1、PAGE |初一數學基礎-提高-精英學生版| 第1講 第頁 PAGE 頁碼 11 / NUMPAGES 總頁數 114-3-2.六年級奧數三角形等高模型與鳥頭模型（二）教師版例題精講六年級奧數三角形等高模型與鳥頭模型二教師版我們已經知道三角形面積的計算公式：三角形面積底高從這個公式我們可以發現：三角形面積的大小,取決于三角形底和高的乘積如果三角形的底不變,高越大小,三角形面積也就越大小；如果三角形的高不變,底越大小,三角形面積也就越大小；這說明當三角形的面積變化時,它的底和高之中至少有一個要發生變化但是,當三角形的底和高同時發生變化時,三角形的面積不一定變化比如當高變為原來的3倍,底變為原來的

2、,則三角形面積與原來的一樣這就是說：一個三角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積,而不僅僅取決于高或底的變化同時也告訴我們：一個三角形在面積不改變的情況下,可以有無數多個不同的形狀在實際問題的研究中,我們還會常常用到以下結論：等底等高的兩個三角形面積相等；兩個三角形高相等,面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等,面積比等于它們的高之比；如左圖 夾在一組平行線之間的等積變形,如右上圖；反之,如果,則可知直線平行于等底等高的兩個平行四邊形面積相等長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形；三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個平行四邊形高相等,面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形

3、底相等,面積比等于它們的高之比板塊二 鳥頭模型兩個三角形中有一個角相等或互補,這兩個三角形叫做共角三角形共角三角形的面積比等于對應角相等角或互補角兩夾邊的乘積之比如圖在中,分別是上的點如圖 = 1 * GB2 或在的延長線上,在上,則 圖 = 1 * GB2 圖 = 2 * GB2 如圖在中,分別是上的點,且,平方厘米,求的面積 【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】2星 【題型】解答連接,所以,設份,則份,平方厘米,所以份是平方厘米,份就是平方厘米,的面積是平方厘米由此我們得到一個重要的定理,共角定理：共角三角形的面積比等于對應角相等角或互補角兩夾邊的乘積之比 【答案】70【鞏固】如圖,三角形中

4、,是的5倍,是的3倍,如果三角形的面積等于1,那么三角形的面積是多少？ 【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】2星 【題型】解答連接 又,【答案】15【鞏固】如圖,三角形ABC被分成了甲陰影部分、乙兩部分,乙部分面積是甲部分面積的幾倍？ 【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】2星 【題型】解答連接,又,【答案】5如圖在中,在的延長線上,在上,且,平方厘米,求的面積 【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】3星 【題型】解答連接, ,所以,設份,則份,平方厘米,所以份是平方厘米,份就是平方厘米,的面積是平方厘米由此我們得到一個重要的定理,共角定理：共角三角形的面積比等于對應角相等角或互補角兩夾邊的乘積之比【答

5、案】50如圖所示,在平行四邊形ABCD中,E為AB的中點,三角形AFE圖中陰影部分的面積為8平方厘米平行四邊形的面積是多少平方厘米？【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】2星 【題型】解答連接FB三角形AFB面積是三角形CFB面積的2倍,而三角形AFB面積是三角形AEF面積的2倍,所以三角形ABC面積是三角形AEF面積的3倍；又因為平行四邊形的面積是三角形ABC面積的2倍,所以平行四邊形的面積是三角形AFE面積的倍因此,平行四邊形的面積為平方厘米【答案】48已知的面積為平方厘米,求的面積【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】3星 【題型】解答,設份,則份,份,份,份,恰好是平方厘米,所以平方厘米【答案

6、】24如圖16-4,已知AE=AC,CD=BC,BF=AB,那么等于多少? 【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】3星 【題型】解答【關鍵詞】迎春杯,決賽,第一題,9題如下圖,連接AD,BE,CF. 有ABE,ABC的高相等,面積比為底的比,則有=,所以=同理有=,即=.類似的還可以得到=,= 所以有=-+=1=即為【答案】如圖,三角形的面積為3平方厘米,其中,三角形的面積是多少？【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】2星 【題型】解答由于,所以可以用共角定理,設份,份,則份, 份,由共角定理,設份,恰好是平方厘米,所以份是平方厘米,份就是平方厘米,三角形的面積是平方厘米【答案】12.5如圖所示,正方

7、形邊長為6厘米,三角形的面積為_平方厘米【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】3星 【題型】解答【關鍵詞】走美杯,五年級,初賽由題意知、,可得根據”共角定理”可得,；而；所以；同理得,;,故平方厘米【答案】10如圖,已知三角形面積為,延長至,使；延長至,使；延長至,使,求三角形的面積 【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】3星 【題型】解答 法本題是性質的反復使用連接、,同理可得其它,最后三角形的面積法用共角定理在和中,與互補,又,所以同理可得,所以【答案】18如圖,把四邊形ABCD的各邊都延長2倍,得到一個新四邊形EFGH如果ABCD的面積是5平方厘米,則EFGH的面積是多少平方厘米?【考點】三角形

8、的鳥頭模型 【難度】4星 【題型】解答方法一：如下圖,連接BD,ED,BG, 有EAD、ADB同高,所以面積比為底的比,有同理類似的,還可得,有=30平方厘米連接AC,AF,HC,還可得,有=30平方厘米.有四邊形EFGH的面積為EAH,FCG,EFB,DHG,ABCD的面積和,即為30+30+5=65平方厘米.方法二：連接BD,有EAH 、ABD中EAD+BAD=180又夾成兩角的邊EA、AH,AB、AD的乘積比,=23=6,所以=6類似的,還可得=6,有+=6+=6=30平方厘米連接AC,還可得=6,=6,有+=6+=6=30平方厘米有四邊形EFGH的面積為EAH,FCG,EFB,DHG,

9、ABCD的面積和,即為30+30+5=65平方厘米【答案】65如圖,平行四邊形,平行四邊形的面積是, 求平行四邊形與四邊形的面積比 【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】4星 【題型】解答連接、根據共角定理 在和中,與互補,又,所以同理可得,所以所以【答案】如圖,四邊形的面積是平方米,求四邊形的面積 【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】4星 【題型】解答連接由共角定理得,即同理,即所以連接,同理可以得到所以平方米【答案】13.2如圖,將四邊形的四條邊、分別延長兩倍至點、,若四邊形的面積為5,則四邊形的面積是 【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】4星 【題型】解答連接、由于,于是,同理于是再由于,于是,

10、同理于是那么【答案】60如圖,在中,延長至,使,延長至,使,是的中點,若的面積是,則的面積是多少？【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】3星 【題型】解答在和中,與互補,又,所以同理可得,所以【答案】3.5如圖,求【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】3星 【題型】解答本題題目本身很簡單,但它把本講的兩個重要知識點融合到一起,既可以看作是”當兩個三角形有一個角相等或互補時,這兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”的反復運用,也可以看作是找點,最妙的是其中包含了找點的種情況最后求得的面積為【答案】如圖所示,正方形邊長為厘米,是的中點,是的中點,是的中點,三角形的面積是多少平方厘米？ 【考點】

11、三角形的鳥頭模型 【難度】4星 【題型】解答連接、因為,根據”當兩個三角形有一個角相等或互補時,這兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”,再根據”當兩個三角形有一個角相等或互補時,這兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”,得到,所以平方厘米【答案】12四個面積為的正六邊形如圖擺放,求陰影三角形的面積 【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】4星 【題型】解答如圖,將原圖擴展成一個大正三角形,則與都是正三角形假設正六邊形的邊長為為,則與的邊長都是,所以大正三角形的邊長為,那么它的面積為單位小正三角形面積的49倍而一個正六邊形是由6個單位小正三角形組成的,所以一個單位小正三角形的面積為,三角形的面積為由于,所以與三角形的面積之比為同理可知、與三角形的面積之比都為,所以的面積占三角形面積的,所以的面積的面積為【答案】【鞏固】已知圖中每個正六邊形的面積都是1,則圖中虛線圍成的五邊形的面積是 【考點】三角形的鳥頭模型 【難度】4星 【題型】解答從圖中可以看出,虛線和虛線外的圖形都等于兩個正六邊形的一半,也就是都等于一個正六邊形的面積；虛線和虛線外的圖形都等于一個正六邊形的一半,那么它們合起來等于一個正六邊形的面積；虛線外的圖形是兩個三角形,從右圖中可以看出,每個三角形都是一個正六邊形面積的,所以虛線外圖形的面積等于,所以五邊形的面積是【答案】僅用下圖這把刻度尺,