1、PAGE PAGE 頁碼 9 / NUMPAGES 總頁數 97-1-1.加法原理之分類枚舉（一）教學目標六年級奧數加法原理之分類枚舉一教師版2.掌握加法原理的運用以及與乘法原理的區別；3.培養學生分類討論問題的能力,了解分類的主要方法和遵循的主要原則加法原理的數學思想主旨在于分類討論問題,教授本講的目的也是為了培養學生分類討論問題的習慣,鍛煉思維的周全細致知識要點一、加法原理概念引入生活中常有這樣的情況,就是在做一件事時,有幾類不同的方法,而每一類方法中,又有幾種可能的做法那么,考慮完成這件事所有可能的做法,就要用加法原理來解決例如:王老師從北京到天津,他可以乘火車也可以乘長途汽車,現在知道

2、每天有五次火車從北京到天津,有4趟長途汽車從北京到天津那么他在一天中去天津能有多少種不同的走法？分析這個問題發現,王老師去天津要么乘火車,要么乘長途汽車,有這兩大類走法,如果乘火車,有5種走法,如果乘長途汽車,有4種走法上面的每一種走法都可以從北京到天津,故共有5+4=9種不同的走法在上面的問題中,完成一件事有兩大類不同的方法在具體做的時候,只要采用一類中的一種方法就可以完成并且兩大類方法是互無影響的,那么完成這件事的全部做法數就是用第一類的方法數加上第二類的方法數二、加法原理的定義一般地,如果完成一件事有k類方法,第一類方法中有種不同做法,第二類方法中有種不同做法,第k類方法中有種不同做法,

3、則完成這件事共有種不同方法,這就是加法原理加法原理運用的范圍：完成一件事的方法分成幾類,每一類中的任何一種方法都能完成任務,這樣的問題可以使用加法原理解決我們可以簡記為：“加法分類,類類獨立”分類時,首先要根據問題的特點確定一個適合于它的分類標準,然后在這個標準下進行分類；其次,分類時要注意滿足兩條基本原則：完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類；分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法只有滿足這兩條基本原則,才可以保證分類計數原理計算正確運用加法原理解題時,關鍵是確定分類的標準,然后再針對各類逐一計數通俗地說,就是“整體等于局部之和”三、加法原理解題三部曲1、完成一件事分N類；2、每類找種數每

4、類的一種情況必須是能完成該件事；3、類類相加枚舉法：枚舉法又叫窮舉法,就是把所有符合條件的對象一一列舉出來進行計數分類討論的時候經常會需要把每一類的情況全部列舉出來,這時的方法就是枚舉法枚舉的時候要注意順序,這樣才能做到不重不漏例題精講模塊一、分類枚舉數出來的種類小寶去給小貝買生日禮物,商店里賣的東西中,有不同的玩具8種,不同的課外書20本,不同的紀念品10種,那么,小寶買一種禮物可以有多少種不同的選法？ 【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】2星 【題型】解答 【關鍵詞】分類討論思想小寶買一種禮物有三類方法：第一類,買玩具,有8種方法；第二類,買課外書,有20種方法；第三種,買紀念品,有10種

5、方法根據加法原理,小寶買一種禮物有8+20+10=38種方法【答案】有不同的語文書6本,數學書4本,英語書3本,科學書2本,從中任取一本,共有多少種取法？ 【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】2星 【題型】解答 【關鍵詞】分類討論思想根據加法原理,共有6+4+3+2=15種取法【答案】陽光小學四年級有3個班,各班分別有男生18人、20人、16人從中任意選一人當升旗手,有多少種選法？ 【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】2星 【題型】解答 【關鍵詞】分類討論思想解決這個問題有3類辦法：從一班、二班、三班男生中任選1人,從一班18名男生中任選1人有18種選法：同理,從二班20名男生中任選1人有20

6、種選法；從三班16名男生中任意選1人有16種選法；根據加法原理,從四年級3個班中任選一名男生當升旗手的方法有：種【答案】和為15的兩個非零自然數共有 對。【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】1星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯,五年級,一試,第11題,舉例為：與,與,與,與,與,與,與,共計7對。【答案】對用1至8這八個自然數中的四個組成四位數,從個位到千位的數字依次增大,且任意兩個數字的差都不是1,這樣的四位數共有 人。【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯,五年級,一試,第10題1357,1358,1368,1468,2468共5個【答案】個三張數字卡片0,2

7、,4可以組成_個能被4整除的不同整數。【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯,四年級,二試,第6題240、204、420共3個【答案】個節目期間,小明將6個彩燈排成一列,其中有2個紅燈,4個綠燈,如果兩個紅燈不相鄰,則不同的排法有_種其中“紅綠紅綠綠綠”與“綠綠綠紅綠紅”類型算作一種。【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯,六年級,二試,第5題紅燈看作“1”,綠燈看作“0”則有：000101、001001、001010、010001、010010、100001這六種【答案】從1、2、3、4、5、6這些數中,任取兩個數,使其和不能被

8、3整除,則有_種取法。 【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】走美杯,四年級,初賽,第10題共有選1和3、1和4、1和6、2和3、2和5、2和6、3和4、3和5、4和6以及5和6共10種選法。【答案】種從l9這9個數碼中取出3個,使它們的和是3的倍數,則不同取法有_種。【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯,五年級,一試,第13題13個數都是3的倍數,有1種情況23個數除以3都余1,有1種情況33個數除以3都余2,有1種情況4一個除以3余1,一個除以3余2,一個是3的倍數,有：333=27種情況所以,一共有1+1+1+27=30種不同取

9、法。【答案】種小明的兩個口袋中各有6張卡片,每張卡片上分別寫著1,2,3,6。從這兩個口袋中各拿出一張卡片來計算上面所寫兩數的乘積,那么,其中能被6整除的不同乘積有_個。【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯,五年級,一試,第22題乘積中最小1,最大為36,能被6整除的有6、12、18、24、30、36共6個【答案】個老師帶著佳佳、芳芳和明明做計算練習.老師先分別給他們一個數,然后讓他們每人取3張寫有數的卡片.佳佳取的是3、6、7,芳芳取的是4、5、6,明明取的是4、5、8.這時老師讓他們分別取自己卡片上的兩個數相乘,再加上開始老師給他們的數.如果老師開始時給他

10、們的數依次是234、235、236,而且他們計算都正確,那么可能算出_個不同的數.【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯,中年級,復試,7題佳佳可以得到的乘積是18,21,42,芳芳可以得到的乘積是20,24,30,明明可以得到的乘積是20,32,40,那么佳佳可以得到的數是252,255,276,芳芳可以得到的數是255,259,265,明明可以得到的數是256,268,276所以一共可以得到7個不同的數。【答案】個如果三位數同時滿足如下條件：的各位數字之和是7；還是三位數,且各位數字之和為5那么這樣的三位數共有 個【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【

11、題型】填空【關鍵詞】迎春杯,高年級,復賽,2題三位數可以是500,410,320,230,140,302,212,122,104；得到 可以是250,205,160,115,70,157,106,61,52,兩位數的均舍去,所以符合條件的共有6個【答案】個把數1,2,3,4,5,6分為三組不考慮組內數的順序也不考慮組間的順序,每組兩個數,每組的數之和互不相等且都不等于6,共有_種分法【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】學而思杯,4年級,第7題枚舉法： , ； 共有種。【答案】種自然數12,456,1256這些數有一個共同的特點,相鄰兩個數字,左邊的數字小于右邊的數字

12、我們取名為“上升數”用3,6,7,9這四個數,可以組成 個“上升數”【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】學而思杯,1年級,第6題這樣的“上升數“是36,37,39, 67,69,79,367,369,379,679,3679一共有11個【答案】個自然數21,654,7521這些數有一個共同的特點,相鄰兩個數字,左邊的數字大于右邊的數字我們取名為“下降數”用4,6,7,9這四個數,可以組成 個“下降數”【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】學而思杯,2年級,第5題這樣的“下降數“是9764,976,974,964,764,97,96,94,7

13、6,74,64,一共有11個 數學方法之枚舉【答案】個將左下圖中20張撲克牌分成10對,每對紅心和黑桃各一張。問：你能分出幾對這樣的牌,兩張牌上的數的乘積除以的余數是?將A看成【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】1星 【題型】填空【關鍵詞】華杯賽,初賽,第6題本題實際上是求1到10這些數中,取出2個數可以重復相乘,能組成幾個個位是1的數.顯然,雙數不成.所以只能是11,37,73和99,共4對.【答案】對模塊二、分類枚舉分類甲、乙、丙三個工廠共訂300份報紙,每個工廠至少訂了99份,至多101份,問：一共有多少種不同的訂法？ 【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】3星 【題型】解答 【關鍵詞】分

14、類討論思想甲廠可以訂99、100、101份報紙三種方法如果甲廠訂99份,乙廠有訂100份和101份兩種方法,丙廠隨之而定如果甲廠訂100份,乙廠有訂99份、100份和101份三種方法,丙廠隨之而定如果甲廠訂101份,乙廠有訂99份和100份兩種方法,丙廠隨之而定根據加法原理,一共有種訂報方法【答案】大林和小林共有小人書不超過9本,他們各自有小人書的數目有多少種可能的情況？ 【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】3星 【題型】解答 【關鍵詞】分類討論思想大林和小林共有9本的話,有10種可能；共有8本的話,有9種可能,共有0本的話,有1種可能,所以根據加法原理,一共有10+9+3+2+1=55種可能

15、【答案】從110中每次取兩個不同的數相加,和大于10的共有多少種取法？【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】3星 【題型】解答 根據第一個數的大小,將和大于10的取法分為9類：因此,根據加法原理,共有：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25種取法使和大于10【答案】從18中每次取兩個不同的數相加,和大于10的共有多少種取法？ 【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】3星 【題型】解答 【關鍵詞】分類討論思想兩個數和為11的一共有3種取法；兩個數和為12的一共有2種取法； 兩個數和為13的一共有2種取法；兩個數和為14的一共有1種取法； 兩個數和為15的一共有1種取法； 一共有3+2+2+1+1=9

16、種取法【答案】思思想將3個相同的小球放入、三個盒中,那么一共有_種不同的放法【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】學而思杯,3年級,第3題3個球全放在一個盒子中,3種,2個球放在一個盒子中,還有1個球單放,種,一個盒子一個球,因為球是一樣的,所以就1種,共有種【答案】種四個學生每人做了一張賀年片,放在桌子上,然后每人去拿一張,但不能拿自己做的一張問：一共有多少種不同的方法？ 【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】解答 【關鍵詞】分類討論思想設四個學生分別是A,B,C,D,他們做的賀年片分別是a,b,c,d先考慮A拿B做的賀年片b的情況如下表,一共有3種方法

17、同樣,A拿C或D做的賀年片也有3種方法一共有333=9種不同的方法【答案】一次,齊王與大將田忌賽馬每人有四匹馬,分為四等田忌知道齊王這次比賽馬的出場順序依次為一等,二等,三等,四等,而且還知道這八匹馬跑的最快的是齊王的一等馬,接著依次為自己的一等,齊王的二等,自己的二等,齊王的三等,自己的三等,齊王的四等,自己的四等田忌有_種方法安排自己的馬的出場順序,保證自己至少能贏兩場比賽 【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】解答 【關鍵詞】分類討論思想,第六屆,走美杯第一場不管怎么樣田忌都必輸,田忌只可能在接下來的三場里贏得比賽, 若三場全勝,則只有一種出場方法； 若勝兩場,則又分為三種情

18、況：二,三兩場勝,此時只能是田忌的一等馬贏得齊王的二等馬,田忌的二等馬贏齊王的三等馬,只有這一種情況；二,四兩場勝,此時有三種情況；三,四兩場勝,此時有七種情況；所以一共有種方法【答案】給定三種重量的砝碼每種數量都有足夠多個,將它們組合湊成有 種,不同的方法每種砝碼至少用一塊。【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】走美杯,5年級,決賽,第1題,一共有種。【答案】種把一元錢換成角幣,有多少種換法？人民幣角幣的面值有五角、二角、一角三種 【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】解答 【關鍵詞】分類討論思想把一元錢換成角幣,有三類分法：第一類：有五角幣2張,只有1

19、種換法：第二類：有五角幣1張,則此時二角幣可以有0,1,2張,相應的,一角幣有5,3,1張,有3種換法；第三類：有五角幣0張,則此時二角幣可以有0,1,2,3,4,5張,相應的,一角幣有10,8,6,4,2,0張,有6種換法所以,根據加法原理,總共的換法有種【答案】一把硬幣全是2分和5分的,這把硬幣一共有1元,問這里可能有多少種不同的情況？ 【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】解答 【關鍵詞】分類討論思想按5分硬幣的個數對硬幣情況進行分類：如果5分硬幣有奇數個,那么無論2分硬幣有多少個都不能湊成100分如表當5分硬幣的個數為020的偶數時,都有對應個數的2分硬幣所以一共有11種不

20、同的情況【答案】用若干個1分、2分、5分的硬幣組成一角錢不要求每種硬幣都有,共有 種不同的方法【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】走美杯,3年級,初賽,第4題此題采用枚舉法,具體如下：共有10種情況【答案】種用100元錢購買2元、4元或8元飯票若干張,沒有剩錢,共有多少不同的買法? 【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】解答 【關鍵詞】分類討論思想如果買0張8元飯票,還剩100元,可以購買4元飯票的張數為025張,其余的錢全部購買2元飯票,共有26種買法；如果買l張8元飯票,還剩92元,可購4元飯票023張,其余的錢全部購買2元飯票,共有24種不同方法；

21、如果買2張8元飯票,還剩84元,可購4元飯票021張,其余的錢全部購買2元飯票,共有22種不同方法；如果買12張8元飯票,還剩4元飯票,可購4元飯票01張,其余的錢全部購買2元飯票,共有2種方法總結規律,發現各類情況的方法數組成了一個公差為2,項數是13的等差數列利用分類計數原理及等差數列求和公式求出所有方法：26+24+22+2=26+2132=182種 共有182種不同的買法【答案】一個文具店橡皮每塊5角、圓珠筆每支1元、鋼筆每支2元5角小明要在該店花5元5角購買兩種文具,他有多少種不同的選擇 【考點】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】解答 【關鍵詞】迎春杯,三年級,初賽,6題,分