1、 目錄 TOC o 1-5 h z 摘要 1 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 引言 2一、對化歸思想的理解 2（一）化歸的定義 2（二）化歸的實質 2（三）化歸的原則 3（四）化歸的步驟 3（五）化歸圖釋 3（六）化歸的分類 3 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 二、常用化歸方法及其應用 4（一）命題化歸 4（二）映射化歸 10（三）變量替換 17三、化歸方法的實際應用 21 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 結束語 24參考文獻 25數學化歸方法

2、及其應用摘要：數學思想和方法是數學活的靈魂，化歸思想是其中重要的一種。在解決數學問題的 過程中，我們往往把待解決的問題進行轉化，將復雜的問題轉化為簡單的問題，將困難的問題 轉化為容易的問題，將未解決的問題轉化為已解決的問題等等。這種數學問題之間的相互轉化 就稱為數學化歸。數學化歸在數學的理論研究及數學問題的解決過程中都占有重要的地位，是 解決數學問題的一個強有力的武器。本文將介紹化歸的定義、原理、主要方法及其實際應用， 通過具體的例子和實例，使讀者了解并逐步掌握化歸的方法和技巧，使其應用于日常的學習和 生活。關鍵詞：化歸 典型化 特殊化 輔助命題 映射 變量替換Mathematics of R

3、eturn Method and its Application(Department of Mathsmatics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract: Mathematic ideas and methods is the soul of mathematics, and the return method is an important one. In the process of solving the mathematical problems, we tend to solve the problem of

4、 conversion of the complex issue into a simple issue, the difficult issue into an easy issue, the unsolved issue into a resolved issue, and so on. This conversion between the mathematical problems is called the mathematics of return method. Mathematics of return method plays an important role in the

5、 theoretical study of mathematics and the process of the settlement of mathematical problems. It is a powerful weapon of the mathematical problems. This article describes the definition, principles, main methods and practical application of the return method. By the adoption of concrete examples and

6、 cases, the readers can understand and master the progressive return methods and techniques to apply to everyday learning and life.Key words: return methods typification specialization the supplementary questions mapping variable substitution引言辯證法告訴我們：任何事物都不是孤立、靜止和一成不變的，而是 在不斷地發展變化著。因此，作為一個數學系統或數學結構

7、，其組成要 素之間的相互依存和相互聯系的形式是可變的，正是這種可變的性質， 產生了數學化歸。數學化歸在數學的理論研究及數學問題的解決過程中都占有重要 的地位。例如，兩個數學系統之間的同構關系（視為一種化歸） ，使得 不同的數學對象化歸在同一個數學系統中進行研究， 從而導致新的數學 理論的產生，因此推動了數學的發展。另一方面，化歸又為解決數學問 題提供了一個有力的武器?！皢栴}是數學的心臟” ，而幾乎所有的數學問題的解決都離不開化 歸，只是所體現的化歸形式不同而已。計算題是利用規定的法則進行化 歸；證明題是利用定理、公理或已解決了的命題進行化歸；應用題是利 用數學模型進行化歸。 可以說，離開化歸，

8、 數學問題的解決將寸步難行。因此，我們必須了解并掌握數學化歸的方法和技巧，使其熟練地應 用于學習和生活當中。一、 對化歸思想的理解（一）化歸的定義 化歸指的是轉化與歸結。即把數學中待解決或未解決的問題，通過 觀察、 分析、聯想、類比的思維過程， 選擇恰當的方法進行變換、 轉化， 歸結到某個或某些已經解決或比較容易解決的問題。二）化歸的實質在解決數學問題的過程中，往往把待解決的問題轉化，將復雜的問 題轉化為簡單的問題，將困難的問題轉化為容易的問題，將未解決的問 題轉化為已解決的問題等等。（三）化歸的原則將不熟悉的問題轉化為熟知的或已解決的問題； 將抽象的問題轉化 為具體的直觀的問題；將復雜的問題

9、轉化為簡單的問題；將實際的問題 轉化為數學問題，使問題便于求解。（四）化歸的步驟其一，化歸對象，即對什么進行化歸；其二，化歸目標，即化成什么；其三，化歸手段方法，即如何化歸。（五）化歸圖釋欲討論問題A，可轉化為討論問題B，然后利用問題B的解答去完 成問題A的解答?；瘹w的一般模式為：（六）化歸的分類化歸可分為等價化歸和半等價化歸，其中半等價化歸可分為強等 價化歸和弱等價化歸。等價化歸就是指同一等價類中的元素相互轉化， 化歸前后的問題在 所定義的等價關系下保持某一方面的“同質”，這種同質就使化歸后問 題的解答保證了化歸前問題的解答。 在同一等價類中的元素可以相互轉 化，其轉化前后的問題保持在等價關

10、系下的同質，轉化后命題屬于該等 價類。在同一類等價集中的問題也可以相互轉化， 但其轉化前后的問題不 保持在半等價關系中的同質，近似的轉化命題屬于化歸后問題所在的半 等價集。盡管半等價化歸不一定能徹底解決原問題，但由于它的條件弱 于等價化歸，因此應用范圍寬于等價化歸。二、 常用化歸方法及其應用（一）命題化歸命題的典型化化歸就是指把所解命題化歸為個別典型命題。設所給命題為A，A的典型命題B是指：A可推導出B并且B也可推 導出A，且利用B能容易處理A。命題的典型化化歸在數學解題中隨處可見。我們常常在解題時用“不妨設,”，“不失一般性”，“任取一個滿足題設的圖形,”等等 語言，其實質就是將命題作典型化

11、化歸。因為命題的典型化化歸是等價 化歸，所以典型命題解決后，原命題也已解決。例1 .三次方程ax3 bx2 ex d = 0 a = 0的求根問題，可等價化歸為討論方程x3 bx2 ex d =0。令x = y -（此代換為等價變換），代入3x3 bx2 ex d =0 , 化簡后便是 y3 py q = 0 , 其中 p = 7 -2 b , q = 2 a3 - 1 ab e ,此方程于原方程等價，因此x3 px 03273即為原方程的典型命題。一旦后者解決了，原方程的解也就求得了。而 x3 px0的求根是容易的。例2 .在三角形ABC中，AB)AC, AD為中線，fyAE 為高。求證：

12、AB2 AC2 =2BC DE 。證明：如圖，建立直角坐標系，設 A,B,D的坐標分別為a,h, -b,0, 0,0,則 C,E 的坐標為(b,0)(a,0 )。Bo(D) E C x二 AB2 =(a+b2 +h2,AC2 =(abf + h2,BC=2b, DE = a.二 AB2 - AC2 二 a b 2 - a - b 2 =4ab.而 BC DE = 2ab,/. AB2 - AC2 =2BC DE。分析：本題如果以BC,AE所在的直線分別為x軸和y軸建立直角坐 標系，那么，設點的坐標就比較麻煩。之所以要選取一種典型情況建立 坐標系，是因為同一個圖形在不同坐標系李實質是在一個坐標系

13、中該圖 的位置不同，經過合同變換（合同變換時等價變換）后，可化歸為解該 題所建立的坐標系中的圖形所在位置。這種特殊位置即為典型化，從而 使原問題得以解決。命題的特殊化化歸命題的典型化化歸與特殊化化歸的區別在于：典型化化歸中， 化歸前后的命題屬于同一等價類，而特殊化化歸中的化歸前后命題屬于同一個半等價集。例3 .從圓的直徑AB的一端A引兩弦AP,AQ,過B點引該圓的切線與AP,AQ,的延長線交于f/ M , N 點.求證：NMPN =NMQN.證明 1：如圖（右），連結 PQ,PB , ABN是。O 的切線，二 ABM =90，二 PMB 二 PBA 二 PQA ,二 P,M,N,Q 四點共圓，

14、二.MPN =/MQN。證明2：如圖（右），連結BP,BQAB 是OO 的直徑，二.APB =90 ,MN 切O O于 B，二.ABM =90 ,Rt：ABM 斜邊上的高是 BP,AB2 =AP AM， 同理 AQ AN .P,M ,N,Q 四點共圓，二.MPNA=AB=，二 AP AM = AQ AN ,-ZMQN 。分析：證明1是錯誤的。因為由題設P,Q可位于AB的同側或異側,證明1考慮的是異側情況，而證明過程不完全適用于P,Q位于AB同側的 情形，因此所證明的命題不是原命題的等價命題。證明2是正確的。因為在證明的全過程中，其理由完全適合上圖的兩種情形，所以所證得命 題與原命題等價。例4.

15、如果aid an是小于1的正數，而bH, b是這些數的某一種排列。那么，所有的數1-印bi, 1-a? b2,1-a. b不可能都大于丄。4分析：取n =1的情況，此時必有a = b1。二1 -a1 a - - - a-i -12丿 4 4當n = 2時可排序使1 p aj 1 - a2 a2 丄1 = 1 ，二不可能有兩個因子都4 4大于1。41 -厲 a 1 -a? a?1 _an bn f1 - a1 a11 - a2 a2對一般的，將b1,b2bn作調整，可使.不可能n個因子都大于丄。4構造輔助命題化歸在很多情形中，往往需要構造一下輔助命題去幫助解決原命題,F面是一些構造輔助命題的常用

16、方法。（1）構造等價輔助命題 例5.已知x1。求證：2 x3-。x證明：構造函數f X =2.x 一3 1。則f x 0與原不等式等價。x當 x1 時，f 上=1 一丄=X、0。 f X。而f 1 =2.1 3 1 = 0，所以f x 0。故原不等式成立。（2）構造一般化輔助命題 1984 1984例 6.試證：（1+0985）-（1-J1985）能被 J1985 整除。證明：構造函數 f x = 1 x 1984 - 1 -x 1984。T f -X - -f X , f X為奇函數。而丄冬只含X的偶次項，X1. 1985 1984 - 11985 1984故命題成立必為整數。（3）構造輔助

17、方程例7.已知|g2_4lg2lg=0。求證：a,b,c三數等比數列 3丿 ib丿lc丿 TOC o 1-5 h z 證明：構造方程iga X2ig X+|gb。，l b丿 i a丿c因其系數和Ig 1 + ig 1 + ig 1=0 ,故1有根x = 1。lb丿 ia丿ic丿又由已知條件，知1兩根相等,I bigba7 即 igig旦,.acbigba,b,c成等比數列構造輔助數列n例 8.求和 Sn=Mk k 1 k i k m m N。x-1x 解：設 ak = k k 1 k ik m 。構造輔助數列bk =k k 1 k 2 ik mk m1 ,= k1i.k mk m1 km 2

18、km2 bk.k=k m 2 bk ,kbk 1 - kbk = m 2 bk。bk ,k則bk 1所以kbk 1兩邊求和即 bn 1 - binn二 i.bk 1 - bk = m 2 二 k 4k 4=m 2 Sn - a1 an 1 ,故 Sn =m +2而 bn 1 二 n m 2 an 小二 m 2 印,.1n +m +1Snnan 1an om+2m+2(5)構造行列式a1 - an 1 o例9.已知a,b,c不全為零,且 a = bcosC ccosB,b = ccosA acosC,c = a cos B b cos A。求證:2 2 2cos A cos B cos C 2c

19、os AcosB cosC =1 。證明：要證cos2 A cos2 B cos2 C 2cosacosbcosC = 1 ,只需證cosC-1cosC-1cos B cos AcosBcosA = 0-1只需證由已知條件,-a bcosC ccosB 二 0 acosC -b ccosA =0 有非零解。a cos B b cos A - c = 0知上面齊次線性方程組有非零解a,b,c o故命題得證。規律:具有f x =axnn -1a1x anJxan形式的多項式可表示成一個行列式:Dn 1an 4an0-100-1 利用這個代換，可以解決一些多項式問題，比如多項式的因式分解解方等等。定

20、理：方程fl(x)f2(x)的所有解都是方程fi(x)f2(x)gi(x)g2(x)gi(x)g2(x)=0的解由定理可知 凹二衛二fl(X)以“二。的化歸是半等價化歸，gi(x) g2(x)g(x) g2(x)行列式方程的根必須代人原方程驗根。(6)微分中值定理應用中輔助函數的構造在應用中值定理證題時，有時需要構造一個滿足羅爾定理條件 的輔助函數。在證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理時，分別利用了一下兩個輔助函數：F x 二 f x f a 上 H xa ,g(b)-g(a )F f x - f a 一斗 dg x g a 】,，g(b)-g(a)然后利用羅爾定理去證明。由于微分和積分是互逆

21、的運算，因此可以從兩個中值定理的結 論入手，通過積分去尋找輔助函數。事實上，由拉格朗日中值定理的結 論：f b 二 a , a,b ,b a兩邊取不定積分fd丄f b f a d ,b -a得 f =4! c.b a將換成x，得f x二丄衛 8x c,b a兩邊作差就是證明拉格朗日中值定理所需的輔助函數。同樣，對柯西中值定理兩邊積分，得f 二 f b f a g d，即、g（b）g（a），f J b r A g .c，從而得。g（b）-g（a）這樣，就得到了解決這類問題時構造輔助函數的一般方法，即從待證明 的問題結論出發，通過積分區尋求輔助函數。例10.設f x在0,1上可導，且f 0 =0,

22、 f 1=；。試證：必存在二10,1，使 二 2（1 + 2）2。1 _匕2分析：由f = 2，將換為X后取不定積分，得（1+呼）1 2f x dx 二 一 dx ，解得 f x 紜 +C。 （1+x2）1+x所以得輔助函數F x二f x -亠。1+x證明：構造輔助函數F x二f x, 易驗證F x滿足羅爾定理條件,因此存在-0,1，使F=0，1 _ E2 即得f。（二）映射化歸 1.恒等變換在集合A中定義一個變換 ：aA ,即J把每個A中的元素與自身對應起來，稱為集合A上的恒等變換。因此，集合 A中 的恒等變換，是A到A的等價化歸。下面是常用的恒等變換方法。（1）配方法配方法是數學中一種重要

23、的恒等變形方法， 在因式分解、根式化簡、 解方程、證明等式及不等式、求函數的極值、化簡二元二次方程等方面 者E有廣泛的應用。由于配方是在定義域不變的情況下進行的，因此是等 價化歸。例 11 .已知 x y z = 3, xy 5z = 1。求 x2 y2 z2 的最小值。解：由 x y z = 3,x 一 y 5z =1，得 x = 2 一3z,y = 1 2z 222 2 2 2xyz= 2 - 3z 亠1 2z 亠 zf 2 J4z 時5=1平-刁o6 一 73-時,八1；,1； , x2 y2 z2取得最小值3；“ 1”的巧用1”在數系中占有重要地位，作為數域里面的元素，它是單位元因此產

24、生了許多關于“ 1”的恒等式，如：仁a“aa = O ,a1 =sin2 a - cos2 a,1 二 tan , tan a cot a = 1, log a a = 1 a 0,a = 1 , 等等。因此在解題 4時，有時利用這些恒等式，往往事半功倍。dx例 12 .解 kT。A八=4一1 ，1bAB BDsinS Bcd _ 22S1s bcd ad BDsin：2AB又T AB BC /. 0 AB1。BC.仁俎 CD CD。故 adcd。BC AD AD-1 _ S ABDS ABD1BD CD sin 180 -:BBC BD sin2ABBCCDAD公式巧用公式的逆用、變形時恒等

25、變換的一個重要技巧。例如：等比數列的求和公式，逆用便成了因式分解公式;二項式定理逆用便是一類特殊數列的求和公式;隸莫佛公式Cos： isi門 訂 二cosisinn經變形Z“ 二 cosn v i sin n-= cosn v - i sin nr ,可得Z z ，sinn =2 z z2in 1Zz丿從而使復數運算成為解決三角式化簡、求值的有力工具。1X8 1-X81 -X2例 14.因式分解 x14 x12 一 x2 1 x2 = 1。解:x14 - X12X2 1 二 11 -xx81 xx2 -m x2。1X總結：本題的解答，巧用了等比數列的求和公式:恒等分割nA = A型，其框圖為:

26、i 4例15.求一dx(x-Ux1)解:2x 2j , 22 dx (x 1 x2 +1 2=ln x -1 - ln(x2 +1 )arctan2dxx -1x2 1, 2xdxdx2(x2 +1)x J C。 x212點數映射化歸我們把平面上的點集到實數集a,b ?的化歸，稱為點數映射化。歸。因此，可以建立平面上的點集到實數偶集的映射。實數偶集a,b 到平面直角坐標系中的點集的化歸是等價化歸；平面直角坐標系中的點集到實數偶集a,b泊勺化歸也是等價化歸。因此，我們可以使幾何問題與代 數問題互相化歸。這種化歸，往往可以使欲解決的問題簡單化。(1)幾何問題代數化例16.已知M,N分別是正方形AB

27、CD的鄰邊AD和CD的中點，連結CM , BN相交于點P。求證：PA = AB證明：如圖，建立直角坐標系，設正方形的邊長為1，則正方形四個頂點的坐標分別為A0,0,B1,0,C 1,1 ,D 0,1 ,點M ,N的坐標分別為所以，直線CM的方程為y=1x 1，直線BN的方程為y=2x1 ,將兩方程聯立求得噹勺PA916=1X 2525AB = PA。映射由此，可歸納出幾何問題代數化的圖釋:點C ,使.ACB取得最大值，并求出該最大值。解：如圖，過AB的中點R作直線RD / x軸，以A為圓心，OR 為半徑作弧交直線RD于D，再以D為圓心，DA為半徑作圓/ RD / x車由， 二D至U x車由的距

28、離為OR二DA 二圓D過點代B且與x軸相切。設切點為C ,則點C即為所求。因為若設點C /為x軸正半軸上異于點C的任一點，則C /必在圓D夕卜, 由平面幾何知識易知，.AC B . ACB?，F設OA =a,OB| =坑043 ），則由上述作法可知:AD=OR =a minARa -b2amaxoo 二 2。a max這種方法的模式為：幾何表示實復數映射化歸實際上，三者可以相互化歸。例18.求譏3 -x y +i + Jx2 +4的最小值。解：設乙=3 - x i, z x 2i。z+|z2 乙 +z2 =|（3 x ）+i+x+2i = 3 + 3 =3（2。而在 乙+ z2|X乙+z2中，當

29、且僅當 乙=kz2（k乏R）時取等號，即 3 - x i = k x 2i 。解得：k = 1, x = 2。2.當x = 2時，.3 - x2 14的最小值為3 2向量化歸復數集到以原點為起點的向量集的化歸是等價化歸，反之亦然。 復數集到向量集的化歸是等價化歸，反之亦然。因此，平面點集、實數 偶集、復數集、向量集之間可以互作等價化歸。例19.如圖，設AC是平行四邊形ABCD的較長的對角線，CE _ AB于E , CF _ AD 于 F。求證：AB AE AD AF = AC 2。證明：取AB, AC,AD,CE,CF為基本向量,貝卩 AE 二 AC CE,AF 二 AC CF.AC AB A

30、D 二 AC 彳,即 AB AC AD AC 二 ACFCDBr - 2 二 AB AC AB CE AD AC AD CF = AC。得 AB AC CE AD AC CF AC?, 即 AB AE AD AF 二 AC?。由此得： AB AE AD AF =AC2。反函數化歸設函數f ：A，B是雙射，若f的逆映射L存在，則 L也是 雙射，則稱f4為f的反函數。所以，函數f的反函數L存在當且僅當f 是雙射。若函數f存在反函數f ，則從f的定義域A到值域B的化歸是 等價化歸，從值域B到定義域A的化歸也是等價化歸。例20.設a,b,c是不等于1的正數。證明：.b. c.alglglgcaba b

31、 ci。分析：因為對數函數與指數函數互為反函數，而一個函數如果存在反函數，則是唯一的，即是惟一的，即函數與其反函數是一一對應的, 因此可以在兩者之間互相化歸，且這種化歸是等價化歸。b2.丿bcalglglg.令 x=a c,y = b a,z = c ,貝 U lg x = lglg y = lg c - lg a llg b , lg z - Ug a - lg b llg c。三式相加,得 lg x lg y lg z = 0 , 即 lg xyz = 0 ,二 xyz = 1 ,alg. c b =1。clglg即 a c b a此外，在處理反三角函數問題時，往往采用反函數化歸，化問題為

32、三角函數討論。但解反三角函數問題必須注意反函數的主值區 間，否則函數不可逆，此時的化歸是半等價而不是等價的。（三）變量替換所謂變量替換，是指把一個數學式子中的某一些量以另一些與 此相關的量去替代，從而使該數學式子變得較為簡單或易于解決的化歸 過程，其實質是數集到數集的映射化歸。變量替換是數學解題的一種重要化歸方法。在討論幾種常用的變量替換之前，首先了解一下變量替換的分類。一種分類，根據替換的變元的個數，變量替換可分為一元和多 元變量替換。 另一種，若是“以元代式”的替換則叫做第一類變量替 換，若是“以式代元”的替換則叫做第二類變量替換。由此，可以得出變量替換的化歸原理：,.g(x)=ty二 f

33、lgxJ*#y二 ft這是一個互逆化歸過程。通過變換t = g x ,可以把y = f x】化 歸為y二f t，這是第一類變量替換；反之，通過t二g x，把y二f t化為 y = f g x 1,這是第二類變量替換。下面討論幾種常用的變量替換。整式變換在 八f g x g x =t 卜y = f t中，若g x為整式，則稱該變換 為整式變換。例：在有理數范圍內因式分解 x2 5x 6 x2 7x 6 -3x2。設y = x2 6x 6，則原式=yx y x j3x2 二 y24x2 二 y2x y 2x = x2 4x 6 x2 8x 6。由上題可以看出，變量替換關鍵在于通過觀察式子的規律設出

34、g x，使計算和證明過程加以簡化。分式變換在解方程、證明不等式、求函數值域、解不等式、證明恒等式等化 歸中往往采用分式作變換替換，這種分式的變量替換包括第一類變量替 換和第二類變量替換。以解方程為例，在實數范圍內求方程 3x4 -7x3 8x2 -7x 0的解。采用倒數方法，方程兩邊同除以x2，得f1、 f 1 13 x2 = 7 x+_ | + 8 =0。 令 y=x+_ ， 得 3y2_7y + 2=0 。 當Ix丿 i x丿xy -：,-21，3y2 -7y 2=0 與原方程同解，解得 y 2，y-（舍3去）。所以x - = 2，即x=1。故原方程的根為x = 1。x無理變換無理變換在解

35、無理方程時經常使用。下面是適用于無理變換的無理 方程的形式及變換方法。（1）F=AnfxLB2nfx C=0，設 y = gx = 2n f x 。 F = An f (x )十 Bn+ c = 0，設 y = g(x )= ；： f (x )。 f(x)F=nfxA2nnfxB2mC=0，設 y = nfx例 21 .解方程 65 x 2 - 43. 65 - x 2 = 53 652 - x2 。解：根據分式變換，方程兩邊同除以3 65 x 2 ,得旦1(65 -x 丿5岳設心65 x ,65-x解得 y7 八4，即 x=o,x=63。經驗根，x =0,x =63均為原方程的根。形如fx,nb ex + d，通常作代換g；：.；(a,c不同時為0)三角變換下列形式，通常采用三角變換求解。(1) f x, a2 -x2 a 0，其中f是x和、a2 - x2的代數函數。令 x = asin t = g(t j a ：0,一 蘭t 蘭 一 |或令 x