1、四、二次曲面第三節(jié) 曲面及其方程 一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面 三、柱面一、曲面方程的概念求到兩定點(diǎn)A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離化簡(jiǎn)得即引例 解 設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為的點(diǎn)的軌跡方程. 說(shuō)明: 動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段 AB 的垂直平分面.顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程, 不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.軌跡方程定義1. 如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系:(1) 曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形.(2) 不在曲面 S 上

2、的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,曲面研究的兩個(gè)基本問題 :(1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),求曲面方程.(2) 已知方程時(shí),研究它所表示的幾何形狀( 必要時(shí)需作圖 ). 故所求方程為例1 求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)軌跡方程. 特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解 設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為即依題意距離為 R 的表示上(下)球面 .例2 研究方程 解 配方得此方程表示:一般地如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過(guò)配方研究它的圖形.表示怎樣的曲面. 半徑為的球面.球心為 其圖形可能是一個(gè)球面, 或點(diǎn), 或虛軌跡.定義2 一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面 繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸 .

3、例如 :建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),在曲面上任取一點(diǎn)給定 yoz 面上曲線 C: 則有此時(shí)有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到思考：當(dāng)曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？例3 試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn), 旋轉(zhuǎn)軸為z 軸, 半頂角為 的圓錐面方程. 解 在yoz面上直線L 的方程為繞z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方例4. 求坐標(biāo)面 xoz 上的雙曲線分別繞 x軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面方程為繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面方程為這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.三、柱面引例 分析方程表示怎樣的曲面 .的坐標(biāo)也滿足方程解 在 xoy 面上

4、，表示圓C, 沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面故在空間過(guò)此點(diǎn)作平行 z 軸的直線 l ,稱為圓柱面.對(duì)任意 z ,表示圓柱面.在圓C上任取一點(diǎn) 其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,定義3.平行定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 l形成的軌跡叫做柱面. 表示拋物柱面,母線平行于 z 軸;準(zhǔn)線l為xoy 面上的拋物線.C 叫做準(zhǔn)線, l 叫做母線. 表示母線平行于z 軸的平面. (且 z 軸在平面上)表示母線平行于z 軸的橢圓柱面.一般地,在三維空間二元方程表示柱面.方程母線準(zhǔn)線平行于z 軸在xoy 面x 軸yoz 面xoz 面y 軸圖形四、二次曲面三元二次方程 適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)

5、準(zhǔn)方程,下面僅就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面. (二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 )1. 橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓與的交線為橢圓：同樣及的截痕也為橢圓.(3) 截痕:(4) 當(dāng) ab 時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;當(dāng)abc時(shí)為球面：由看作橢圓 繞 軸旋轉(zhuǎn)而成或2. 拋物面(1) 橢圓拋物面( p , q 同號(hào))特別,當(dāng) p = q 時(shí)為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.zxyoxyzo(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面）( p , q 同號(hào))xyzo3. 雙曲面(1)單葉雙曲面(2) 雙葉雙曲面注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別: 單葉雙曲面雙葉雙曲面4. 橢圓錐面內(nèi)容小結(jié)1. 空間曲面三元方程 球面 旋轉(zhuǎn)曲面如, 曲線繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面: 柱面如,曲面表示母線平行 z 軸的柱面.2. 二次曲面三元二次方程 橢球面 拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面 雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面 橢圓錐面: 斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方 程平行于 y 軸的直線 平行于 yoz 面的平面 圓心在(0,0)半徑為 3 的圓以 z 軸為中心軸的圓柱面平行于 z 軸的