1、城市人口統計模型一摘要P(r)=4本文主要研究城市人口統計問題，首先本文在知道某城市人口密度r2+20的情況下，求距市中心2km區域內的人口數；以及假設人口密度近似為:P(r)=1比-0.2r(單位不變)試求距市中心2km區域內的人口數.根據兩種模型的不同，分別取距離微元和時間微元，建立人口統計的積分模型，然后用定積分的換元法和分部積分法求解.關鍵詞：人口密度、距離微元、時間微元、定積分換元法、分部積分法二問題重述P(r)=4某城市2000年的人口密度近似為r2+20，p(r)表示距市中心r公里區域內的人口數，單位為每平方公里10萬人.試求距市中心2km區域內的人口數；若人口密度近似為:P(r

2、)=1-2e-0.2r(單位不變)試求距市中心2km區域內的人口數.二。設p(t)表示t時刻某城市的人口數假設人口變化動力學受下列兩條規則的影響：(1)t時刻凈增人口以每年r(t)的比率增加；(2)在一段時期內，比如說從T1到T2，由于死亡或遷移，T1時刻的人口數P(T1)的一部分在T2時刻仍然存在，我們用h(T2-T1)P(T1)來表示，0h(T2-T1)1，T2-T1是這段時間的長度.試建立在任意時刻人r(t)=5X104+1051h(t)=e-t/40口規模的模型如果P丿。丄u十丄ur丿，2000年時該城市的人口數107為，試預測2010年時該城市的人口數.三符號說明P(r):人口密度p

3、(t):表示t時刻某城市的人口數r(t):t時刻凈增人口比率P(T1):T1時刻的人口數四模型建立及求解根據兩種模型的不同，分別取距離微元和時間微元，建立人口統計的積分模型，然后用定積分的換元法和分部積分法求解：第一步:(I)假設我們從城市中心畫一條放射線，把這條線上從0到2之間分成n個小區間,每個小區間的長度為Ar每個小區間確定了一個環，如下圖所示r=2n讓我們估算每個環內的人口數并把它們相加，就得到了總人口數第個環的面積為:nr2-nr2=n(r-Ar)2jj-1j2-2rAr+(Ar)2=nr2-njjj=2nrAr一n(Ar)2j在第j個環內，人口密度可看成數P(rj)，所以此環內的人

4、口數近似為：p(j-2nrjAr第二步：距市中心2km區域內的人口數近似為:XP(r)-2nrArjjj=1所以人口數:N=j2P(r)2nrdr4第三步：(1)當r2+20j22n-4r2+2002rrdrr2+2024=4nln(r2+20)I2=4nIn袈2.291020距市中心2km區域內的人口數大約為229100.(2)當p(r)=1-2-e0r2時,N=f22nx1.2e一0-2r-rdr=2.4n02re一o.2r(?e一0-2r=2.4n-2.4nJdr-0.20-0.20=-24ne一0.4+12n0.2丿=-24ne一0-4+(-60ne一0-4+60n)q11.6020距

5、市中心2km區域內的人口數大約為1160200.第五步：將r(t)二5x104+1051,h(t)二e/4()及T=10，P（0）=I。7代入（1）式得：P(10)=h(10)P(0)+f10h(10-t)r(t)dt0=107e-i/4+e-i/4!5x104f10e-t/40dt+105f101e1/40d11L00=107e-1/4+2x106e-1/4e一t/40+4x106e-1/4te-1/40010-160 x107e-1/4et/400=2x106(1eJ)+107(17xe-1-12)1.28x1072010年時該城市大約有人口1280萬.模型評價和說明人口統計模型（I）中兩個人口密度有一個共同特點P(r)0，即隨著r的增大,P（r）減少，這是符合實際的另外，需要指出的是人口密度