1、半群、獨異點與群環與域格與布爾代數9.3 幾個典型的代數系統1半群與獨異點定義 設V=是代數系統，為二元運算. (1) 如果是可結合的，則稱V=為半群.(2) 如果半群V=中的二元運算含有幺元，則稱 V 為含幺半群，也可叫作獨異點. 為了強調幺元e的存在，有時將獨異點記為.(3) 如果半群V= (獨異點V=) 中的二元運 算是可交換的，則稱V為可交換半群 (可交換獨 異點). 2半群與獨異點的實例實例(1) ,都是可交換半群，除了外都是可交換獨異點，+是普通加法. (2) 設 n 是大于1的正整數，是半群與獨異點，其 中 表示矩陣乘法.(3) 是半群和獨異點，其中是有窮字母表，表示連 接運算，

2、幺元是空串.(4) 為半群與獨異點，其中為集合的對稱差運算.(5) 為半群與獨異點，其中 Zn=0,1, , n1，為 模 n 加法. 3元素的冪運算設V=為半群，對任意 xS，規定：x1 = xxn+1 = xn xnZ+在獨異點V=中，對任意 xS ，規定: x0=e, xn+1=xnx nN冪運算規則：xn xm = xn+m(xn)m= xnm m, nZ+證明方法：數學歸納法4群的定義與實例定義 設是代數系統， 為二元運算. 如果 運算是可結合的，存在單位元 eG，并且對 G 中的任何元素 x 都有 x1G，則稱 G 為 群.群的實例(1) ,是群；,不是群. (2) 是群，而不是群

3、. (3) 是群，為對稱差運算. (4) ，是群. Zn= 0,1, , n1，為模 n 加. 5Klein四元群設G = e, a, b, c ，G上的運算由下表給出，稱為 Klein四元群 運算表特征： 對稱性-運算可交換 主對角線元素都是幺元 -每個元素是自己的逆元 a, b, c 中任兩個元素運算 都等于第三個元素. 6群的術語若群G中的二元運算是可交換的，則稱G為交換群或 阿貝爾(Abel)群若群 G 是有窮集，則稱 G 是有限群，否則稱為無限群群 G 的基數稱為群G的 階，有限群 G 的階記作|G| 和 是無限群，是有限群，也 是 n 階群，Klein四元群 G = e, a, b

4、, c是 4 階群 上述群都是交換群， n 階 (n2) 實可逆矩陣集合 關于矩陣乘法構成的群是非交換群. 7群的術語（續） 實例 在中有 23=(21)3=13=111=0 在 中有 (2)3=23=2+2+2=6 定義 設G是群，xG，nZ，則 x 的 n 次冪 xn 定義為 8設G是群，xG，使得等式 xk = e 成立的最小正整數 k 稱為 x 的階（或周期），記作 |x| = k，稱 x為 k 階元. 若不存在這樣的正整數 k，則稱 x 為無限階元.群的術語（續）在中，2 和 4 是 3 階元，3 是 2 階元，1 和 5 是 6 階元，0 是 1 階元 在中，0 是 1 階元，其它

5、整數的階都不存在. 9群的性質-冪運算規則定理1 設 G 為群, 則 G 中的冪運算滿足： (1) xG，(x1)1 = x. (2) x, yG，(xy)1 = y1x1. (3) xG，xnxm = xn+m，n, mZ. (4) xG，(xn)m = xnm，n, mZ. 注意 (xy)n = (xy)(xy)(xy), 是 n 個xy 運算，G為 交換群，才有 (xy)n = xnyn. 10群的性質-群方程存在唯一解定理2 G為群，a,bG，方程 ax=b 和 ya=b 在G中有解且僅有惟一解. a1b 是 ax=b的解. ba1 是 ya = b 的唯一解.例 設 G=，其中為對稱

6、差. 群方程a X = ， Y a,b = b的解 X = a1 = a = a， Y = ba,b1 = ba,b = a 11群的性質-消去律定理3 G 為群，則G適合消去律，即a,b,cG 有 (1) 若 ab = ac，則 b = c. (2) 若 ba = ca，則 b = c. 例 設 G = a1, a2, , an 是 n 階群，令 aiG = ai aj | j =1,2, , n 證明 aiG = G.證 由群中運算的封閉性有 aiGG. 假設aiGG，即|aiG|n. 必有aj, akG使得 ai aj = ai ak （jk） 由消去律得 aj = ak, 與 |G|

7、= n 矛盾. 12群的性質-運算表排列規則定理4 設 G 為有限群，則 G 的運算表中每行每列都是 G 中元素的一個置換，且不同的行（或列）的置換都不相同.注意：是必要條件，用于判斷一個運算表不是群. 13子群定義 設 G 是群，H 是 G 的非空子集，如果 H 關于 G 中的運算構成群，則稱 H 是 G 的子群, 記作 HG. 若 H 是 G 的子群，且 HG，則稱 H 是 G 的真子群，記作 HG.實例 nZ（n是自然數）是整數加群 的子群. 當 n1 時, nZ 是 Z 的真子群.對任何群 G 都存在子群. G 和 e 都是 G 的子群，稱為 G 的平凡子群.14子群判定判定定理 設

8、G 為群，H 是 G 的非空子集. H 是 G 的子群當且僅當 x, yH 有 xy1H.設 G 為群，aG，令 H = ak | kZ ，則 H 是 G 的子群，稱為由 a 生成的子群，記作. 證 首先由 a 知道. 任取 am, al ，am (al)1 = am al = aml 根據判定定理可知G. 15實例 整數加群， 由 2 生成的子群是 = 2k | kZ = 2Z 模 6 加群 中 由 2 生成的子群 = 0, 2, 4 Klein四元群 G = e, a, b, c 的所有生成子群是： = e , = e, a , = e, b , = e, c . 16設 G 為群, 令

9、C = a | aGxG(ax=xa)，則 C 是 G 的子群，稱為 G 的中心. 證 eC. C是 G 的非空子集. 任取 a, bC，證明 ab1與 G 中所有的元素都可交換. xG，有 (ab1)x = ab1x = ab1(x1)1 = a(x1b)1 = a(bx1)1 = a(xb1) = (ax)b1 = (xa)b1 = x(ab1) 由判定定理可知 CG.實例 17循環群定義 設 G 是群，若存在 aG 使得 G = ak | kZ 稱 G 是循環群，記作 G=，稱 a 為 G 的生成元.實例 ：整數加群 G = = = 模 6 加群 G = = = 設 G = ，若a 是

10、n 階元，則G為 n 階循環群，即 G = a0=e, a1, a2, , an1 若 a 是無限階元，則 G 為無限循環群，即 G = a0=e, a1, a2, 18循環群的生成元定理設 G = 是循環群. (1) 若G是無限循環群，則 G 只有 a 和 a1 兩個生成元. (2) 若 G 是 n 階循環群，則 ar 是 G 的生成元當且僅當 r 是小于等于 n 且與 n 互質的正整數.19(1) 設G=e, a, , a11是12階循環群，則小于或等于12且與12互素的數是 1, 5, 7, 11, 由定理可知 a，a5，a7和 a11是 G 的生成元.(2) 設G=是模9的整數加群，則

11、小于或等于 9且與 9 互素的數是 1, 2, 4, 5, 7, 8. 根據定理，G的生成元是 1, 2, 4, 5, 7 和 8. (3) 設 G=3Z=3z | zZ, G上的運算是普通加法. 那么G只有兩個生成元：3 和 3. 生成元的實例20循環群的子群定理設G=是循環群.(1) 設G=是循環群，則 G 的子群仍是循環群.(2) 若G=是無限循環群，則 G 的子群除e以外都是無限循環群.(3) 若G=是 n 階循環群，則對 n 的每個正因子d，G 恰好含有一個d 階子群.21(1) G=是1無限循環群，對于自然數mN，1 的 m 次冪是 m，m 生成的子群是 mZ，mN. 即 = 0

12、= 0Z = mz | zZ = mZ， m0 (2) G=Z12是12階循環群. 12的正因子是1, 2, 3, 4, 6 和12，因此G 的子群是： 1 階子群 =0，2 階子群 = 0,6 3 階子群 =0,4,8，4 階子群 = 0,3,6,9 6 階子群=0,2,4,6,8,10，12 階子群 = Z12 子群的實例22n元置換的定義定義 設 S = 1, 2, , n , S上的雙射函數 :SS 稱為 S上的 n元置換. 一般將 n 元置換記為 例如 S = 1, 2, 3, 4, 5 , 則 都是 5元置換.23k 階輪換與對換定義 設是 S = 1, 2, , n上的 n 元置

13、換. 若 (i1)=i2 , (i2)=i3, , (ik1)=ik, (ik)=i1且保持 S 中的其他元素不變，則稱為 S上的 k 次輪換，記作 (i1i2ik). 若 k=2，稱為S上的對換.例如 5元置換 分別是 4 階和 2 階輪換=(1 2 3 4),=(1 3), 其中 也叫做對換24n元置換分解為輪換之積例 設 S = 1, 2, , 8 , 從中分解出來的第一個輪換式 (1 5 2 3 6)；第二個輪換為(4)；第三個輪換為 (7 8). 的輪換表示式 =(1 5 2 3 6) (4) (7 8)=(1 5 2 3 6) (7 8)用同樣的方法可以得到的分解式 =(1 8 3

14、 4 2) (5 6 7) 注意：在輪換分解式中，1 階輪換可以省略. 25n元置換的乘法與求逆兩個 n 元置換的乘法就是函數的復合運算n 元置換的求逆就是求反函數. 例 設 使用輪換表示是： = (1 5 4) (2 3) (1 4 2 3) = (1 5 2) = ( 1 4 2 3) (1 5 4) (2 3) = (3 5 4) -1= (1 5 4)-1 (2 3)-1 = (4 5 1) (2 3) = (1 4 5) (2 3)26n元置換群及其實例考慮所有的 n 元置換構成的集合 Sn Sn關于置換的乘法是封閉的. 置換的乘法滿足結合律. 恒等置換(1)是 Sn 中的單位元.

15、對于任何 n元置換Sn，逆置換1是 的逆元. 這就證明了Sn關于置換的乘法構成一個群，稱為 n元對稱群. n元對稱群的子群稱為 n元置換群. 例 設 S = 1, 2, 3，3元對稱群 S3 = (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)27S3 的運算表28S3的子群S3 = (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)，A3 = = (1), (1 2 3), (1 3 2)， = (1) = (1), (1 2), = (1), (1 3), = (1), (2 3)29環的定義定義 設是代數系統，+和是二

16、元運算.如果滿足以下條件: (1) 構成交換群 (2) 構成半群 (3) 運算關于+運算適合分配律則稱是一個環.通常稱+運算為環中的加法， 運算為環中的乘法. 環中加法單位元記作 0, 乘法單位元(若存在)記作 1. 對任何元素 x，稱 x 的加法逆元為負元，記作x. 乘法逆元(若存在)稱為逆元，記作 x1. 30環的實例 (1) 整數集、有理數集、實數集和復數集關于普通的加法和乘法構成環，分別稱為整數環Z，有理數環Q，實數環R 和 復數環C.(2) n(n2)階實矩陣的集合Mn(R)關于矩陣的加法和乘法構成環，稱為n階實矩陣環.(3) 集合的冪集P(B)關于集合的對稱差運算和交運算構成環.(

17、4) 設Zn0,1,.,n1，和分別表示模n的加法和乘法，則構成環，稱為模n的整數環. 31環中的零因子設是環，若存在 ab =0, 且 a0, b0, 稱 a 為左零因子，b為右零因子. 實例 ，其中 23=0，2 和 3 都是零因子. 無零因子的條件：ab = 0 a=0 b=0 可證明無零因子的充要條件是：乘法滿足消去律 32特殊的環定義 設是環， (1) 若環中乘法適合交換律，則稱 R是交換環.(2) 若環中乘法存在單位元，則稱 R是含幺環.(3) 若a, bR，a b=0 a=0b=0，則稱R是無零因子環.(4) 若 R 既是交換環、含幺環，也是無零因子環，則稱 R 是整環.(5)

18、若 R為整環，|R|1, 且aR*=R0，a1R, 則稱 R 為域. 33特殊環的實例(1)整數環Z、有理數環Q、實數環R、復數環C都是交換環、含幺環、無零因子環和整環. 其中除Z之外都是域(2)令2Z= 2z | zZ ，則構成交換環和無零因子環. 但不是含幺環和整環.(3)設nZ, n2, 則 n 階實矩陣的集合 Mn(R)關于矩陣加法和乘法構成環，它是含幺環，但不是交換環和無零因子環，也不是整環.(4)構成環，它是交換環、含幺環，但不是無零因子環和整環. 注意：對于一般的 n, Zn是整環且是域 n是素數. 34例題判斷下列集合和給定運算是否構成環、整環和域. (1) A=a+bi |a

19、,bQ, i2= 1, 運算為復數加法和乘法. (2) A=2z+1 | zZ, 運算為普通加法和乘法 (3) A=2z | zZ, 運算為普通加法和乘法 (4) A= x | x0 xZ, 運算為普通加法和乘法. (5) ，運算為普通加法和乘法解 (2), (4), (5) 不是環. 為什么？ (1) 是環, 是整環, 也是域. (3) 是環, 不是整環和域. 35環的性質定理 設是環，則 (1) aR， a0 = 0a = 0(2) a,bR， (a)b = a(b) = ab(3) a,bR， (a)(b) = ab(4) a,b,cR，a(bc) = abac，(bc)a = baca

20、例 在環中計算 (a+b)3, (ab)2解 (a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b)= (a2+ba+ab+b2)(a+b) = a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (ab)2 = (ab)(ab)=a2baab+b2 36格的定義定義 設是偏序集，如果x,yS，x,y都有最小上界和最大下界，則稱S關于偏序作成格. 由于最小上界和最大下界的唯一性，可以把求x,y的最小上界和最大下界看成 x 與 y 的二元運算和，即 xy 和 xy 分別表示 x 與 y 的最小上界和最大下界. 注意：這里出現的和符號只代表格中的運算，而不再有其他的含義.37 格的實例例 設n是

21、正整數，Sn是n的正因子的集合. D為整除關系，則偏序集構成格.x,ySn，xy 是 lcm(x,y)，即 x 與 y 的最小公倍數. xy 是 gcd(x,y)，即 x 與 y 的最大公約數. 下圖給出了格，和.38例 判斷下列偏序集是否構成格，并說明理由. (1) ，其中P(B)是集合B的冪集. (2) ，其中Z是整數集，為小于等于關系. (3) 偏序集的哈斯圖分別在下圖給出.格的實例（續）解 (1) 是格. 稱為B的冪集格.(2) 是格. (3) 都不是格. 39格的性質：對偶原理定義 設 f 是含有格中元素以及符號=, , ,和的命題. 令 f*是將 f 中的替換成,替換成,替換成,替

22、換成所得到的命題. 稱 f* 為 f 的對偶命題. 例如, 在格中： f 是 (ab)cc, f* 是 (ab)cc .格的對偶原理：設 f 是含格中元素以及符號=,和等的命題. 若 f 對一切格為真, 則 f 的對偶命題 f*也對一切格為真. 例如, 若對一切格L都有 a,bL, aba，那么對一切格L都有 a,bL, aba40格的性質：算律定理 設是格,則運算和適合交換律、結合律、冪等律和吸收律,即(1) a,bL 有 ab=ba, ab=ba(2) a,b,cL 有 (ab)c=a(bc), (ab)c=a(bc)(3) aL 有 aa=a, aa=a(4) a,bL 有 a(ab)=

23、a, a(ab)=a 41算律的證明證 (1) 交換律. ab 是 a,b 的最小上界 ba 是 b,a的最小上界 a, b = b, a ab = ba. 由對偶原理, ab = ba 得證. 42算律的證明（續） (2) 結合律. 由最小上界的定義有 (ab)caba (I) (ab)cabb (II) (ab)cc (III) 由式 (II) 和 (III) 有 (ab)cbc (IV) 由式 (I) 和 (IV) 有 (ab)ca(bc). 同理可證 (ab)c a(bc). 根據偏序的反對稱性得到 (ab)c = a(bc). 由對偶原理, (ab)c = a(bc) 得證. 43算

24、律的證明（續） (3) 冪等律. 顯然 a aa, 又由 a a 得 aa a. 由反對稱性 aa = a. 用對偶原理, aa = a 得證. (4) 吸收律. 顯然有 a(ab) a (V)由 a a, ab a 可得 a(ab) a (VI) 由式 (V) 和 (VI) 可得 a(ab) = a根據對偶原理, a(ab) = a 得證.44格作為代數系統的定義定理 設是具有兩個二元運算的代數系統, 若對于和運算適合交換律、結合律、吸收律, 則可以適當定義S中的偏序,使得構成格, 且a,bS有 ab = ab, ab = ab.根據定理,可以給出格的另一個等價定義.定義 設是代數系統, 和

25、是二元運算, 如果和 運算滿足交換律、結合律和吸收律, 則 構成格.45分配格定義定義 設是格, 若a, b, cL, 有 a(bc) = (ab)(ac)a(bc) = (ab)(ac)則稱 L 為分配格.(a)和(b)是分配格，(c)和(d)不是分配格.46全上界與全下界定義 設L是格, 若存在 aL 使得 xL 有 a x, 則稱 a 為 L 的全下界；若存在 bL 使得 xL 有 x b, 則稱 b 為 L 的全上界.說明： 格 L 若存在全下界或全上界,一定是唯一的. 一般將格 L 的全下界記為 0, 全上界記為 1.定義 設 L是格,若 L存在全下界和全上界, 則稱 L為有界格, 有界格 L 記為 .注意：有限格 L=a1,a2,an是有界格, 求對偶命題時, 必須將0與1互換. 47補元的定義定義 設是有界格, aL, 若存在 bL 使得 ab = 0 和 ab =1 成立, 則稱 b 是 a 的補元.注意：若 b 是