CH在底面 ABCD內的射影.-.C1HXEF,即/ AHC1是二面角C1一EF一A的平面角. TOC o 1-5 h z 3 3*11T 33pC1(1,1,1)H(-,-,0),. HC1 =(-,-,1),HA =(-,-,0).4 44 444-

22、*,3cos.AHC1=ACM -J|HA|HC1|19：93. 8 M 81、1即 AHC 1 = arccos( )=二- arccos-. 331故一面角Ci - EF -A的大小為：-arccos-.310.104湖南L理】 如圖，在底面是菱形的四棱錐PB=PD= 42a,點 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1.(I)證明PAL平面ABCD ;(II)求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面 角9的大小；(出)在PC上是否存在一點 F,使BF平面 AEC ?證明你的結論.解(I)證明因為底面ABCD是菱形，/ABC=60 ,所以 AB=AD=AC= a, 在 PAB 中, 由 PA

23、2+AB 2=2a2=PB2知 PAXAB.同理，pax ad ,所以PAL平面 ABCD.(n )解 作 EG/PA 交 AD 于 G, 由PAL平面ABCD.知EG，平面ABCD.作GH，AC于H ,連結EH , 則EHLAC, / EHG即為二面角 日的平面角.PABCD 中，Z ABC=60 o,PA=AC= a,又 PE : ED=2 : 1 ,所以 EG =1a,AG =2a,GH = AGsin 60s = a. 333J-EG . 3.從而 t a n = = ,1 - 30 .GH 3研卷知古今；藏書教子孫。22(m)解法一 以a為坐標原點，直線 ad、ap分別為y軸、z軸，

24、過A點垂直平面 pad的直線為x軸，建立空間直角坐標系如圖.由題設條件，相關各點的坐標分別為.31- , 31A(Q0,0), B( a, - a,0),C( aa,0). HYPERLINK l bookmark86 o Current Document 2222 HYPERLINK l bookmark68 o Current Document 21D(0,a,0),P(0,0,a),E(0,-a,-a).3 3所以AP21?31 人、AE = (0, a, - a), AC =(a,a,0).3 32231= (0,0,a),PC =(a,-a,-a). HYPERLINK l book

25、mark45 o Current Document 22BP,31.= (- a,2a,a).BF HYPERLINK l bookmark5 o Current Document 31設點F是棱PC上的點，PF =7uPC =(a九,一aLa，J,其中。九1,則 HYPERLINK l bookmark3 o Current Document 2231、/ 31、=BP PF =( a,- a, a) (a 1 ,- a 1 ,-a 1)22=(3a(；-1),1 ad：；，)，a(1 一號).22令 BF=%AC + K2AE 得V3、 V3一a(九-1)= HYPERLINK l boo

26、kmark124 o Current Document 221、1 、，a(1 + 九)=a、 HYPERLINK l bookmark130 o Current Document 22，一、1 、a(1 一 九)=一 a%2.3解得12，1亦即，F是PC的中點時,2a 2, 312,2BF、AC、1 一=一時，BF2ae共面.1 一 AC23-AE.2又 BF值平面AEC,所以當F是PC的中點時，BF平面AEC.連結所以解法二 當F是棱PC的中點時，BF/平面AEC ,證明如下, 證法一 取PE的中點 M,連結FM,則FM/CE. 1一 ，一EM = -PE = ED,知E是MD的中點. 2

27、BM、BD,設BDAC=O，則。為BD的中點. BM/OE.由、知，平面 BFM平面AEC.又 BFU平面BFM ,所以BF平面 AEC.證法二一. 1 1 ,因為 BF = BC -CP = AD - (CD DP)r 1 r 3 r 1 一ad -cd -de ad (AD - AC) 2223 r r一(AE - AD) 2所以 BF、AE、AC共面.又BF0平面ABC ,從而 BF平面AEC.=-AE -AC.研卷知古今；藏書教子孫。又 DM= -lACi=_2 , DM=C22iM, CDNA CCiMZ CDM= ZCCiM=90 ，即 CDXDM ,因為AiB、DM為平面BDMC

28、D,平面BDM內兩條相交直線，所以11.104全國 H 理】 如圖，直三柱 ABC-AiBiCi 中，/ACB=90o, AC=1,CB= J2 ,側棱AAi = 1,側面AAiBiB的兩條對角線交點為 D , BiCi的中點為M .(I )求證：CD,平面 BDM ;(II )求面BiBD與面CBD所成二面角的大小.解解法一 ：(I)如圖，連結CAi、ACi、CM, 則 CAi=V2 ,CB=CAi=T2,CBAi 為等腰三角形，又知D為其底邊AiB的中點，CD AiB, A iCi=i , CiBi=亞，.= A iBi= y3 ,又 BBi=i,AiB=2 ,AiCB為直角三角形，D為A

29、iB的中點，iCD= - AiB=i , CD=CC i(II)設F、G分別為BC、BD的中點，連結 BiG、FG、BiF,則 FG/CD, FG=-CD. . FG=1, FGXBD. 22由側面矩形BBiAiA的對角線的交點為 D,知BD=BiD=AiB=i ,2所以 BBiD是邊長為i的正三角形，于BiGXBD ,321 / BiGF是所求二面角的平面角又 BiF2=BiB2+BF2=i+( )2= 3 . TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark137 o Current Document 223.2 .12BiG2 - FG2 -B1F2(V)(2). c

30、os/ BiGF= 1- = 222BiG *FG. 3 12 *- HYPERLINK l bookmark213 o Current Document 22即所求二面角的大小為兀-arccos 3解法二：如圖以C為原點建立坐標系(I):B( 2 ,0,0),Bi( .2 ,i,0),A i(0,i,i),D( -22 ,；), 2,2 i iM( 22-,i,0),CD =(,3,3), AB =(d2 ,-i,-i), i i DM =(0, 2 ,-3), CD *AiB =0,CD *DM =0,.CDAiB,CD XDM.因為AiB、DM為平面BDM內兩條相交直線,所以CD,平面B

31、DM3, 2 1 1 ,2 1 1、-,23 1、(II):設 BD 中點為 G ,連結 B1G,則 G (, ,), bd =( ， )，B1G = (,l ),44422 2444BD ,BG =。，. BD B1G,又 CDXBD ,cD與B1G的夾角e等于所求二面角的平面角,cos 二二CD .B1G所以所求二面角的大小為.3兀-arccos _12.104全國出理】 三棱錐P-ABC中，側面 求證ABXBC ;(II)如果 AB=BC= 2 J3 ,求AC與側面PAC所成角的大小.PAC 與底面 ABC 垂直，PA=PB=PC=3.解證明：取 AC中點O,連結PO、BO.PA = P

32、C POXAC又側面PAC，底面ABC.POL底面 ABC又 FA=PB = PCAO=BO=COABC為直角三角形AB BC解：取 BC的中點為 M ,連結 OM,PM ,所以有 OM= 1AB= J3 , 2ao=-距拘2 +qV3)2 =76po = J pa2 - a。2 = V3由有POL平面 ABC,OM BC,由三垂線定理得 PMXBC 平面 POM，平面 PBC,又 PO=OM= 33 . .POM是等腰直角三角形，取 PM的中點N,連結ON, NC貝UONPM,又二.平面 POML平面 PBC,且交線是 PM,，ON，平面 PBC / ONC即為AC與平面PBC所成的角.ON

33、 =工 PM J (2 ，3)2 (2 3)2 = -,OC =、6 HYPERLINK l bookmark133 o Current Document 222ON 1二sin/ONC = 一 ，/ONC= . HYPERLINK l bookmark116 o Current Document OC 26故AC與平面PBC所成的角為113.104全國IV 理】 如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD 為矩形，AB=8 ,AD=4 3 ,側面PAD為等邊三角形，并且與底面所成二面角為(I)求四棱錐 P-ABCD的體積；(II)證明 PAXBD.60解本小題主要考查棱錐的體積、二面角、異面直線

34、所成的角等知識和空間想象能力、 分析問題能力.(I)如圖1,取AD的中點E,連結PE,貝U PEXAD.作POL平面在 ABCD ,垂足為 O,連結 OE.根據三垂線定理的逆定理得OE，AD ,所以/ PEO為側面PAD與底面所成的二面角的平面角, 由已知條件可知/ PEO=60 , PE=6,所以PO=3 33 ,四棱錐P-ABCD的體積1 一 一 一 一 一一VP ABCD =8 4.3 3.3 =96.(n)解法一：如圖1,以O為原點建立空間直角坐標系.通過計算可得P (0, 0, 3也),A (2 V3 , - 3, 0), B (23 , 5, 0),D ( 23 ,3,0)所以 A

35、F BD.AE AB所以/ EAO+ / ADF=90因為直線AF為直線PA在平面ABCD內的身影，所以 PAXBD.14.如圖,P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐，D、 點，截面DEF/底面ABC,且棱臺DEF-ABC與棱錐 P-ABC的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的 長度之和)(1)證明：P-ABC為正四面體；(2)若 PD= 1 PA,求二面角 D-BC-A 的2大小；(結果用反三角函數值表示 )E、F分別為棱長PA、PB、PC上的(3)設棱臺DEF-ABC的體積為V,是否存在體積為V且各棱長均相等的直平行六面體，使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和？ 若存在，請具體構造出

36、這樣的一個直平行六面體，并給出證明；若不存在，請說明理由.【證明】(1)二.棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等, DE+EF+FD=PD+OE+PF.又截面DEF /底面ABC, . DE=EF=FD=PD=OE=PF, / DPE= / EPF= / FPD=60, .P-ABC 是正四面體.【解】(2)取BC的中點 M,連拉PM,DM.AM.BCPM,BC AM,，BC，平面 PAM,BC DM, 則/ DMA 為二面角 D-BC-A的平面角. 由(1)知,P-ABC的各棱長均為1,、3 , 一 一PM=AM= -J? D 是 PA 的中點，得sin / DMA= = , /

37、DMA=arcsin .AM 33(3)存在滿足條件的直平行六面體棱臺DEF-ABC的棱長和為定值 6體積為V.1設直平行K面體的棱長均為一，底面相鄰兩邊夾角為a2則該六面體棱長和為 6,體積為-sin a =V82、2.正四面體P-ABC的體積是 h，0V 7,08V 2a在RtAPDB中，開二臂a . 2a.3a在 RtAEFD 中，sin EFD =生DF.23 a 3二2-=， . / EFD =一v6 23a3所以，二面角 C-PB-D的大小為一3方法二：如圖所示建立空間直角坐標系,D為坐標原點，設DC=a(1)證明：連結 AC, AC交BD于G,連結EGa a.依題意得 A(a,

38、0, 0), P(0, 0, a), E(0, 3, 2)底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故點 G的坐標為(9，月，0)且 2 2又定=(01 a，/2 a故PB DE =0 由已知EF _L PB,且22EF n DE = E，所以 PB _L平面 efdPB_ DE(3)解：設點 F 的坐標為(x0, y0, z0) , PF =KPB ,則(X0, y0, Z0a) = K(a, a, a)從而 X0=7總，y0 = 總，Z0=(1K)aa a11所以 FE=(X。，-y0, 2z)=(柏,(2九)a,(九?a)由條件EF 1 PB知，FE，PB = 0,即21212一柏十(

39、一 ?)a _(九 _)a =0,1解得人=_3.點F的坐標為(a a (3，3,FE u( a a -a) 3, 6，6 ，箓且a 2a3；PB FD =工03即PB _L FD ,故/EFD是二面角C-PB-D的平面角FE FD91822a ar =96IFE尸此 ,936 366|FD 1=22,2a a 4a999FE FD cosEFD =|FE | FD |,6a66,6a3ji . EFD =3所以，二面角 C PBD的大小為16 .【04天津文】 如圖，在四棱錐PABCD中, 底面ABCD , PD=DC, E是PC的中點(1)證明PA平面EDB;(2)求EB與底面ABCD底面

40、ABCD是正方形，側PD _L所成的角的正切值E，C .A【解】 本題考查直線與平面平行、直線與平面所成的角等基礎知識，考查空間想象能力 和推理論證能力方法一：(1)證明：連結 AC、AC交BD于O連結EO底面ABCD是正方形.點。是AC的中點在APAC中，EO是中位線 PA/ EO而EO匚平面EDB且PA工平面EDB ,所以，(2)解：作EF _L DC交CD于F連結BF,設正方形 PD，底面 ABCDPD _L DCEF _LB面 ABCD , BF 為 BE 在底面 ABCD 與底面ABCD所成的角PA平面EDBABCD的邊長為aEF / PD F為DC的中點內的射影,故/ EBF為直線

41、EB在 RtABCF 中,BF = . BC2 CF21 . EF PD 2在 RtEFB 中tanEBFEFBF25a2.5所以EB與底面ABCD所成的角的正切值為方法二：如圖所示建立空間直角坐標系,標原點設(1)DC =a證明：連結 AC, AC交BD于G連結EG依題意得A(a,0,0), P(0,0,a),D為坐Aa aE(0 , , )底面ABCD是正方形2 2G是此正方形的中心，故點 G的坐標為(9 a ,0) 2 2- PA = (a,0,；) EG 嗎。-|)PA = 2EG 這表明 PA/ EG而EG匚平面EDB且PA/平面EDB PA/平面EDB(2)解：依題意得 B(a ,

42、 a, 0), C(0,a,0)a取DC的中點F(0,- ,0) 連結EF, BF FE =(0,0,2),而= (a,2,0),DC = (0 , a ,0)FE FB =0 , FE DC =0FE _L FB , FE .L DCEF _L 底面 ABCD , BF 為 BE 在底面 ABCD 內的射影，故/EBF為直線EB與底面ABCD 所成的角 a在 RtAEFB 中,FEtan EBF =里=f =FB 9a 52所以，EB與底面ABCD所成的角的正切值為和矩形ACEF所在的平面互相垂直,17.104浙江理】 如圖，已知正方形 ABCDAB= J2 , AF=1 , M是線段EF的

43、中點(I )求證AM /平面BDE ;(n)求二面角 A-DF-B的大小；【解】方法(I )記AC與BD的交點為 O,連接OE,。、M分別是AC、EF的中點，ACEF是矩形，四邊形AOEM是平行四邊形，.AM / OEOEU 平面 BDE, AM S 平面 BDE, .AM /平面 BDE(n )在平面 AFD中過A作AS，DF于S,連結BS,. AB AF , AB AD , ADAF = A,AB，平面 ADF ,.AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂線定理得BSXDF丁./ BSA是二面角 A-DF-B的平面角6在 RtAASB 中，AS =,AB = J2,tanNASB = V3,/ASB = 603，二面角 A-DF-B的大小為 60o(出)設 CP=t (0Wt 碼2，作 PQXAB 于 Q,貝U PQ/ AD ,. PQXAB , PQXAF, AB , AF = A ,.PQ,平面 ABF, QE U 平面 ABF ,PQXQF在 RtAPQF中，/ FPQ=60o, PF=2PQ2 A PAQ為等腰直角二角形，PQ = (2 -t).2又APAF為直角三角形，PF =7(2 -t)2 +1 , j(2t)2 11 =2 彳2(2t