1、第2章 信號分析與處理基礎2被測對象傳感器信號調理顯示記錄裝置系統信息輸入信息輸出3A0t物理上：信號是信息的載體，是信息的一種表現形式，在測試技術中常常通過波形體現。4一、信號的分類與描述二、周期信號和離散頻譜（傅里葉級數）三、瞬態非周期信號和連續頻譜（傅里葉變換）四、隨機信號分析主要內容如下：第2章 信號分析與處理基礎5第一節 信號的分類與描述 一個信號包含著反映被測系統的狀態或特性的某些有用的信息，是人們認識客觀事物內在規律、研究事物之間的相互關系、預測未來發展的依據。從不同角度觀察信號，可以將其分為： 1） 從信號描述上-確定性信號與隨機信號；2） 從表示的函數性質上-連續信號與離散信

2、號；3）從信號的能量上-能量信號與功率信號。1. 信號的分類 61） 確定性信號和隨機信號可以用明確數學關系式描述的信號稱為確定性信號。不能用數學關系式描述的信號稱為隨機信號。隨機信號7（確定性信號）周期信號：經一定時間間隔可重復出現的信號 簡單周期信號復雜周期信號x ( t ) = x ( t + nT0 ) (n =1，2，3.)機械系統中，回轉體不平衡引起的振動，往往也是一種周期性運動。8b) （確定性信號）非周期信號：在確定性信號中不會周期重復出現的信號。 瞬態信號瞬態信號: 持續時間有限或隨時間增長衰減為零的信號，如 x(t)= e-tsin(2*pi*f*t)，如：錘子敲擊力、承載

3、纜繩斷裂時應力變化等準周期信號準周期信號: 由有限個周期信號合成的，但各周期信號之間無法找到公共周期，因而無法按某一時間間隔重復出現，如：x(t) = sin(t)+sin(2.t)，如機械轉子振動分析、齒輪噪聲分析、語音分析等9c) 隨機信號：不能用數學式描述，其幅值、相位變化不可預知，所描述物理現象是一種隨機過程。 噪聲信號(平穩)噪聲信號(非平穩)統計特性變異只能用概率統計方法由其過去估計其未來。自然界和生活中有許多隨機過程，如汽車奔馳時產生的振動、環境噪聲等。102） 連續信號與離散信號 a) 連續信號: 信號數學表示式中獨立變量取值是連續的 b) 離散信號:若獨立變量取離散值幅值連續

4、幅值不連續采樣信號 若獨立變量和幅值均取連續值的信號稱為模擬信號； 若離散信號的幅值也是離散的，稱為數字信號。113） 能量信號與功率信號 a) 能量信號 在所分析的區間(-，)，能量為有限值的信號稱為能量信號，滿足條件： 一般持續時間有限的瞬態信號是能量信號，如矩形脈沖信號、衰減指數函數等。瞬態信號12b) 功率信號 在所分析的區間（t1，t2），能量不是有限值此時，研究信號的平均功率更為合適。 一般持續時間無限的信號都屬于功率信號。復雜周期信號噪聲信號(平穩)13信號以時間為獨立變量表示的，稱為信號的時域描述；信號以頻率為獨立變量表示的，稱為信號的頻域描述。2. 信號的描述 應用傅里葉級數

5、展開：如下周期方波的時域描述：式中：將上式改寫為：式中：以 為獨立變量，得到該周期方波的頻域描述。x(t)T0A14在信號分析中，以頻率為橫坐標，分別以幅值或相位為縱坐標，便分別得到信號的幅頻譜或相頻譜。An030504A/()03050151T/2T/2tx(t)1T/2T/2tx(t)在頻域中每個信號都需同時用幅頻譜和相頻譜來描述An030504A/()03050()030505 /2/2An030504A/1617兩種描述方法比較：時域分析只能反映信號的幅值隨時間的變化情況，很難明確揭示信號的頻率組成和各頻率分量大小。 時間幅值頻率時域分析頻域分析信號的頻譜代表了信號在不同頻率分量處信號

6、成分的大小，它能夠提供比時域信號波形更直觀，豐富的信息。 時域分析與頻域分析的關系18大型空氣壓縮機傳動裝置故障診斷19如：評定機器振動烈度，需用振動速度的均方根來作為判據，此時，速度信號采用時域描述，就能很快求得均方根值。在尋找振源時，需要掌握振動信號的頻率分量，因此，需要采用頻域描述。兩種描述包含的信息量完全相同。20第二節 周期信號和離散頻譜 周期信號數學描述工具- 傅里葉級數21周期信號 如果在有限區間上滿足狄里赫利條件，可展成傅里葉級數：1）傅里葉級數的三角函數形式傅立葉級數的這種形式稱為三角函數展開式或稱正弦-余弦表示。22傅立葉級數的三角函數形式還可以改寫成：式中：周期信號是由一

7、個或幾個、乃至無窮多個不同頻率的諧波疊加而成的。式中第一項a0為周期信號中的常值或直流分量，從第二項依次向下分別稱為信號的基波或一次諧波、二次諧波、三次諧波，.，n次諧波。An為n次諧波的幅值，n為其相角。 幅頻譜圖相頻譜圖以頻率 為橫坐標的譜線，由于各頻率成分是 的整倍數，因此相鄰頻率間隔為 ，所以譜線是離散的。令： 為自變量橫坐標23 例2-1 求圖所示的周期方波信號x(t)的傅里葉級數。 圖 周期方波信號 解：該周期方波在一個周期內的表達式為 由圖可知，該信號為奇函數，因此 24 正弦分量的幅值為 25 因此，周期性方波可寫為： 周期性方波的頻譜圖： 262）傅里葉級數的復指數函數形式復

8、指數函數形式比三角級數形式更簡化更便于計算。根據歐拉公式：將上式代入式: 令并整理歸類得27上式可合寫成傅里葉級數的復指數函數形式： 以其實部或虛部與頻率的關系作幅頻圖，分別稱為實頻譜圖和虛頻譜圖。 的關系圖稱為幅頻譜圖及相頻譜圖，統稱復頻譜圖。28注意： 復指數函數形式的頻譜稱為雙邊頻譜（因 變化范圍為 ）；三角函數形式的頻譜稱為單邊頻譜（因 變化范圍為 ） 。 例2-2 采用周期信號復指數展開式求例2-1所示周期方波的頻譜。 解：該周期方波在一個周期內的表達式為 因此有： ， 29比較傅里葉級數的兩種展開形式可知：復指數函數形式的頻譜為雙邊譜（從到），三角函數形式的頻譜為單邊譜（從0到）。

9、有定理證明：雙邊幅頻譜為偶函數，雙邊相頻譜為奇函數。 三角傅立葉級數與指數傅立葉級數并不是兩種不同類型的級數，而只是同一級數的兩種不同的表示方法。30 周期信號頻譜圖 3132周期信號頻譜的三個特點：周期信號的頻譜是離散頻譜；（離散性）周期信號的譜線均出現在基波及各次諧波頻率處（出現在基波頻率的整數倍上）；（諧波性）周期信號的幅值譜中各頻率分量的幅值隨著頻率的升高而減小，頻率越高，幅值越小。工程中常見的周期信號，其諧波幅值總的趨勢是隨諧波次數的增高而減小，因此，在頻譜分析中沒有必要取那些次數過高的諧波分量；（收斂性）333435第三節 瞬態非周期信號與連續頻譜 離散頻譜所對應的時域信號是否一定

10、是周期信號？具有離散頻譜的信號不一定是周期信號。只有其各簡諧分量的頻率具有一個公約數（即頻率比為有理數）基頻，它們才能在某個時間間隔后周而復始，合成后的信號才是周期信號。把具有離散頻譜的非周期信號稱準周期信號。！在工程技術領域，不同的相互獨立的振源對某對象的激振而形成的振動往往是這類信號。3637本節主要討論瞬變非周期信號的頻譜分析。 在時域可以看到，如果一個周期信號的周期趨于無窮，則周期信號將演變成一個非周期信號。我們把非周期信號看成是周期信號在周期趨于無窮時的極限，從而考查連續時間傅里葉級數在T趨于無窮時的變化，就應該能夠得到對非周期信號的頻域表示方法.這正是我們開展對非周期信號進行頻域分

11、析的基本出發點。38對于一周期信號，根據指數傅里葉級數展開式：式中：代入：39非周期信號的譜線無限靠近，其頻譜由離散譜變為連續譜當T0 時，x(t)周期信號非周期信號譜線間隔區間離散頻率 變成連續頻率 求和變為積分40將原函數寫成稱為x(t)的傅里葉變換(FT)稱為X()的傅里葉逆變換(IFT)上述兩式稱為傅里葉變換對。傅立葉變換可將時域上較復雜的運算簡化為相對簡單的頻域運算。()-=wwwdeXtxtj)(41為避免在傅里葉變換中出現 常數因子，用 代入可見，一個非周期信號可以分解成頻率連續變化的諧波疊加而成。FTIFT此時稱X(f)是原函數x(t)的頻譜密度函數，簡稱頻譜。42由于X( f

12、 )一般為實變量f的復函數，故可將其寫為 式中的|X( f )|稱為非周期信號x(t)的幅值譜， 稱為x(t)的相位譜。43例：求矩形窗函數 的頻譜。解：矩形窗函數頻譜為：sinc 函數44231Sin cSin c()函數值有專門的的數學表可查得。它以2為周期并隨的增加而作衰減振蕩。Sin c()是偶函數，在n處的值為零。45因此： 只有實部沒有虛部，其相位頻譜視 的符號而定。當 為正值時相角為零，當 為負值時相角為 。1.3 瞬變非周期信號與連續頻譜46一個非周期函數x(t)的能量定義為能量譜得到信號在頻域的能量公式為它表示一個非周期信號x(t)在時域中的能量等于其在頻域中連續頻譜的能量。

13、47 由于 為的偶函數，故 其中， ，稱S()為x(t)的能量譜密度函數，簡稱能量譜函數。 482. 傅里葉變換的主要性質4950（1）時間尺度改變特性若則有時為加速信號的傳遞，要將信號的持續時間壓縮，則要以展開頻帶為代價當信號時間尺度壓縮（ ）時，頻譜的頻帶加寬，幅值壓低；當信號時間尺度擴展（ ）時，頻譜的頻帶變窄，幅值增高。磁帶的慢錄快放和快錄慢放？對信號分析設備通頻帶的要求？51（2）時移和頻移特性若則頻移特性是調制、解調、頻分復用的基礎理論時移特性說明，信號在時域延時 ，在頻譜中幅值譜不變，僅使相位譜產生一個相移5253（3）卷積特性兩個函數 和 的卷積定義為則若（時域卷積）卷積定理揭

14、示了時域和頻域之間的關系，在信號分析中有重要應用。（頻域卷積）54（4）微分和積分特性則若在振動測試中，如果測得振動系統的位移、速度或加速度之任一參數，應用微分、積分特性就可以獲得其它參數的頻譜。551) 函數（單位脈沖函數）及其頻譜（重點） 函數的定義在t0時，函數值均為0；在t=0處，函數值為無窮大，而脈沖面積為1。3. 幾種典型信號的頻譜56 函數的采樣性質這個性質對連續信號的離散采樣十分重要。練習：利用 函數的采樣性質，求下列表示式的函數值：57 函數與其他函數的卷積可見，函數 和 函數的卷積的結果，就是在發生 函數的坐標位置上簡單地將 重新構圖。此結論對頻域同樣適用58 函數的頻譜將

15、 進行傅里葉變換：其包括了所有的頻率成分，且所有頻率分量成分的幅度、相位都相同。因此，時域的函數具有無限寬廣的頻譜，而且在所有的頻段上都是等強度的，這種頻譜常稱為“均勻譜”。 這種信號又稱為“白噪聲”59時 域頻 域(單位瞬時脈沖)(均勻頻譜密度函數)(幅值為1的直流量)(在f0 處有脈沖譜線)(函數時移t0 )(各頻率成分分別相移 )(復數指數函數)(將(f)頻域移動f0 ) 根據傅里葉變換的對稱性質和時移、頻移性質，可以得到下列變換對：對稱性質時移性質頻移性質603) 正余弦函數的頻譜密度函數因此根據614) 周期單位脈沖序列的頻譜定義其中等間隔的周期單位脈沖序列常稱為梳狀函數 Comb(

16、t,Ts )表示為傅里葉級數的復指數形式為：因此有：62因為：所以：時域周期單位脈沖序列的頻譜也是周期脈沖序列63第四節 隨機信號 6465集合平均：不是沿某單個樣本的時間軸進行，而是將集合中所有樣本函數對同一時刻的觀測值取平均。時間平均：按單個樣本的時間歷程進行平均的計算。66676869是表示信號幅值落在指定區間內的概率。信號 值落在 區間內的時間為 ：當樣本的記錄時間T 趨于無窮大時， 的比值就是幅值落在區間的概率，即 70則幅值概率密度函數 為：概率密度函數提供了隨機信號幅值分布的信息，是隨機信號的主要特征參數之一。71不同的隨機信號，其概率密度函數的圖形不同，可以此來辨別信號的性質。

17、7273747576例如信號 的自相關函數為 若信號是由兩個頻率與初相角不同的頻率分量組成，即則 77因此，不論時移方向是超前還是滯后（為正或負），函數值不變。保留了原信號的幅值和頻率信息，但失去了原信號的相位信息7879檢測淹沒在隨機噪聲中的周期信號。由于周期信號的自相關函數仍是周期性的，而隨機噪聲信號隨著延遲增加，它的自相關函數將減到零。因此在一定延遲時間后，被干擾信號的自相關函數中就只保留了周期信號的信息，而排除了隨機信號的干擾。80如：在汽車進行平穩性試驗時，測得汽車在某處的加速度的時間歷程如下如所示。將此信號送入信號處理機處理，獲得如圖所示的相關函數。81828384858687 在

18、實際應用中，通常以有限時間的觀察值，自相關和互相關函數的估計和分別定義為: 具有有限個數據點N的相關函數估計的數字處理表達式為: 式中，r為時移序數，r = 0, l, 2，r N。88 互相關函數的應用（1）確定時間延遲。假如某信號從A點傳播到另一點B點，那么在兩點拾取的信號x(t)和y(t)之間的互相關函數 ，將在相當于兩點之間時間延遲的位置上出現一個峰值。利用確定延遲時間的方法可以測量物體的運動速度。如圖為測定軋鋼時鋼板運動速度的示意圖。利用兩個距離為d的光電傳感器A和B，得到鋼板表面反射光強度變化的光電信號x(t)和y(t)，經互相關分析，確定時移，當等于鋼板通過兩個測點間的時間 時，

19、兩信號的互相關函數為最大值，則運動物體的速度為89（2）90（3）識別傳輸路徑。假如信號從A點到B點有幾個傳輸路徑，則在互相關函數中就有幾個峰值，每個峰值對應于延遲了時間 的一個路徑，例如用于聲源和聲反射路徑的識別。919293在工程測試中，互譜常用于識別系統動態特性和消除噪聲。94自譜和互譜的估計 定義功率譜即自譜的估計值為 互譜的估計值為對于數字信號，通常采用計算機進行快速傅立葉變換（FFT）計算其頻譜。95 （1）求系統頻響函數 一個線性系統的輸出y(t)等于其輸入x(t)和系統的脈沖響應函數h(t)的卷積，即 根據卷積定理，在頻域中可化為 其中，H( f )為系統的頻響函數，它反映了系統的傳遞特性。 功率譜分析的工程應用96 通過自譜和互譜也可以求取H( f )。在（*）式兩端乘以Y( f )的復共軛并取絕對值，有 該式反映了輸入與輸出的功率譜密度和頻響函數間的關系。 如果在（*）式兩端乘以X(f)的復共軛并取絕對值，則有 進而有 由于Sx( f )為實偶函數，因此頻響函數的相位變