1、專題19：實際問題與二次函數-2021年廣東地區中考數學真題試卷與模擬試題精選匯編一、單選題1（2021廣東中考真題試卷）設O為坐標原點，點A、B為拋物線上的兩個動點，且連接點A、B，過O作于點C，則點C到y軸距離的最大值（ ）ABCD1A設A(a，a)，B(b，b)，求出AB的解析式為，進而得到OD=1，由OCB=90可知，C點在以OD的中點E為圓心，以為半徑的圓上運動，當CH為圓E半徑時最大，由此即可求解解：如下圖所示：過C點作y軸垂線，垂足為H，AB與x軸的交點為D，設A(a，a)，B(b，b)，其中a0，b0，OAOB，即，設AB的解析式為：，代入A(a，a)，解得：，即 ，C點在以O

2、D的中點E為圓心，以為半徑的圓上運動，當CH為圓E的半徑時，此時CH的長度最大，故CH的最大值為，故選：A【點評】本題考查了二次函數的性質，圓的相關知識等，本題的關鍵是求出AB與y軸交點的縱坐標始終為1，結合，由此確定點E的軌跡為圓進而求解2（2021廣東廣州市九年級二模）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點在直線上運動，設的面積為，則下列圖象中，能反映與的函數關系的是（ ）ABCDC根據題意得出臨界點P點橫坐標為1時，APO的面積為0，設直線與y軸交于點B，則B(0，2)，連接AB，利用割補法，得到S與m的函數，進而即可得到答案解：點P（m，n）在直線yx2上運動，當m1時，n1，即P點

3、在直線AO上，此時S0，設直線與y軸交于點B，則B(0，2)，連接AB，點A的坐標為，B(0，2)，是等腰直角三角形，且，當m1時，SAPO22-2m222m，S與m是一次函數關系，同理：當m1時，SAPO2m2，故S與m是一次函數關系，只有選項C符合題意故選：C【點評】此題主要考查了動點問題的函數圖象，根據題意，得到S與m的函數解析式，是解題的關鍵3（2021廣東佛山市九年級二模）如圖，矩形中，點從點出發，沿方向移動，連接，過作交邊于點，設點走的路程為，線段的長度為，則與之間函數圖象大致為（ ）ABCDB分兩種情況：當點P在BC邊上時，當點P在CD邊上時，分別求出y關于x的函數表達式，進而即

4、可得到答案解：當點P在BC邊上時，1+2=90，2+3=90，1=3，又B=C，即：，=（0 x6），當點P在CD邊上時，y=CP=x-6（6x10），符合題意的圖像是：故選B【點評】本題主要考查相似三角形的判定和性質，二次函數和一次函數的圖像，掌握分類討論思想方法以及相似三角形的判定和性質，是解題的關鍵4（2021廣東深圳市九年級二模）如圖，為直角三角形，四邊形為矩形，且點、在同一條直線上，點與點重合以每秒的速度沿矩形的邊向右平移，當點與點重合時停止設與矩形的重疊部分的面積為，運動時間能反映與之間函數關系的大致圖象是（ ）ABCDA由勾股定理求出AB、AC的長，進一步求出ABC的面積，根據移

5、動特點有三種情況，分別求出每種情況y與x的關系式，利用關系式的特點（是一次函數還是二次函數）就能選出答案解：已知，由勾股定理得：，四邊形為矩形，此題有三種情況：（1）當時，交于，如圖，即，解得：，所以，拋物線開口向上；所以所選答案C錯誤，答案D錯誤，（2）當時，如圖，此時，（3）當時，如圖，設的面積是，的面積是，與（1）類同，同法可求，拋物線開口向下，所以答案A正確，答案B錯誤，故選：A【點評】本題主要考查了一次函數，二次函數的性質三角形的面積公式等知識點，解此題的關鍵是能根據移動規律把問題分成三種情況，并能求出每種情況的y與x的關系式5（2021廣東佛山市九年級一模）如圖，ABC中， AB=

6、10，tanA=12點P是斜邊AB上一個動點過點P作PQAB， 垂足為P， 交邊AC(或邊CB) 于點Q， 設AP=x，APQ的面積為y，則y與x之間的函數圖象大致為（ ）A B C DB分點Q在AC上和BC上兩種情況進行討論即可解：當點Q在AC上時， tanA=12，AP=xPQ=12x，y=12APPQ=12x12x=14x2當點Q運動到點C時，CQ：AP=12，根據勾股定理可得AP=8，當x=8時，y=14x2=16當點Q在BC上時，如下圖所示：PQAB,ACB=QPB AP=x，AB=10，tanA=12BP=10-x，PQ=2BP=20-2x，y=12APPQ=12x（20-2x）=

7、-x2+10 x該函數圖象前半部分是拋物線開口向上，后半部分也為拋物線開口向下故選：B【點評】本題主要考查了動點問題的函數圖象，函數圖象應用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力6（2021廣東中山市九年級一模）如圖，動點P從點A出發，沿線段AB運動至點B后，立即按原路返回，點P在運動過程中速度不變，則以點B為圓心，線段BP長為半徑的圓的面積S與點P的運動時間t的函數圖象大致為（ ）ABCDB解析動點P的運動過程，采用定量解析手段，求出S與t的函數關系式，根據關系式可以得出結論：不妨設線段AB長度為1個單位，點P的運動速度為1個單位，則：（

8、1）當點P在AB段運動時，PB=1t，（0t1）；（2）當點P在BA段運動時，PB=t1，（1t2）綜上所述，整個運動過程中，S與t的函數關系式為：（0t2），這是一個二次函數，其圖象為開口向上的一段拋物線結合題中各選項，只有B符合要求故選B7（2021廣東華僑中學九年級二模）如圖，已知的半徑為3，弦，為上一動點（點與點、不重合），連接并延長交于點，交于點，為上一點，當時，則的最大值為（ ）A4B6C8D12C如圖（見解析），先利用解直角三角形可得，再根據圓周角定理可得，然后根據相似三角形的判定與性質可得，從而可得，設，從而可得，最后利用二次函數的性質求解即可得解：如圖，延長交于點，連接，為的

9、半徑，在中，即，由圓周角定理得：，在和中，即，設，則，且，由二次函數的性質可知，在內，當時，取最大值，最大值為4，即的最大值為4，則的最大值為，故選：C【點評】本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質、二次函數的幾何應用等知識點，通過作輔助線，構造相似三角形和直角三角形是解題關鍵8（2021廣東深圳市南山學校九年級一模）如圖，正方形的邊長為a，點E在邊上運動（不與點A，B重合），點F在射線上，且，與相交于點G，連接、則下列結論：；的周長為；的面積的最大值是；當時，G是線段的中點其中正確結論的個數是（）A2B3C4D5B正確如圖1中，在BC上截取BHBE，連接EH證明FAEEHC（SAS）即

10、可解決問題錯誤如圖2中，延長AD到H，使得DHBE，則CBECDH（SAS），再證明GCEGCH（SAS）即可解決問題正確設BEx，則AEax，AFx，構建二次函數，利用二次函數的性質解決最值問題正確當時，設DGx，則EGx，利用勾股定理構建方程可得x0.5a即可解決問題解：如圖1中，在BC上截取BHBE，連接EHBEBH，EBH90，EHBE，AFBE，AFEH，DAMEHB45，BAD90，FAEEHC135，BABC，BEBH，AEHC，FAEEHC（SAS），EFEC，AEFECB，ECHCEB90，AEFCEB90，FEC90，ECFEFC45，故正確，如圖2中，延長AD到H，使得D

11、HBE，則CBECDH（SAS），ECBDCH，ECHBCD90，ECGGCH45，CGCG，CECH，GCEGCH（SAS），EGGH，GHDGDH，DHBE，EGBEDG，故錯誤，AEG的周長AEEGAGAEAHADDHAEAEEBADABAD2a，故錯誤，設BEx，則AEax，AFx，SAEF（ax）xx2ax（x2axa2a2）（xa）2a2，0，xa時，AEF的面積的最大值為a2故正確，當BEa時，設DGx，則EGxa，在RtAEG中，則有（xa）2（ax）2（a）2，解得：x，AGGD，故正確，正確，正確結論的個數是3個，故選B【點評】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，

12、二次函數的應用等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線構造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題9（2021廣東廣州市西關外國語學校九年級一模）如圖，RtABC中，C90，AB5cm，AC4cm，點P從點A出發，以1cm/s的速度沿AC向點C運動，同時點Q從點A出發，以2cm/s的速度沿ABC向點C運動，直到它們都到達點C為止若APQ的面積為S（cm2），點P的運動時間為t（s），則S與t的函數圖象是（）ABCDD分兩種情況討論：當時，過作交于點，；當時，解：當時，點在上，過作交于點，中，當時，點在上，綜上所述，正確的圖象是故選：D【點評】本題考查動點運動，三角形面積點是點運動的分界點，將

13、運動過程分兩種情況進行討論是解題的關鍵10（2021廣東佛山市九年級一模）如圖，中，點P是斜邊AB上任意一點，過點P作，垂足為P，交邊或邊于點Q，設，的面積為y，則y與x之間的函數圖象大致是ABCDD【分析】首先過點C作CDAB于點D，由ABC中，ACB=90，A=30，可求得B的度數與AD的長，再分別從當012時與當12x16時，去分析求解即可求得答案【詳解】ACB=90，A=30，AB=16，B=60，BC=AB=8，BCD=30，BD=BC=4，AD=ABBD=12如圖1，當0AD12時，AP=x，PQ=APtan30=x，y=xx=x2；如圖2：當12x16時，BP=ABAP=16x，

14、PQ=BPtan60=（16x），y=x（16x）=，該函數圖象前半部分是拋物線開口向上，后半部分也為拋物線開口向下，故選D本題考查了動點問題的函數圖象，運用分類討論思想、結合圖形進行解題是關鍵.二、填空題11（2021廣東佛山市九年級二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交于、兩點，與軸交于點，點是拋物線上位于直線下方一動點，當時，點的坐標為_(2，-3)作點C關于x軸的對稱點，連接B，則ABC=AB，從而得BCP，利用待定系數法，先求出直線B的解析式，再求出直線CP的解析式，進而即可求解解：作點C關于x軸的對稱點，連接B，則ABC=AB，CB=2ABC，=CB，BCP，拋物線與軸相交

15、于、兩點，與軸交于點，C的坐標為：（0，-2），B(4，0)，(0，2)，設直線B的解析式為：y=kx+b，把(0，2)，B(4，0)代入y=kx+b，得：，解得：，直線B的解析式為：y=x+2，BCP，設直線CP的解析式為：y=x+m，把C（0，-2）代入y=x+m，得：m=-2，直線CP的解析式為：y=x-2，x-2=，解得：x1=2，x2=0（舍去），P(2，-3)故答案是：(2，-3)【點評】本題主要考查二次函數與一次函數圖像的綜合，作點C關于x軸的對稱點，熟練掌握待定系數法，是解題的關鍵12（2021廣東廣州市九年級一模）如圖，在矩形ABCD中，AB4，AD5，E是CD邊上一點，連結

16、AE，將矩形ABCD沿AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上點F處，延長AE交BC的延長線于點G，連結DG點M、N分別是線段AG，DG上的動點（與端點不重合），且DMNDAM，以下結論：CE2；DM2DNAF；DN最小值為1；若DMN為等腰三角形，則點M的位置有三種不同情況其中正確的是_設，則，由勾股定理可求出；證出，證明，由相似三角形的性質可得出；設，證明，由相似三角形的性質得出，可得出y與x的函數關系式，由二次函數的性質可得出答案；由題意可知，為等腰三角形，有或兩種情況解：四邊形ABCD為矩形，由翻折可知：，設，則，在直角中，在直角中，則有，解得：，故錯誤；四邊形ABCD是矩形，四邊形AFGD是

17、平行四邊形，正確；如圖，設，在直角中，在直角中，時，y由有最小值1，DN的最小值是1，故正確；由可知，N不與點G重合，為等腰三角形時，有或兩種情況，故不正確故【點評】本題考查了矩形的性質，翻折變換，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，學會用分類討論的思想思考問題13（2021廣東肇慶市九年級一模）如圖，拋物線yx24與x軸交于 A、B兩點，P是以點C（0，3）為圓心，2為半徑的圓上的動點，Q是線段PA的中點，連接OQ，則線段OQ的最小值是_連接BP，如圖，先解方程x240得A（4，0），B（4，0），再判斷OQ為ABP的中位線得到OQ

18、BP，利用點與圓的位置關系，連接BC交圓于P時，PB最小，然后計算出BP的最小值即可得到線段OQ的最小值解：連接BP，如圖，當y0時，x240，解得x14，x24，則A（4，0），B（4，0），Q是線段PA的中點，OQ為ABP的中位線，OQBP，當BP最小時，OQ最小，連接BC交圓于P時，PB最小，BC5，BP的最小值523，線段OQ的最小值為故【點評】本題考查了點與圓的位置關系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系也考查了三角形中位線14（2021廣東深圳市九年級其他模擬）如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=4,D為邊A

19、B上一動點(B點除外)，以CD為一邊作正方形CDEF，連接BE，則BDE面積的最大值為_.8如圖，過點A作AHBC于H，過點E作EMAB于M，過點C作CNAB于N，根據等腰三角形的性質以及三角形的面積可求出CN=4，繼而根據勾股定理求出AN=3，從而求得BN的長，然后證明EDMDCN，根據全等三角形的性質可得EM=DN，設BD=x，則DN=8-x，繼而根據三角形的面積公式可得SBDE=，根據二次函數的性質即可求得答案.如圖，過點A作AHBC于H，過點E作EMAB于M，過點C作CNAB于N，AB=AC=5，BC=4，AHBC，BH=BC=2，AH=，SABC=，即，CN=4，在RtCAN中，AN

20、C=90，AN=3，BN=BA+AN=8，四邊形CDEF是正方形，EDM+CDN=EDC=90，ED=CD，CDN+NCD=90，EDM=DCN，又EMD=DNC=90，EDMDCN，EM=DN，設BD=x，則DN=8-x，SBDE=，SBDE的最大值為8， 故答案為8.【點評】本題考查了等腰三角形的性質，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，二次函數的應用等，綜合性質較強，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練運用相關知識是解題的關鍵.三、解答題15（2021廣東深圳市九年級一模）某公司銷售一種商品，成本為每件20元，經過市場調查發現，該商品的日銷售量y（件）與銷售單價x（元）是一次函數關系，其

21、銷售單價、日銷售量的三組對應數值如下表：銷售單價x（元）406080日銷售量y（件）806040（1）求y與x的關系式；（2）若物價部門規定每件商品的利潤率不得超過100%，設日利潤為w元，求公司銷售該商品獲得的最大日利潤；（3）若物價部門規定該商品銷售單價不能超過a元，并且由于某種原因，該商品每件成本變成了之前的2倍，在日銷售量y（件）與銷售單價x（元）保持（1）中函數關系不變的情況下，該商品的日銷售最大利潤是1500元，求a的值（1）yx120；（2）1600元；（3）a=70（1）設函數的表達式為ykxb，利用待定系數法解題；（2）設公司銷售該商品獲得的最大日利潤為w元，利用總利潤=單利

22、銷售量列函數關系式，化為頂點解析式，根據二次函數的增減性解題即可；（3）當w最大1500時，解得x的值，再由x的取值范圍分兩種情況討論a80或a80時，根據二次函數的增減性解題即可（1）設函數的表達式為ykxb，將（40，80）、（60，60）代入上式得：，解得，故y與x的關系式為yx120；（2）公司銷售該商品獲得的最大日利潤為w元，則w（x20）y（x20）（x120）（x70）22500，x200，x1200，x2020100%，20 x40，10，故拋物線開口向下，故當x70時，w隨x的增大而增大，當x40（元）時，w的最大值為1600（元），故公司銷售該商品獲得的最大日利潤為1600

23、元；（3）當w最大1500時，1500，解得x170，x290，x2200，x40，又xa，40 xa有兩種情況，a80時，即40 xa，在對稱軸左側，w隨x的增大而增大，當xa70時，w最大1500，a80時，即40 xa，在40 xa范圍內w最大16001500，這種情況不成立，綜上所述，a70【點評】本題考查二次函數的實際應用，涉及一次函數的應用、待定系數法解一次函數的解析式等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵16（2021廣東佛山市九年級月考）如圖，在直角三角形中，作的內接矩形設，求x取何值時矩形的面積最大？x取15時矩形的面積最大設矩形為S，證明，利用相似比得到，則用

24、x表示出，再利用矩形的面積公式得到，然后利用二次函數的性質解決問題解：設矩形為S，四邊形為矩形，即，當時，S有最大值，最大值為300即x取15時矩形的面積最大【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形，靈活運用相似三角形的性質表示線段之間的關系；也考查了矩形的性質和二次函數的性質17（2021廣東陽江市九年級一模）某花店用4500元購進一批花卉和其他植物共2000株進行栽培，已知花卉幼苗每株2元，其他植物幼苗每株3元（1）購進花卉和其他植物幼苗各

25、多少株？（2）花店將栽培后的花卉和其他植物全部搭配成500個桌面裝飾盆栽若每個盆栽以15元銷售，則可以全部賣完；若每個盆栽漲價1元，則花店每天少銷售10個在不考慮其他費用的情況下，每個盆栽的售價為多少時利潤最高？最高利潤是多少？（1）購進花卉幼苗1500株，其他植物幼苗500株；（2）售價37元時利潤最高為7840元（1）設購進花卉幼苗株，其他植物幼苗株根據題意可列出關于x、y的二元一次方程組，解出x、y即可（2）由題意可求出每個盆栽的成本設每個盆栽的售價為元時，利潤為元，即可列出w關于a的二次函數解析式，求出其最值即可（1）設購進花卉幼苗株，其他植物幼苗株依題意，得：，解得故購進花卉幼苗15

26、00株，其他植物幼苗500株（2）每個盆栽的成本為：（元）設每個盆栽的售價為元時，利潤為元，則故當 時，有最大值，最大值為7840元【點評】本題考查二元一次方程組和二次函數的實際應用根據題意找出等量關系是解答本題的關鍵18（2021廣州大學附屬中學九年級一模）某超市購進一批時令水果，成本為10 元/千克，根據市場調研發現，這種水果在未來30天的銷售單價m(元/千克)與時間x(天)之間的函數關系式為（且為整數），且其日銷售量y (千克)與時間x(天)之間的函數關系如圖所示：（1）求每天銷售這種水果的利潤W(元)與x(天)之間的函數關系式；（2）問哪一天銷售這種水果的利潤最大？最大日銷售利潤為多少

27、？（1）（且為整數）； （2）第22或23天，最大利潤為903元；（1）由題意設銷售數量把代入函數解析式，可得再利用總利潤等于銷售數量千克乘以每千克水果的利潤元，從而可得答案；（2）利用（1）中的二次函數解析式，結合且為整數，利用二次函數的性質求解最大值即可解：（1）由題意設銷售數量 把代入函數解析式； 解得： （且為整數）；（2）， 拋物線的對稱軸為： 且為整數， 當或時，取得最大值，最大值為：元【點評】本題考查的是一次函數與二次函數的應用，二次函數的性質，掌握利用二次函數的性質求解最大利潤是解題的關鍵19（2021廣東深圳市九年級一模）在2020年新冠肺炎抗疫期間，小明決定在淘寶上銷售一批

28、口罩經市場調研：某類型口罩進價每袋為20元，當售價為每袋25元時，銷售量為250袋，若銷售單價每提高1元，銷售量就會減少10袋（1）直接寫出小明銷售該類型口罩銷售量y（袋）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；每天所得銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式（2）若小明想每天獲得該類型口罩的銷售利潤2000元時，則銷售單價應定為多少元？（3）若每天銷售量不少于100袋，且每袋口罩的銷售利潤至少為17元，則銷售單價定位多少元時，此時利潤最大，最大利潤是多少？（1）； （2）30元或40元； （3）銷售單價定位元時，此時利潤最大，最大利潤是元（1）根據“若銷售單價每提高1元，銷售量就會減少

29、10袋，當銷售單價為元時，銷售量為袋”，即可得出y關于x的函數關系式，然后再根據銷售利潤w（元）等于銷售數量乘以每袋利潤可得銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式； （2）代入w=2000，建立一元二次方程，解方程求出x的值，由此即可得出結論； （3）根據題意先求解銷售單價的范圍，利用配方法將w關于x的函數關系式變形為：，根據二次函數的性質即可解決最值問題解：（1）根據題意得，； 則， 故 （2）w=2000， ， 解得： 答：銷售單價應定為30元或40元，小明每天獲得該類型口罩的銷售利潤2000元； （3）根據題意得， ， x的取值范圍為：， 函數， 對稱軸為x=35， 當，隨的

30、增大而減小，當x=37時，w最大值=2210 答：銷售單價定位每袋37元時，此時利潤最大，最大利潤是2210元【點評】本題考查了一次函數的應用，二次函數的應用，一元一次不等式組的應用，一元二次方程的解法，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，掌握利用二次函數的性質求最值是解題的關鍵20（2021廣東深圳市九年級二模）紅燈籠，象征著闔家團圓，紅紅火火，掛燈籠成為我國的一種傳統文化小明在春節前購進甲、乙兩種紅燈籠，用3120元購進甲燈籠與用4200元購進乙燈籠的數量相同，已知乙燈籠每對進價比甲燈籠每對進價多9元（1）求甲、乙兩種燈籠每對的進價；（2）經市場調查發現，乙燈籠每對售價50元時，每天

31、可售出98對，售價每提高1元，則每天少售出2對：物價部門規定其銷售單價不高于每對65元，設乙燈籠每對漲價x元，小明一天通過乙燈籠獲得利潤y元求出y與x之間的函數解析式；乙種燈籠的銷售單價為多少元時，一天獲得利潤最大？最大利潤是多少元？（1）26,35；（2）y2x2+68x+1470；15，2040.1）設甲種燈籠單價為x元/對，則乙種燈籠的單價為（x+9）元/對，根據題意列出分式方程即可求解；（2）根據y（50+x35）（982x）2x2+68x+1470，根據二次函數的對稱軸與物價部門規定其銷售單價不高于每對65元，即可求出最大利潤.解：（1）設甲種燈籠單價為x元/對，則乙種燈籠的單價為（

32、x+9）元/對，由題意得：，解得x26，經檢驗，x26是原方程的解，且符合題意，x+926+935，答：甲種燈籠單價為26元/對，乙種燈籠的單價為35元/對（2）y（50+x35）（982x）2x2+68x+1470，答：y與x之間的函數解析式為：y2x2+68x+1470a20，函數y有最大值，該二次函數的對稱軸為：x17，物價部門規定其銷售單價不高于每對65元，x+5065，x15，x17時，y隨x的增大而增大，當x15時，y最大2040答：乙種燈籠的銷售單價為15元時，一天獲得利潤最大，最大利潤是2040元【點評】此題主要考查分式方程與二次函數的應用，解題的關鍵是根據題意找到等量關系進行

33、求解.21（2021廣東深圳市九年級三模）某商家經銷一種綠茶，用于裝修門而已投資3000元，已知綠茶每千克成本50元，在第一個月的試銷時間內發現，銷量w（）隨銷售單價x（元/）的變化而變化，滿足函數關系式，若該綠茶的月銷售利潤為y（元）（銷售利潤=單價銷售量-成本-投資）（1）求y與x之間的函數關系式（不必寫出變量x的取值范圍）并求出x為何值時，y的值最大？（2）若在第一個月里，按使y獲得最大值的銷售單價進行銷售后，在第二個月里受物價部門干預，銷售單價不得高于90元，要想在全部收回投資的基礎上使第二個月的利潤達到1700元，那么第二個月里應該確定銷售單價為多少元？（1）y=-2（x-85）2-

34、550，當x=85時，y的值最大為-550元；（2）每千克75元（1）根據題意可以得到y與x之間的函數關系式，然后將函數關系式化為頂點式，即可得到y的最大值；（2）根據第一問可以得到第一個月獲得的最大利潤，然后根據題意，即可得到相應的方程，從而可以得到第二個月里應該將銷售單價定為多少解：（1）由題意可得，y與x的函數關系式為：y=（x-50）w-3000=（x-50）（-2x+240）-3000=-2x2+340 x-15000；y=-2x2+340 x-15000=-2（x-85）2-550，當x=85時，y的值最大為-550元（2）在第一個月里，按使y獲得最大值的銷售單價進行銷售所獲利潤為

35、-550元，第1個月還有550元的投資成本沒有收回要想在全部收回投資的基礎上使第二個月的利潤達到1700元，即y=2250才可以，（x-50）（-2x+240）=2250，解得，x1=75，x2=95根據題意，x2=95不合題意應舍去答：當銷售單價為75元時，可獲得銷售利潤2250元，即在全部收回投資的基礎上使第二個月的利潤達到1700元【點評】本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是明確題意，列出相應的函數解析式，會將函數解析式化為頂點式，求函數的最值，可以根據實際問題確定問題的答案22（2021廣東惠州市九年級二模）為迎接國慶節，某商店購進了一批成本為每件30元的紀念商品經調查發現，該商品每天

36、的銷售量（件與銷售單價（元滿足一次函數關系，其圖象如圖所示（1）求該商品每天的銷售量與銷售單價的函數關系式；（2）若商店按不低于成本價，且不高于60元的單價銷售，則銷售單價定為多少，才能使銷售該商品每天獲得的利潤（元最大？最大利潤是多少？（1）；（2）銷售單價定為55元時，該商店每天獲得的利潤最大，最大利潤是1250元.(1)將點(30，100)、(45,700)代入-次函數表達式,即可求解；(2)由題意得 ,即可求解.（1）設銷售量與銷售單價之間的函數關系式為，將點、代入，得.解得.函數的關系式為： （2）由題意得 ，且30 x60.當時，取得最大值，此時. 銷售單價定為55元時，該商店每天

37、獲得的利潤最大，最大利潤是1250元.【點評】此題主要考查了二次函數的應用、待定系數法求一次函數解析式等知識， 解答時求出函數的解析式是關鍵.23（2021廣東佛山市九年級其他模擬）“綠水青山就是金山銀山”的理念已融入人們的日常生活中，因此，越來越多的人喜歡騎自行車出行某自行車店在銷售某型號自行車時，以高出進價的50%標價已知按標價九折銷售該型號自行車8輛與將標價直降100元銷售7輛獲利相同（1）求該型號自行車的進價和標價分別是多少元？（2）若該型號自行車的進價不變，按（1）中的標價出售，該店平均每月可售出51輛；若每輛自行車每降價20元，每月可多售出3輛，求該型號自行車降價多少元時，每月獲利

38、最大？最大利潤是多少？（1）進價為1000元，標價為1500元；（2）該型號自行車降價80元出售每月獲利最大，最大利潤是26460元分析：（1）設進價為x元，則標價是1.5x元，根據關鍵語句：按標價九折銷售該型號自行車8輛的利潤是1.5x0.98-8x，將標價直降100元銷售7輛獲利是（1.5x-100）7-7x，根據利潤相等可得方程1.5x0.98-8x=（1.5x-100）7-7x，再解方程即可得到進價，進而得到標價；（2）設該型號自行車降價a元，利潤為w元，利用銷售量每輛自行車的利潤=總利潤列出函數關系式，再利用配方法求最值即可詳解：（1）設進價為x元，則標價是1.5x元，由題意得：1.

39、5x0.98-8x=（1.5x-100）7-7x，解得：x=1000，1.51000=1500（元），答：進價為1000元，標價為1500元；（2）設該型號自行車降價a元，利潤為w元，由題意得：w=（51+3）（1500-1000-a），=-（a-80）2+26460，-0，當a=80時，w最大=26460，答：該型號自行車降價80元出售每月獲利最大，最大利潤是26460元點睛：此題主要考查了二次函數的應用，以及元一次方程的應用，關鍵是正確理解題意，根據已知得出w與a的關系式，進而求出最值24（2021廣東東莞市九年級其他模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，已知矩形OABC的頂點A（6，0），C

40、（0，2），將矩形OABC繞點O逆時針旋轉得到矩形ODEF，使得點A的對應點D恰好落在對角線OB上，OE交BC于點G（1）求證：BGO是等腰三角形；（2）求點E的坐標；（3）如圖2，矩形ODEF從點O出發，沿OB方向移動，得到矩形ODEF，當移動到點O與點B重合時，停止運動，設矩形ODEF與OBC重疊部分的面積為y，OOx，求y關于x的函數關系式（1）見解析；（2）E點坐標為（2，6）；（3）當0 x6，y6x2，當46x，y6x2，當，y（1）根據題意易證GOB=GBO=30，即GO=GB，從而證明BGO是等腰三角形；（2）作EHx軸于點H，求得OH和EH的長度，即可得到點E的坐標；（3）由

41、直角三角形面積公式求得SOMOx2，SNDB，SOCB6，再分情況討論，即可得出答案解：（1）由題意知：tanCBO，CBO30，AOBC，BOACBO30，根據旋轉的性質得， GOBGBO30，GOGB，BGO是等腰三角形；（2）在RtBCO中，OC2，BCOA6，OBOE4，作EHx軸于點H，BOAEOB30，EOHBOA+EOB60，在RtEOH中，OE4，OH2，EH6，故E點坐標為（2，6）；（3）OOx，OD6，DB4x6，D與B點重合時，則有DB0，4x6=0，解得x =46 令FO與CO交點為點M，ED與CB交點為點N，如圖2，SOMOx2，SNDB，SOCB6，當0 x6，y

42、6x2，當46x，y6x2，當，y【點評】本題是主要考查四邊形的綜合題目，熟知矩形的性質，等腰三角形和直角三角形的性質是解題的關鍵25（2021廣東深圳市九年級三模）在平面直角坐標系中，O為原點，四邊形ABCD是矩形，點A（0，2），C（2，0），點D是對角線AC上一點（不與A、C重合），連接BD，作DEBD，交x軸于點E，以線段DE、DB為鄰邊作矩形BDEF（1）是否存在這樣的點D，使得DEC是等腰三角形？若存在，請求出AD的長；若不存在，請說明理由；（2）求證：；（3）設ADx，矩形BDEF的面積為y，求y關于x的函數關系式，并求出當x取何值時，y有最小值？（1）存在，2或；（2）見解析；

43、（3），當x=3時，y有最小值（1）由銳角三角函數可求ACO30，ACB60，分兩種情況討論，由等腰三角形的性質可求解；（2）通過證明BMDDNE，可得結論；（3）由勾股定理可求BD2的值，由面積公式可求解析式，即可求解解：（1）存在；理由如下：點A（0，2），C（2，0），OA2，OC2，tanACO，ACO30，ACB60，分兩種情況：當E在線段CO上時，DEC是等腰三角形，觀察圖像可知，只有EDEC，如圖1所示：DCEEDC30，DBCBCD60，DBC是等邊三角形，DCBC2，在RtAOC中，ACO30，OA2，AC2AO4，ADACCD422，當AD2時，DEC是等腰三角形；當E在O

44、C的延長線上時，DCE是等腰三角形，只有CDCE，DBCDECCDE15，如圖2所示：ABDADB75，ABAD2，綜上所述，滿足條件的AD的值為2或2；（2）證明：過點D作MNAB交AB于M，交OC于N，如圖3所示：設DNa，ACO30，BDE90，BDM+NDE90，BDM+DBM90，DBMEDN，BMDDNE90，BMDDNE，；（3）作DHAB于H，如圖4所示：在RtADH中，ADx，DAHACO30，DHADx，BH2x，在RtBDH中，BD2，由（2）得，矩形BDEF的面積為，0，x3時，y有最小值為，即當點D運動到距A點的距離為3時，y有最小值【點評】本題是四邊形綜合題，考查了

45、銳角三角函數，矩形的性質，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，二次函數的性質等知識，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵26（2021廣東東莞市九年級一模）如圖1，在平面直角坐標系中，已知矩形的頂點、，將矩形繞點逆時針旋轉得到矩形，使得點的對應點恰好落在對角線上，交于點（1）求證：是等腰三角形；（2）求點的坐標；（3）如圖2，矩形從點出發，沿方向移動，得到矩形，當移動到點與點重合時，停止運動，設矩形與重疊部分的面積為，求關于的函數關系式（1）證明見解析；（2）；（3）（1）根據題意易證，即，從而證明是等腰三角形；（2）作軸于點，求得和的長度，即可得到點的坐標；（3）由直角三角形面積公式求得，再分情況討論，