1、層次分析法 由美國(guó)著名運(yùn)籌學(xué)家薩蒂（T.L.Saaty）在70年代初提出的層次分析法（Analytical Hierarchy Process，簡(jiǎn)稱AHP）是一種具有定性分析與定量分析相結(jié)合的決策方法，可將決策者對(duì)復(fù)雜對(duì)象的決策思維過程系統(tǒng)化、模型化、數(shù)量化。其基本思想是通過分析復(fù)雜問題包含的各種因素及其相互關(guān)系，將問題所研究的全部元素按不同的層次進(jìn)行分類，標(biāo)出上一層與下層元素之間的聯(lián)系，形成一個(gè)多層次結(jié)構(gòu)。在每一層次，均按某一準(zhǔn)則對(duì)該層元素進(jìn)行相對(duì)重要性判斷，構(gòu)造判斷矩陣，并通過解矩陣特征值問題，確定元素的排序權(quán)重，最后再進(jìn)一步計(jì)算出各層次元素對(duì)總目標(biāo)的組合權(quán)重，為決策問題提供數(shù)量化的決策依

2、據(jù)。 運(yùn)用層次分析法進(jìn)行決策，可分為以下五個(gè)步驟： 一、明確問題建立層次 通過分析，找出問題所研究的全部元素，并按各元素之間的相互影響與作用進(jìn)行分類，每類作為一個(gè)層次，按最高層（即目標(biāo)層，表示解決問題的目的）、若干有關(guān)的中間層（表示采用某種措施或根據(jù)某種準(zhǔn)則來實(shí)現(xiàn)預(yù)定目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)）和最低層（表示解決問題的措施和方案）的形成排列起來形成一個(gè)層次結(jié)構(gòu)圖（圖4.1）。在這個(gè)層次結(jié)構(gòu)中，某一中間層次的元素作為準(zhǔn)則，對(duì)下一層次某些元素起支配作用，同時(shí)，又從屬于上一層次的某個(gè)元素。AkB1B2BmB1b11b12b1mB2b12b22b2mBmbm1bm2bmn 二、構(gòu)造判斷矩陣 建立了層次結(jié)構(gòu)后

3、，上下層次之間的從屬關(guān)系就確定了。假定A層中元素Ak與下層中元素B1，B2，Bm有聯(lián)系，構(gòu)造如下的判斷矩陣： 其中bij表示對(duì)于Ak而言，Bi對(duì)Bj相對(duì)重要性的標(biāo)度。通常按下表的方式定義。 顯然判斷矩陣B= （bij）有關(guān)系式 bij0，bii=1，bji= ，i,j=1，m 因此對(duì)于m階判斷矩陣，我們僅需要對(duì)m（m-1）/2個(gè)元素給出標(biāo)度即可。標(biāo) 度 值意 義說 明1Bi與Bj同樣重要Bi，Bj對(duì)一個(gè)目標(biāo)貢獻(xiàn)相同3Bi比Bj重要性稍高一些二者間判斷差異輕微5Bi比Bj重要性明顯高二者間判斷差異明顯7Bi比Bj重要性明顯多二者間判斷差異強(qiáng)烈9Bi比Bj極端重要二者間差異達(dá)到可能范圍的下限度2，

4、4，6，8表示相鄰判斷的中間值用于需要達(dá)成妥協(xié)場(chǎng)合上述各值的倒數(shù)相應(yīng)的反比較，即Bi和Bj比較其相對(duì)重要性用上述之一值進(jìn)行標(biāo)度，則Bj和Bi比較以該值的倒數(shù)標(biāo)度。 判斷矩陣的數(shù)值是根據(jù)客觀數(shù)據(jù)、專家意見和分析者的認(rèn)識(shí)綜合平衡后給出的，因此對(duì)判斷矩陣的質(zhì)量有一致性的要求，即B中元素滿足要求bijbjk=bik i，j，k=1，2，m 可以證明判斷矩陣滿足一致性要求的充分必要條件是它的最大特征值*=m。 三、層次單排序 利用判斷矩陣，計(jì)算對(duì)于上一層某元素而言，本層次與之有聯(lián)系的元素的重要性次序的權(quán)值（權(quán)向量）的過程，稱為層次單排序。層次的單排序可以歸結(jié)為計(jì)算判斷矩陣的特征值與特征向量的問題，即對(duì)于

5、判斷矩陣B，求解滿足BU=U 的最大特征值*以及對(duì)應(yīng)*的正規(guī)化（單位化）的特征向量U*，U*的分量即為相應(yīng)元素的單排序權(quán)重。 在一般情況下，判斷矩陣的特征值為單根，且maxm，當(dāng)B具有滿意的一致性時(shí)，max稍大于m，其余的特征值接近于零，此時(shí)，層次分析得出的結(jié)論基本合理，于是我們可用CI=作為檢驗(yàn)B的一致性的指標(biāo)。 顯然，當(dāng)判斷矩陣具有一致性，CI=0，*-m越大，CI越大，一致性越差。 此外還要考慮判斷矩陣的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI。通過多次隨機(jī)的構(gòu)造m階判斷矩陣，計(jì)算其最大特征根，然后取平均值得，于是得到RI=對(duì)于112階判斷矩陣，RI值為階數(shù)123456789101112RI000.580

6、.901.121.241.321.411.451.491.521.54 因?yàn)橐弧⒍A判斷矩陣具有致性，其RI值只是形式上的，于是當(dāng)判斷矩陣階數(shù)大于2時(shí)，CI與RI之比稱為判斷矩陣的隨機(jī)一致比例，記為CR，當(dāng)CR=0.10時(shí)，認(rèn)為判斷矩陣的一致性可以接受，否則需要調(diào)整判斷矩陣。 四、層次總排序 為了得到層次結(jié)構(gòu)中某層元素對(duì)于總體目標(biāo)組合權(quán)重和它們與上層元素的相互影響，需要利用該層所有層次單排序的結(jié)果，計(jì)算出該層元素的組合權(quán)重，這個(gè)過程稱為層次總排序。 層次總排序這一步，需要從上到下逐層排序進(jìn)行，最終計(jì)算結(jié)果得到最低層次元素，即要決策方案優(yōu)先次序的相對(duì)權(quán)重。 一般來說，對(duì)于最高層之下的第二層次單排

7、序即為總排序。假設(shè)上一層所有元素A1，A2，Ak的層次單排序已完成，得到的權(quán)重為a1, a2,ak,與Ai(1ik)對(duì)應(yīng)的本層次元素為B1,B2,Bm單排序結(jié)果為其中若Bj與Ai無關(guān)，,我們有如下層次排序表層次A層次BA1A2AKB層次總排序a1a2aKB1B2Bm其中B層m個(gè)元素相對(duì)總體目標(biāo)組合排序權(quán)重向量即為 顯然 即層次總排序是一正規(guī)化向量。五、一致性檢驗(yàn) 為評(píng)價(jià)層次總排序的計(jì)算結(jié)果的一致性如何，需要計(jì)算與層次單排序類似的檢驗(yàn)量，記 CI層次總排序的一致性指標(biāo) RI層次總排序隨機(jī)一致性指標(biāo) CR層次總排序隨機(jī)一致性比例其中 CIi為Ai對(duì)應(yīng)的下一層B層次中判斷矩陣的一致性指標(biāo)。 RIi為Ai對(duì)應(yīng)的B層次中判斷矩陣的隨機(jī)一致性批標(biāo)。 當(dāng)CR0.10時(shí)，則認(rèn)為層次總排序計(jì)算結(jié)果的一致性可以接受。 由上面的五個(gè)步驟可以看出，層次分析法計(jì)算的主要問題是如何計(jì)算判斷矩陣的最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量。這里我們介紹在精度要求不高的情況下，簡(jiǎn)化計(jì)算的兩種近似方法和積法和根法。和積法 （1）將判斷矩陣B每一列正規(guī)化； （2）每列正規(guī)化的判斷矩陣按行相加； （3）對(duì)相加后得