1、習題1011計算下列對弧長的曲線積分（1），其中L為圓周解：L可表示為：，故（2），其中L為圓周，直線及x軸在第一象限所圍成的扇形的整個邊界曲線解：，：，；：，；：，（3），L為拋物線上介于與之間的一段弧解：（4），其中L為對數(shù)螺線（，）解：，（5），其中L為擺線一拱，即L：，（，）解：（6），其中L：解：，；：，；：，；：，；（7），其中C為錐面螺線，（）解：（8），其中C為空間圓弧：解：，；：，2求圓柱面介于及的側(cè)面積解：C：，3求兩個底面半徑相等的直交圓柱面：，（）所圍立體的表面積解：，：，；：，所以4設曲線L：，（，），其線密度，求其質(zhì)量。解：令令，則所以所以5設均勻曲線弧C：，（），

2、求它的重心坐標解：，6設有螺旋彈簧一圈的方程為，（），其上線密度，求它關于z軸的轉(zhuǎn)動慣量和重心坐標解：7設有一空間曲線C，其上分布的線密度為（在C上連續(xù)），在C外有一單位質(zhì)量的質(zhì)點位于，試寫出C對單位質(zhì)點的引力的計算公式。解：習題1021把第二類曲線積分化成第一類曲線積分，其中L為：（1）從點沿拋物線到點（2）從點沿上半圓周（）到點解：（1）因為，所以切向量可取，切向量的方向余弦為，所以，所以（2）因為，所以切向量可取切向量的方向余弦為，所以2把第二類曲線積分化成對弧長的曲線積分，其中C為：（1）從點到點的直線段解：切向量的方向余弦為：，所以，（2）從點經(jīng)過圓弧到點的弧段解：因為，所以切向量可

3、取為：切向量的方向余弦為：，所以，3計算下列對坐標的曲線積分（1），其中L為圓周及x軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個邊界曲線弧（按逆時針方向繞行）；解：；：令，則：（2），其中為到的直線段解：，（3），L為從點到點的上半橢圓周解：（4），其中L是以為頂點的正方形邊界，沿逆時針方向解：；：；：（5），其中C為定向閉折線，各點分別為解：；：（6），C為橢圓周且從z軸正方向看去，C取順時針方向解：令，則：C：，（7），其中C為球面與三個坐標軸正半軸的交點及坐標面的交線構成的球面三角形的正向邊界（即C的方向與球面外側(cè)的法向量滿足右手定則）解：；：；：4計算，其中L（1）拋物線上從點到點的一段弧解：（

4、2）從點到點的直線段弧解：L：（3）曲線，上從點到點的一段弧解：L：，5設一平面力場的場力大小與作用點到原點的距離成正比（比例系數(shù)為k），方向垂直于作用點與原點的連線，并且與y軸正向的夾角不大于，試求一質(zhì)點沿著以AB為直徑的右下半個圓周，從點移到點時場力所做的功解：作用力的方向向量可取為：所以作用力的方向余弦為：，所以，L：所以6證明，其中為平面光滑曲線L的長度。證明：設L起點與終點之間的距離為d，兩點之間的連線與x軸、y軸的夾角為（）則有習題1031用曲線積分計算下列曲線所圍平面圖形的面積（1）橢圓：解：令，則L：，（2）星形線：解：2用格林公式計算下列曲線積分（1），其中L為圓周，取逆時針

5、方向解：令：，則：，；（2），其中L為閉區(qū)域D：，的正向邊界解：（3），其中L為星形線（）所圍區(qū)域的正向邊界解：所以（4），L為圓周，與直線，在第一象限所圍區(qū)域的正向邊界解：令：，則：，；3計算曲線積分（1），其中L為圓周取逆時針方向解：，作圓周：并取逆時針方向，則在以和為邊界的區(qū)域D內(nèi)有所以令：，則（2），其中L是以為中心，半徑為（，）的圓周，取逆時針方向解：，當時：當時，作：取逆時針方向則在以和為邊界的區(qū)域內(nèi)有所以令：，則：4證明下列曲線積分在平面上與路徑無關，并計算積分之值（1）解：，因為：，所以與路徑無關（2）解：因為：，所以與路徑無關（3）解：，因為：，所以與路徑無關5用適當?shù)姆椒ㄓ?/p>

6、算下列曲線積分（1），其中L是在圓周上由點到點的一段弧解：因為，所以與路徑無關所以（2），其中L為圓周上從點依逆時針方向到點的弧段解：設：；：則由、為邊界的區(qū)域為D：，所以 所以（3），L是在半圓周上從點到點的一段弧解：令，則當時，所以當時，與路徑無關令，所以（4），其中L為從點到點的直線段解：當時，所以當時，與路徑無關6驗證下列在整個平面上是某函數(shù)的全微分（即求微分式的原函數(shù)），并求的一個表達式（1）解：因為，所以在整個平面上是某函數(shù)的全微分（2）解：因為，所以在整個平面上是某函數(shù)的全微分（3）解：因為，所以在整個平面上是某函數(shù)的全微分7解下列全微分方程（1）解：因為所以所以解為：（2）解：

7、因為所以所以解為：（3）解：因為所以所以解為：（4）解：因為所以所以解為：（5）解：所以解為：（6）解：所以解為8設在右半平面（）中有力場，其中k為常數(shù)，。證明：此力場中場力所做的功與所取路徑無關證明：，所以故當時，力場所做的功與所取路徑無關9設位于點的質(zhì)點A對質(zhì)點M的引力大小為，（常數(shù)），r為質(zhì)點A與M之間的距離。質(zhì)點M沿曲線自點運動到點，求此運動過程中質(zhì)點A對質(zhì)點M的引力所做的功解：，所以在除點以外的區(qū)域，做功與路徑無關所以10計算曲線積分，其中L為由點沿圓弧到點的有向弧段解：令，因為所以令，所以11計算曲線積分，其中L（1）閉區(qū)域的正向邊界（2）圓周逆時針方向（3）從點沿曲線到點的弧段解

8、：（1）（2）取：；：；：；：則在以、為邊界的區(qū)域內(nèi)所以（3）取：；：；：；則在以、為邊界的區(qū)域內(nèi)所以所以所以12利用曲線積分與路徑無關的條件，求待定參數(shù)與函數(shù)（1）確定的值，使曲線積分與路徑無關，并求解：，（2）求可微函數(shù)，使曲線積分在的開區(qū)域內(nèi)與積分路徑無關，已知。若，其中，求此曲線積分之值解：13證明的充分必要條件為其中L是單連通開域G內(nèi)的一條簡單閉曲線，在G內(nèi)具有連續(xù)二階偏導數(shù)。證明：充分條件：必要條件：在G內(nèi)任取兩點A、B，設、是G內(nèi)從A到B兩條任意的不同的分段光滑曲線則所以與路徑無關故：，為動點，有因G為開域，故存在，使同理，所以即習題1041計算曲面積分，其中為：（1）錐面及平面

9、所圍成閉區(qū)域的邊界曲面解：可分為錐面和平面兩部分（2）平面，所圍立體的邊界曲面解：可分為，六個平面部分，2計算下列曲面積分：（1），其中是平面在第一卦限部分解：（2），其中是錐面界于與之間的部分曲面解：（3），其中為錐面被柱面所截得的部分解：3計算下列曲面積分（1），其中為上半球面解：（2），其中為界于與（）之間的柱面：解：可分為界于與（）之間的柱面與界于與（）之間的柱面所以所以（3），其中為兩個柱面與位于第一卦限的部分與三個坐標面所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面解：可分為：，；：，；：，；：，；：，；所以：4計算所給曲面的質(zhì)量（1）：（），其上的密度分布為；解：（2）半徑為R的球面，其上點的面密度

10、與該點到球面的某一直徑的距離相等解：設球面為：，面密度為：將球面分為：；：所以5八分之一球殼（，）的重心坐標，設面密度解：6求面密度為常數(shù)的均勻半球殼對于軸的轉(zhuǎn)動慣量解：7求高為h的直立正圓錐面的形心位置解：設錐面為：，即在軸線上距底面為習題1051計算下列對坐標的曲面積分（1），其中是部分曲面的上側(cè)解：，（2），其中為柱面被平面及所截下的在第一卦限內(nèi)的部分的前側(cè)解：（3），其中是由平面，所圍空間區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè)解：將劃分為：，；：，；：，；：，；所以（4），其中是拋物面介于平面及之間的部分曲面的下側(cè)解：2把第二類曲面積分化為第一類曲面積分（1）是平面被柱面所截的部分，并取下側(cè)；解：，

11、（2）為拋物面被平面所截的部分，并取左側(cè)解：，3計算曲面積分其中為連續(xù)函數(shù)，是平面在第四卦限內(nèi)的上側(cè)解：，4計算，為錐面上滿足，的那部分曲面的下側(cè)解：，5計算，為柱面被平面，所截的部分的外側(cè)解：將劃分為：，；：，；所以：6計算，其中是曲面及兩平面，（）所圍立體邊界曲面的外側(cè)。解：將劃分為：，；：，；：，；：，所以習題1061利用高斯公式計算下列曲面積分（1），其中是球面的外側(cè)解：（2），其中為由曲面與所圍立體的邊界曲面的外側(cè)解：（3），是以點，為頂點的四面體的表面的外側(cè)解：（4），為柱面與平面，所圍成的區(qū)域的邊界面的外側(cè)解：2計算下列曲面積分（1），是球面（）的上側(cè)解：設是，的下側(cè)，則與構成閉

12、曲面所以：（2），其中是曲線：，（）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)面，它的法向量與y軸正向夾角大于解：設是，的右側(cè)，則與構成閉曲面所以：（3），為拋物面被平面所截下的部分的下側(cè)解：設是，的下側(cè)，則與構成閉曲面所以3計算，其中是橢球面（）與所圍的閉曲面的外側(cè)（，常數(shù)）解：令，則：，所以：4計算曲面積分，其中為由和所圍成的半球區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè)解：5設具有連續(xù)導數(shù)數(shù)，計算曲面積分其中為錐面與兩球面及所圍立體表面的外側(cè)解：6利用斯托克斯公式計算下列曲線積分，所有曲線從z軸的正向看去，均取逆時針方向（1），C為圓周，解：（2），C為橢圓，（，）解：所以（3），C是球面位于第一卦限那部分的邊界解：其中可分為：，：，：，（4），C是圓周，解：7求下列向量場穿過曲面指定一側(cè)的通量（1），為圓柱（