1、專題四：拋物線上的線段長問題的轉(zhuǎn)化與探究專題導入專題導入導圖：平面直角標中相應線段長的計算AM= , BM= ,AB= ,導例：如圖，點A的坐標為（1，0），點C在y軸的正半軸上，點B在第一象限，CBx軸，且CACB若拋物線ya（x1）2+k經(jīng)過A，B，C三點，則此拋物線的解析式為 方法點睛方法點睛二次函數(shù)圖象上的線段長問題，往往涉及到以下三類：平行x軸或y軸的線段長，或一般的斜線類線段在知識運過程中，相應坐標差來表示相應線段長，或由勾股定理依據(jù)兩點間的距離公式來計算相應斜線段長的問題是基本的操作依據(jù)導圖答案：y1-y2，導例答案：y33（x1）2+4典例精講典例精講類型一：平行于y軸的線段長

2、的問題例1如圖，拋物線yx2+bx+c與x軸交于點A和B（3，0），與y軸交于點C（0，3）（1）求拋物線的解析式；（2）若點M是拋物線上在x軸下方的動點，過M作MNy軸交直線BC于點N，求線段MN的最大值【分析】（1）由點B，C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）設(shè)出點M的坐標以及直線BC的解析式，由點B，C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，結(jié)合點M的坐標即可得出點N的坐標，由此即可得出線段MN的長度關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合點M在x軸下方可找出m的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題類型二：可轉(zhuǎn)化為線段長類的面積型問題例2如圖，拋物線yx2mx（m+1）與

3、x軸負半軸交于點A（x1，0），與x軸正半軸交于點B（x2，0）（OAOB），與y軸交于點C，且滿足x12+x22x1x213 （1）求拋物線的解析式； （2）在拋物線上是否存在點Q，使得SACQ2SAOC？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由【分析】（1）由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2m，x1x2（m+1），代入x12+x22x1x213，求出m12，m25根據(jù)OAOB，得出拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，那么m2，即可確定拋物線的解析式；（2）過點Q作AC的平行線交x軸于點F，連接CF，根據(jù)三角形的面積公式可得SACQSACF由SACQ2SAOC，得出SACF2SAOC，那么AF2OA2，

4、F（1，0）利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y3x3根據(jù)ACFQ，可設(shè)直線FQ的解析式為y3x+b，將F（1，0）代入，利用待定系數(shù)法求出直線FQ的解析式為y3x+3，把它與拋物線的解析式聯(lián)立，得出方程組y=x2專題過關(guān)專題過關(guān)1如圖，已知二次函數(shù)yax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C（0，3）（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）若P是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖象上任意一點，PHx軸于點H，與線段BC交于點M，連接PC求線段PM的最大值；當PCM是以PM為一腰的等腰三角形時，求點P的坐標2如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A(-1，0

5、)，B(3，0)，與y軸交于點C (1)求b，c的值；(2)如圖，直線y=kx+1(k0)與拋物線在第一象限的部分交于點D，交y軸于點F，交線段BC于點E求DEEF的最大值；(3)如圖，拋物線的對稱軸與拋物線交于點P，與直線BC交于點M，連接PB問:在直線BC下方的拋物線上是否存在點Q，使得QMB與PMB的面積相等?若存在，求出點Q的坐標;若不存在，請說明理由3如圖1，拋物線y=ax2+bx+2 與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，AB=4矩形OADC的邊CD=1，延長DC交拋物線于點E （1）求拋物線的解析式； （2）點P是直線EO 上方拋物線上的一個動點，作PHEO，垂足為H，求PH的最

6、大值； （3）點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，若四邊形ACMN是平行四邊形，求點M、N的坐標4如圖所示，在平面直角坐標系中，M經(jīng)過原點O，且與x軸、y軸分別相交于A（6，0），B（0，8）兩點（1）請求出直線AB的函數(shù)解析式；（2）若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經(jīng)過點M，頂點C在M上，開口向下，且經(jīng)過點B，求此拋物線的函數(shù)解析式；（3）設(shè)（2）中的拋物線交x軸于D，E兩點，在拋物線上是否存在點P，使得SPDE115SABC？若存在，請求出點P5已知拋物線yx2+bx與x軸交于點A，拋物線的對稱軸經(jīng)過點C（2，2），頂點為M（1）求b的值及直線AC的解析式；（2）P是拋物線在x軸上方的

7、一個動點，過P的直線yx+m與直線AC交于點D，與直線MC交于點E，連接MD，MP當m為何值時，MPPD？DE+DP的最大值是多少（直接寫出結(jié)果）：6如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3（a0）經(jīng)過點A（1，0）和點B（3，0）（1）求拋物線的解析式，并寫出點D的坐標；（2）如圖1，直線x=2與x軸交于點N，與直線AD交于點G，點P是直線x=2上的一動點，當點P到直線AD的距離等于點P到x軸的距離時，求點P的坐標；（3）如圖2，直線y=x+m經(jīng)過點A，交y軸于點C，在x軸上方的拋物線上是否存在點M，使得SCDA=2SACM？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由答案例1（1

8、）將點B（3，0），C（0，3）代入拋物線yx2+bx+c中，得：9+3b+c=0，c=3解得b=-4，c=3拋物線的解析式為yx24（2）設(shè)點M的坐標為（m，m24m+3），設(shè)直線BC的解析式為ykx+3，把點B（3，0）代入ykx+3中，得03k+3，解得k1直線BC的解析式為yx+3MNy軸，點N的坐標為（m，m+3）拋物線的解析式為yx24x+3（x2）21，拋物線的對稱軸為x2點（1，0）在拋物線的圖象上1m3線段MNm+3（m24m+3）m2+3m（m32）2+9當m32時，線段MN取最大值，最大值為9例2（1）拋物線yx2mx（m+1）與x軸負半軸交于點A（x1，0），與x軸正半

9、軸交于點B（x2，0），x1+x2m，x1x2（m+1）x12+x22x1x213，（x1+x2）23x1x213m2+3（m+1）13，即m2+3m100解得m12，m25OAOB，拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)m2拋物線的解析式為yx22x3；（2）過點Q作AC的平行線交x軸于點F，連接CF，則SACQSACFSACQ2SAOC，SACF2SAOCAF2OA2F（1，0）A（1，0），C（0，3），直線AC的解析式為y3x3ACFQ，設(shè)直線FQ的解析式為y3x+b將F（1，0）代入，得03+b，解得b3直線FQ的解析式為y3x+3聯(lián)立y=x2點Q的坐標為（3，12）或（2，3）專題過關(guān)專題過關(guān)1

10、（1）將A，B，C代入函數(shù)解析式，得a-b+c=0，9a+3b+c=0，c=-3解得a=1，b=-2，c=-3這個二次函數(shù)的解析式y(tǒng)x（2）設(shè)BC的解析式為ykx+b，將B，C的坐標代入函數(shù)解析式，得3k+b=0，b=-3解得k=1，BC的解析式為yx3設(shè)M（n，n3），P（n，n22n3）PM（n3）（n22n3）n2+3n（n32）2+9當n32時，PM最大9當PMPC時，BC：yx3，ABC45PHAB，BMHCMP45當PMPC時，CPM為等腰直角三角形，CPx軸設(shè)P（n，n22n3），則CPnMPn2+3nnn2+3n解得n0（舍去）或n2P（2，3）當PMCM時，設(shè)P（n，n22n

11、3），則n2+n2n2+3n，2n2n0，2nn2+2n解得n32P（32，242）綜上所述：P（32，242）或（2，3）2(1)將A(-1，0)，B(3，0)代入拋物線解析式中，得0=-1(2)作DNCF，交CB于點N，如圖所示DNCF，DENFEC，DEEF=DN拋物線的解析式為y=-x2+2x+3，點C的坐標為(0，3) 直線BC的解析式為y=-x+3令直線y=kx+1中x=0，則y=1，即點F的坐標為(0，1) 設(shè)點D的坐標為(m，-m2+2m+3)，則點N的坐標為(m，-m+3) DN=-m2+3m，CF=3-1=2DEEF=DNCF=DN=-m2+3m=-(m-32)2+94的最

12、大值為94，DE(3)假設(shè)存在符合題意的點Q，理由如下：拋物線的解析式為y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，點P的坐標為(1，4)，直線PM的解析式為x=1直線BC的解析式為y=-x+3，點M的坐標為(1，2) 設(shè)PM與x軸交于點G，過點G作直線BC的平行線，如圖所示點G的坐標為(1，0)，PM=GM=2易知過點G與BC平行的直線為y=-x+1聯(lián)立直線與拋物線解析式得y解得x=3+平行線間距離處處相等，且點M為線段PG的中點，點Q到直線BC的距離與點P到直線BC的距離相等故在直線BC下方的拋物線上存在點Q，使得QMB與PMB的面積相等，點Q的坐標為3+172，-1+172或3-172，3

13、（1）矩形OADC的邊CD=1，OA=1而AB=4，OB=3A（1，0），B（3，0）拋物線的解析式為y=a（x+1）（x3），即y=ax22ax3a，3a=2，解得a=23拋物線解析式為y=23x2+43（2）拋物線的對稱軸為直線x=1，當x=0時，y=23x2+43x+ECx軸，點E與點C關(guān)于直線x=1對稱E（2，2）OC=CE，OCE為等腰直角三角形COE=45作PQy軸交直線OE于Q，如圖1，PGH=45PHOE，PQH為等腰直角三角形PH=22PQ易得直線OE的解析式為y=x設(shè)P（x，23x2+43x+PQ23x2+43x+2x=23x213PH=22（23x2+13x+2）=23x

14、2+26x+2=23（x當x=14時，PH的值最大，最大值為49（3）四邊形ACMN是平行四邊形，點A向右平移2個單位可得到N點，點C向右平移2個單位可得到M點，則M點的橫坐標為2，當x=2時，y=23x2+43x+CMx軸，點N為對稱軸與x軸的交點N（1，0）4（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為ykx+b（k0），直線AB經(jīng)過A（6，0），B（0，8），由此可得-6k+b=0，b=-8.解得k=-43b=-8.，直線AB的函數(shù)解析式為y（2）在RtAOB中，由勾股定理，得AB=AO2+OBM經(jīng)過O，A，B三點，且AOB90，AB為M的直徑半徑MA5設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點NMNx，由垂徑定理，

15、得ANON12OA在RtAMN中，MN=MA2-ANCNMCMN541MA2-AN2設(shè)拋物線的解析式為ya（x+3）2+1，代入x0，y8，得8a（0+3）2+1，解得a1拋物線的解析式為y（x+3）2+1x26x8（3）如圖，連接AC，BCSABCSAMC+SBMC12MCAN+12MCON12在拋物線yx26x8中，設(shè)y0，則x26x80，解得x12，x24D，E的坐標分別是（4，0），（2，0），DE2設(shè)在拋物線上存在點P（x，y），使得SPDE115SABC1則SPDE12DE|y|122|y|1，當y1時，x26x81，解得x1x23，P1（3，1）；當y1時，x26x81，解得x1

16、3+2，x232，P2（3+2，1），P3（32，1）綜上所述，這樣的P點存在，且有三個，P1（3，1），P2（3+2，1），P3（32，1）5（1）由題意得：拋物線yx2+bx的對稱軸為直線x2，b22b4拋物線解析式為yx2+4xA（4，0）C（2，2），直線AC解析式為yx4（2）由題意得，MPPDPDAD，MPPD，MPAD直線MP解析式為yx+2聯(lián)立方程組，y=x+2，y=-x解得P（1，3）31+m，m4；如圖所示，過點C作x軸的平行線，交直線PD于點H，作PGCH于點G，HCDECD45，CDCD，CDHCDE90，CDHCDE（ASA）DEDH則DE+DPDH+DPPH又RtP

17、GH中，PH2PG，當PG取得最大值時，DE+DP取得最大值M（2，4），C（2，2），當點P與點M重合時，PG取得最大值，最大值為4（2）6，則DE+DP的最大值為626（1）當x=0時，y=ax2+bx+3=3，則拋物線與y軸的交點坐標為（0，3），設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x3）把（0，3）代入得3a=3，解得a=1所以拋物線解析式為y=（x+1）（x3），即y=x2+2x+3=（x1）2+4，則D（1，4）；（2）如圖1，過P作PHAD于點H，設(shè)直線AD的解析式為y=kx+p，把A（1，0），D（1，4）代入得-k+b=0，k+b=4.，解得k=2,b=2.直線AD的解析式為y=2x+當x=2時，y=2x+2=6，則G（2，6）設(shè)P（2，t），則PN=PH=|t|，GP=6t在RtANG中，AN=3，GN=6，AG=32+62=35PGH=AGN，RtGPHGPAG=PHAN：，即6t35=|t|3，解得tP點坐標為（2，35-32（3）存在，理由如下：把A