1、8.4 因式分解第8章 整式乘法與因式分解導入新課講授新課當堂練習課堂小結2.公式法七年級數學下（HK）教學課件學習目標1.探索并運用平方差公式和完全平方公式進行因式分解，體會轉化思想（重點）2.能會綜合運用平方差公式和完全平方公式對多項式進行因式分解（難點）導入新課a米b米b米a米(a-b)情境引入如圖，在邊長為a米的正方形上剪掉一個邊長為b米的小正方形，將剩余部分拼成一個長方形，根據此圖形變換，你能得到什么公式？a2- b2=(a+b)(a-b)講授新課用平方差公式進行因式分解一想一想：多項式a2-b2有什么特點？你能將它分解因式嗎？是a,b兩數的平方差的形式)(baba-+=22ba-)

2、(22bababa-+=-整式乘法因式分解兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的乘積.平方差公式：辨一辨：下列多項式能否用平方差公式來分解因式，為什么？符合平方差的形式的多項式才能用平方差公式進行因式分解，即能寫成: ( )2-( )2的形式. （1）x2+y2（2）x2-y2（3）-x2-y2-(x2+y2)y2-x2（4）-x2+y2（5）x2-25y2(x+5y)(x-5y)（6）m2-1(m+1)(m-1)例1 分解因式： aabb( +)(-)a2 - b2 =解:(1)原式=2x32x2x33(2)原式ab典例精析方法總結：公式中的a、b無論表示數、單項式、還是多項式，只

3、要被分解的多項式能轉化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.分解因式：(1)(ab)24a2； (2)9(mn)2(mn)2.針對訓練(2m4n)(4m2n)解：(1)原式(ab2a)(ab2a)(ba)(3ab)；(2)原式(3m3nmn)(3m3nmn)4(m2n)(2mn)若用平方差公式分解后的結果中有公因式，一定要再用提公因式法繼續分解.當場編題，考考你！)(22bababa-+=-2015220142 =（2mn）2 - ( 3xy)2 =(x+z)2 - (y+p)2 =例2 已知x2y22，xy1，求x-y，x，y的值xy2.解：x2y2(xy)(xy)2，xy1，聯立組成二

4、元一次方程組，解得方法總結：在與x2y2，xy有關的求代數式或未知數的值的問題中，通常需先因式分解，然后整體代入或聯立方程組求值.例3 計算下列各題：(1)1012992； (2)53.524-46.524.解：(1)原式(10199)(10199)400；(2)原式4(53.5246.52)=4(53.546.5)(53.546.5)41007=2800.方法總結：較為復雜的有理數運算，可以運用因式分解對其進行變形，使運算得以簡化.例4 求證：當n為整數時，多項式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除即多項式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除證明：原式=(2n+1+2n-1)

5、(2n+1-2n+1)=4n2=8n，n為整數，8n被8整除，方法總結：解決整除的基本思路就是將代數式化為整式乘積的形式，然后分析能被哪些數或式子整除用完全平方公式分解因式二你能把下面4個圖形拼成一個正方形并求出你拼成的圖形的面積嗎？同學們拼出圖形為：aabbababababab這個大正方形的面積可以怎么求？a2+2ab+b2（a+b）2 =ababaababb（a+b）2 a2+2ab+b2=將上面的等式倒過來看，能得到： a2+2ab+b2 a22ab+b2 我們把a+2ab+b和a-2ab+b這樣的式子叫作完全平方式.觀察這兩個式子：（1）每個多項式有幾項？（3）中間項和第一項，第三項有

6、什么關系？（2）每個多項式的第一項和第三項有什么特征？三項這兩項都是數或式的平方，并且符號相同是第一項和第三項底數的積的2倍完全平方式的特點： 1.必須是三項式（或可以看成三項的）； 2.有兩個同號的數或式的平方； 3.中間有兩底數之積的2倍. 完全平方式:簡記口訣： 首平方，尾平方，首尾兩倍在中央.凡具備這些特點的三項式，就是完全平方式，將它寫成完全平方形式，便實現了因式分解.2ab+b2=(a b)a2首2+尾22首尾(首尾)2兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和(或差)的平方. 3.a+4ab+4b=( )+2 ( ) ( )+( )=( ) 2.m-6m+9

7、=( ) - 2 ( ) ( )+( ) =( ) 1. x+4x+4= ( ) +2( )( )+( ) =( )x2x + 2 aa 2ba + 2b2b對照 a2ab+b=(ab)，填空：mm - 33x2 m3 下列各式是不是完全平方式？ （1）a24a+4; （2）1+4a; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25.是（2）因為它只有兩項；不是（3）4b與-1的符號不統一；不是分析：不是是（4）因為ab不是a與b的積的2倍.例5 如果x2-6x+N是一個完全平方式,那么N是( ) A . 11 B. 9 C. -11 D. -9B解析：根據完全平

8、方式的特征，中間項-6x=2x(-3),故可知N=(-3)2=9.變式訓練 如果x2-mx+16是一個完全平方式,那么m的值為_.解析：16=(4)2，故-m=2(4)，m=8.8典例精析方法總結：本題要熟練掌握完全平方公式的結構特征， 根據參數所在位置，結合公式，找出參數與已知項之間的數量關系，從而求出參數的值.計算過程中，要注意積的2倍的符號，避免漏解例6 分解因式：（1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2.分析：(1)中， 16x2=(4x)2, 9=3,24x=24x3, 所以16x2+24x+9是一個完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 24x3

9、 + (3)2.2ab+b2a2(2)中首項有負號，一般先利用添括號法則，將其變形為-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式.解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x + 3)2；= (4x)2 + 24x3 + (3)2 (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2.例7 把下列完全平方公式分解因式：(1)1002210099+99；(2)3423432162. 解：(1)原式=（10099) (2)原式(3416)2本題利用完全平方公式分解因式，可以簡化計算，=1.2500.例8 已知x24xy210y290，求x2y22xy1的值11

10、2121.解：x24xy210y290，(x2)2(y5)20.(x2)20，(y5)20，x20，y50，x2，y5，x2y22xy1(xy1)2幾個非負數的和為0，則這幾個非負數都為0.方法總結：此類問題一般情況是通過配方將原式轉化為非負數的和的形式，然后利用非負數性質解答問題1.下列多項式中能用平方差公式分解因式的是()Aa2(b)2 B5m220mnCx2y2 Dx29當堂練習D2.分解因式(2x+3)2 -x2的結果是（）A3(x2+4x+3) B3(x2+2x+3)C(3x+3)(x+3) D3(x+1)(x+3) D3.若a+b=3，a-b=7，則b2-a2的值為（）A-21 B

11、21 C-10 D10A4.把下列各式分解因式：(1) 16a2-9b2=_; (2) (a+b)2-(a-b)2=_; (3) -a4+16=_.(4a+3b)(4a-3b)4ab(4+a2)(2+a)(2-a)5.若將(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，則n的值是_.46.把下列多項式因式分解. （1）x212x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (3) y2+2y+1x2; (2)原式=2(2a+b) 22(2a+b)1+(1) =(4a+2b 1)2;解：(1)原式 =x22x6+(6)2 =(x6)2; (3)原式=(y+1) x =(y+1+x)(y+1x).7.已知4m+n=40，2m-3n=5求(m+2n)2-(3m-n)2的值原式=-405=-200解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)=(4m+n)(3n-2m)=-(4m