1、PAGE 16專題22 數(shù)列的概念與表示法1了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)2了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)熱點題型一 由數(shù)列的前幾項歸納數(shù)列的通項公式例1、【2017課標3，理14】設等比數(shù)列滿足a1 + a2 = 1, a1 a3 = 3，則a4 = _.【答案】【變式探究】根據(jù)下面各數(shù)列的前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：(1)1,7，13,19，；(2)eq f(2,3)，eq f(4,15)，eq f(6,35)，eq f(8,63)，eq f(10,99)，；(3)eq f(1,2)，2，eq f(9,2)，8，eq f(25,2)，；(4)5,

2、55,555,5 555，。解析：(1)偶數(shù)項為正，奇數(shù)項為負，故通項公式必含有因式(1)n，觀察各項的絕對值，后一項的絕對值總比它前一項的絕對值大6，故數(shù)列的一個通項公式為an(1)n(6n5)。(2)這是一個分數(shù)數(shù)列，其分子構成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為13,35,57,79,911，每一項都是兩個相鄰奇數(shù)的乘積。知所求數(shù)列的一個通項公式為aneq f(2n,2n12n1)。(3)數(shù)列的各項，有的是分數(shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察。即eq f(1,2)，eq f(4,2)，eq f(9,2)，eq f(16,2)，eq f(25,2)，從而可得數(shù)列的一個通項公式為aneq

3、f(n2,2)。(4)將原數(shù)列改寫為eq f(5,9)9，eq f(5,9)99，eq f(5,9)999，易知數(shù)列9,99,999，的通項為10n1，故所求的數(shù)列的一個通項公式為aneq f(5,9)(10n1)。【提分秘籍】用觀察法求數(shù)列的通項公式的方法(1)根據(jù)數(shù)列的前幾項求它的一個通項公式，要遵循先整體再局部再整體的觀察次序，以常見的基本數(shù)列為基礎，如自然數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列、變號數(shù)列(1)n或(1)n1)等，注意觀察項與其項數(shù)n之間的關系，同時，可以采取諸如添項、通分、分割等辦法轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列；(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是不完全歸納法，它蘊含著“從特殊到一般”的

4、思想。 【舉一反三】 下列公式可作為數(shù)列an：1,2,1,2,1,2，的通項公式的是()Aan1 Baneq f(1n1,2)Can2eq blc|rc|(avs4alco1(sinf(n,2) Daneq f(1n13,2)解析：由an2eq blc|rc|(avs4alco1(sinf(n,2)可得a11，a22，a31，a42，。答案：C熱點題型二 由an與Sn的關系求通項an 例2、已知數(shù)列an的前n項和Sn，分別求它們的通項公式an。(1)Sn2n23n。(2)Sn3n1。(2)當n1時，a1S1314，當n2時，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1。當n1時，23112a1

5、，所以aneq blcrc (avs4alco1(4，n1,23n1，n2，nN*。)【提分秘籍】 已知Sn求an的三個步驟(1)先利用a1S1求出a1。(2)用n1替換Sn中n得到一個新的關系，利用anSnSn1(n2)便可求出當n2時an的表達式。(3)對n1時的結果進行檢驗，看是否符合n2時an的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分n1與n2兩段來寫。【舉一反三】 已知數(shù)列an的前n項和Sn3n22n1，則其通項公式為_。熱點題型三 由遞推關系式求通項公式例3根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an的通項公式。(1)a11，an13an2；(2)a11，aneq f(n1

6、,n)an1(n2)；(3)已知數(shù)列an滿足an1an3n2，且a12，求an。解析：(1)an13an2，an113(an1)，eq f(an11,an1)3，數(shù)列an1為等比數(shù)列，公比q3，又a112，an123n1，an23n11。(2)aneq f(n1,n)an1(n2)，an1eq f(n2,n1)an2，a2eq f(1,2)a1。以上(n1)個式子相乘得ana1eq f(1,2)eq f(2,3)eq f(n1,n)eq f(a1,n)eq f(1,n)。(3)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1eq f(n3n1,2)

7、(n2)。當n1時，a1eq f(1,2)(311)2符合公式，aneq f(3,2)n2eq f(n,2)。【提分秘籍】由遞推關系式求通項公式的類型與方法已知數(shù)列的遞推關系，求數(shù)列的通項時，通常用累加、累乘、構造法求解。當出現(xiàn)anan1m時，構造等差數(shù)列；當出現(xiàn)anxan1y時，構造等比數(shù)列；當出現(xiàn)anan1f(n)時，用累加法求解；當出現(xiàn)eq f(an,an1)f(n)時，用累乘法求解。【舉一反三】 (1)在數(shù)列an中，a12，an1anlneq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,n)，則an等于()A2ln n B2(n1)ln nC2nln n D1nln n(2)若數(shù)列a

8、n滿足a11，an12nan，則數(shù)列an的通項公式an_。(2)由于eq f(an1,an)2n，故eq f(a2,a1)21，eq f(a3,a2)22，eq f(an,an1)2n1，將這n1個等式疊乘得eq f(an,a1)212(n1)2，故an2。答案：(1) A (2) 2。熱點題型四 數(shù)列的性質(zhì)及其應用 例4、 (1)已知aneq f(n1,n1)，那么數(shù)列an是()A遞減數(shù)列 B遞增數(shù)列C常數(shù)列 D擺動數(shù)列(2) 數(shù)列an滿足an1eq blcrc (avs4alco1(2an，0anf(1,2),2an1，f(1,2)an1，)a1eq f(3,5)，則數(shù)列的第2 015項為

9、_。答案：(1)B (2) eq f(2,5)【提分秘籍】1解決數(shù)列的單調(diào)性問題可用以下三種方法(1)用作差比較法，根據(jù)an1an的符號判斷數(shù)列an是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列。(2)用作商比較法，根據(jù)eq f(an1,an)(an0或an0)與1的大小關系進行判斷。(3)結合相應函數(shù)的圖象直觀判斷。2解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值。【舉一反三】 設數(shù)列an滿足：a12，an11eq f(1,an)，記數(shù)列an的前n項之積為Tr，則T2 014的值為()Aeq f(1,2) B1 C.eq f(1,2) D2解析：由a2eq f(1,

10、2)，a31，a42可知，數(shù)列an是周期為3的周期數(shù)列，從而T2 014T2 013a1(1)67122。答案：D 1.【2017課標3，理14】設等比數(shù)列滿足a1 + a2 = 1, a1 a3 = 3，則a4 = _.【答案】【解析】設等比數(shù)列的公比為 ，很明顯 ，結合等比數(shù)列的通項公式和題意可得方程組：，由 可得： ，代入可得，由等比數(shù)列的通項公式可得： .1（2014江西卷）已知首項都是1的兩個數(shù)列an，bn(bn0，nN*)滿足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令cneq f(an,bn)，求數(shù)列cn的通項公式；(2)若bn3n1，求數(shù)列an的前n項和Sn.2（2014新課標

11、全國卷 已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù)(1)證明：an2an.(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說明理由【解析】(1)證明：由題設，anan1Sn1，an1an2Sn11，兩式相減得an1(an2an)an1.因為an10，所以an2an.(2)由題設，a11，a1a2S11，可得 a21，由(1)知，a31.若an為等差數(shù)列，則2a2a1a3，解得4，故an2an4.由此可得a2n1是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3；a2n是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列

12、3（2014新課標全國卷 已知數(shù)列an滿足a11，an13an1.(1)證明eq blcrc(avs4alco1(anf(1,2)是等比數(shù)列，并求an的通項公式；(2)證明eq f(1,a1)eq f(1,a2)eq f(1,an)eq f(3,2).4（2014重慶卷）設a11，an1eq r(aeq oal(2,n)2an2)b(nN*)(1)若b1，求a2，a3及數(shù)列an的通項公式(2)若b1，問：是否存在實數(shù)c使得a2nca2n1對所有nN*成立？證明你的結論【解析】(1)方法一：a22，a3eq r(2)1.再由題設條件知(an11)2(an1)21.從而(an1)2是首項為0，公差

13、為1的等差數(shù)列，故(an1)2n1，即aneq r(n1)1(nN*)方法二：a22，a3eq r(2)1.可寫為a1eq r(11)1，a2eq r(21)1，a3eq r(31)1.因此猜想aneq r(n1)1.下面用數(shù)學歸納法證明上式當n1時，結論顯然成立假設nk時結論成立，即akeq r(k1)1，則ak1eq r(（ak1）21)1eq r(（k1）1)1eq r(（k1）1)1，這就是說，當nk1時結論成立所以aneq r(n1)1(nN*)方法二：設f(x)eq r(（x1）21)1，則an1f(an)先證：0an1(nN*)當n1時，結論明顯成立假設nk時結論成立，即0ak1

14、.易知f(x)在(，1上為減函數(shù)，從而0f(1)f(ak)f(0)eq r(2)11.即0ak11.這就是說，當nk1時結論成立故成立再證：a2na2n1(nN*)當n1時，a2f(1)0，a3f(a2)f(0)eq r(2)1，所以a2a3，即n1時成立假設nk時，結論成立，即a2k0)，因為所有AnBn相互平行且a11，a22，所以S梯形A1B1B2A23m，當n2時，eq f(an,an1)eq f(OAn,OAn1)eq r(f(m（n1）3m,m（n2）3m)eq r(f(3n2,3n5)，故aeq oal(2,n)eq f(3n2,3n5)aeq oal(2,n1)，aeq oal

15、(2,n1)eq f(3n5,3n8)aeq oal(2,n2)，aeq oal(2,n2)eq f(3n8,3n11)aeq oal(2,n3)，aeq oal(2,2)eq f(4,1)aeq oal(2,1)以上各式累乘可得aeq oal(2,n)(3n2)aeq oal(2,1)，因為a11，所以aneq r(3n2).6（2013遼寧卷）下面是關于公差d0的等差數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)的四個命題：p1：數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(nan)是遞增數(shù)列；p3：數(shù)列eq blcrc(av

16、s4alco1(f(an,n)是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an3nd)是遞增數(shù)列其中的真命題為()Ap1，p2 Bp3，p4 Cp2，p3 Dp1，p4【答案】D【解析】因為數(shù)列an中d0，所以an是遞增數(shù)列，則p1為真命題而數(shù)列an3nd也是遞增數(shù)列，所以p4為真命題，故選D.7（2013全國卷）等差數(shù)列an前n項和為Sn.已知S3aeq oal(2,2)，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，求an的通項公式1數(shù)列1，eq f(5,8)，eq f(7,15)，eq f(9,24)，的一個通項公式是()Aan(1)n1eq f(2n1,n2n)(nN*)Ban(1)n

17、1eq f(2n1,n23n)(nN*)Can(1)n1eq f(2n1,n22n)(nN*)Dan(1)n1eq f(2n1,n22n)(nN*)解析：觀察數(shù)列an各項，可寫成：eq f(3,13)，eq f(5,24)，eq f(7,35)，eq f(9,46)，故選D。答案：D2已知數(shù)列的通項公式為ann28n15，則3()A不是數(shù)列an中的項B只是數(shù)列an中的第2項C只是數(shù)列an中的第6項D是數(shù)列an中的第2項和第6項解析：令an3，即n28n153，整理得n28n120，解得n2或n6。答案：D3已知a11，ann(an1an)(nN*)，則數(shù)列an的通項公式是()A2n1 B.eq

18、 blc(rc)(avs4alco1(f(n1,n)n1Cn2 Dn答案：D4已知數(shù)列an的前n項和Snn22n，則a2a18()A36 B35C34 D33解析：當n2時，anSnSn12n3，故a2a1834。答案：C5已知數(shù)列an，an2n2n，若該數(shù)列是遞減數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是()A(，6) B(，4C(，5) D(，3解析：數(shù)列an的通項公式是關于n(nN*)的二次函數(shù)，若數(shù)列是遞減數(shù)列，則eq f(,22)1，即4。答案：B6已知數(shù)列an滿足a133，an1an2n，則eq f(an,n)的最小值為()A.eq f(17,2) B.eq f(21,2)C10 D21當xeq r

19、(33)時，f(x)0，即f(x)在區(qū)間(0，eq r(33)上遞減；在區(qū)間(eq r(33)，)上遞增，又5eq r(33)6，且f(5)5eq f(33,5)1eq f(53,5)，f(6)6eq f(11,2)1eq f(21,2)，所以f(5)f(6)，所以當n6時，eq f(an,n)有最小值eq f(21,2)。答案：B7數(shù)列an滿足an1eq f(1,1an)，a82，則a1_。解析：將a82代入an1eq f(1,1an)，可求得a7eq f(1,2)；再將a7eq f(1,2)代入an1eq f(1,1an)，可求得a61；再將a61代入an1eq f(1,1an)，可求得a52；由此可以推出數(shù)列an是一個周期數(shù)列，且周期為3，所以a1a7eq f(1,2)。答案：eq f(1,2)8已知數(shù)列an滿足a1eq f(1,2)，an1aneq f(an1an,nn1)(n2)，則該數(shù)列的通項公式an_。答案：eq f(n,3n1)9如圖，一個類似楊輝三角的數(shù)陣，則第n(n2)行的第2個數(shù)為_。13356571111791822189解析：由題意可知：圖中每行的第二個數(shù)分別