1、 名校名師舉薦 （37）數學歸納法1. 已知數列 a n 滿意 an11 2ann N ,a11 2. 試通過求a2,a3,a4的值猜想an的表達式,并用數學歸納法加以證明解： a21 2 a1112 3,a31 2a2123 4,a41 2a3134 5. 222234猜想： ann n1n N 用數學歸納法證明如下：1 1 1 當 n1 時,左邊 a12,右邊112,所以等式成立；k 1 1 k1 假設 n k 時等式成立, 即 akk1,就當 nk1 時,ak12akkk22k1k1（ k1） 1,所以當 nk1 時等式也成立由得,當 nN時等式都成立2. 是否存在常數 a,b,c,使等

2、式 1 n 21 2 2n 22 2 nn 2n 2 an 4bn 2c 對一切正整數 n 成立？證明你的結論ab c0,解：分別用n1,2,3 代入解方程組16a4bc3,81a9bc18.a1 4,b1 4,c0.下面用數學歸納法證明 當 n1 時,由上可知等式成立；2 假設當 nk 時,等式成立,就當 nk1 時,左邊 1 k 1 21 2 2k 12 2 kk 1 2k 2 k 1k1 2 k 1 2 1 k 21 2 2k 2 2 2 1 1kk 2 k 2 1 2k 1 22k 1 k2k 1 4k 4 4 k 2 2k 1 22k 11 1 k2k 1 4k 1 44k 1 2,

3、 當 nk1 時,等式成立由得等式對一切的 nN 均成立3設實數 c0,整數 p1,nN . 1證明：當 x1 且 x 0 時, 1x p1 px；2數列 an 滿意 a1c p,an1p1 anc pa 1pn .證明： anan1c 1p. 證明： 1用數學歸納法證明：當 p 2 時, 1x 212xx 212x,原不等式成立假設 pkk2,kN 時,不等式 1x k1kx 成立當 pk1 時, 1x k11x1xk1x1kx1k1xkx 21k 1x. 1 名校名師舉薦 所以 p k1 時,原不等式也成立綜合可得,當 x1,x 0 時,對一切整數 p1,不等式 1x p1px 均成立12

4、法一： 先用數學歸納法證明 anc p. 當 n 1 時,由題設知 a1c 1p成立1假設 nkk1,kN 時,不等式 akc p成立由 an1p1 p anc pa 1pn 易知 an0, nN . 當 nk1 時,ak1 akp1c pa k11 p a cpk1 . 由 akc1 p0 得 11 p1 a ck1 1p1p a c k1 c a k. 因此 a pk1c,即 ak1c 1p. 所以 n k1 時,不等式 anc 1p也成立綜合可得,對一切正整數1 n,不等式 anc p均成立再由an1 an11a c n 1 可得 an 1 an1,即 an10,xc p. 綜上所述,

5、anan1c1 p,nN . 法二： 設 fxp 1 p xc px1 p,xc1 p,就 x pc,并且 fxp 1 pc p1pxpp1p由此可得, fx在c1, 上單調遞增p因而,當 xc1p 時, fxfc1 pc1,當 n 1 時,由 a1c1 p0,即 a p1c 可知a2p1 p a1c pa 1 1pa1 11 p a c11 c 1p,從而 a1a2c 1p. 故當 n 1 時,不等式 anan1c 1p成立假設 nkk1,k N 時,不等式 akak1c1 p 成立,就當 nk1 時, fakfak 1fc1 p,2 名校名師舉薦 即有 ak1ak2c1 p. 所以 n k

6、1 時,原不等式也成立綜合可得,對一切正整數n,不等式 anan1c1 p均成立42022 鹽城模擬 設集合 M1,2,3 , ,n n3,記 M 的含有三個元素的子集的個數為 Sn,同時將每一個子集中的三個元素由小到大排列,取出中間的數,全部這些中間的數的和 記為 Tn. 1求 S3,T4 S4,T5 S5,T6 S6的值；Tn 2猜想 Sn的表達式,并證明解析： 1當 n3 時, M 1,2,3 ,S31,T32,T3 S32,當 n4 時, M1,2,3,4 ,S44,T422 3310,T4 S45 2,2. 同理可得T5 S53,T6 S672猜想 Snn1, n3. 當 n 3 時

7、,由 1知猜想成立；假設當 nkk3時,猜想成立,即Tk Sk k1,而 SkCk,所以 Tkk1 2C 3 k,1 個當 nk1 時,易知 Sk1C3 k1,而當集合M 從1,2,3 , ,k變為 1,2,3 , , k,k1 時, Tk1 在 Tk的基礎上增加了2,2 個 3,3 個 4, ,k1個 k,所以 Tk1Tk2 1 3 24 3 kk1 k1 2C 3 k2C2 2C2 3C2 4 C2 k k1 2C 3 k2C3 3C2 3C2 4 C2 k k2 23 3C k12C k1k2 23 C k1k1 1 2 Sk1,即Tk1k 1 1,Sk1 23 名校名師舉薦 所以當 n

8、k1 時,猜想也成立綜上所述,猜想成立an52022 大連雙基測試 數列 an 滿意 an12an1,a11. 11證明：數列 an 是等差數列；2求數列 1 an的前 n 項和 Sn,并證明 1 S11S2 1 Sn n 1. n解析： 1證明： an12an1,an1an12an1an,化簡得an1 121 an,即1an11an 2,故數列 1 an 是以 1 為首項, 2 為公差的等差數列2由1知1 an2n1, Snn 12n 12n2. 法一：1 S1 1 S2 1 Sn 1 22 12 n 12 1 2 12 3 1 n n1 111 2 21 3 1nn111n1 1n1. n

9、法二： 當 n1 時,1 S11,n 11 2,不等式成立假設當 nk 時,不等式成立,即 S1 1 S2 1 Sk k 1. k就當 n k1 時,1 S1 1 S2 1 Sk 1 Sk1 k1 kk1 1 2,又 k1kk1 1 2k1 k21k11k1 1 21k21k21k1 k 2k2 1k1 20,1 S1 1 S2 1 Sk 1 Sk1 k1k2,原不等式成立6.已知集合 X1,2,3 ,Yn 1,2,3 , , n nN ,設 Sn a,b|a 整除 b 或 b 整除 a,aX,bYn 令 fn表示集合 Sn 所含元素的個數1寫出 f6的值；2當 n6 時,寫出 fn的表達式,

10、并用數學歸納法證明解析： 1Y61,2,3,4,5,6 ,S6 中的元素 a,b滿意：如 a1,就 b1,2,3,4,5,6；如 a2,就 b1,2,4,6；4 名校名師舉薦 如 a3,就 b1,3,6. 所以 f6 13. 2當 n6 時,fnn22n 3,n6t,tN n2n1n 1 3,n6t1,2n22n2,n6t2,n2n1n 3,n6t3,2n2n 2n1,n6t4,n2n1n2 3,n 6t52下面用數學歸納法證明：當 n 6 時, f6626 26 313,結論成立；假設 nkk6時結論成立,那么 nk1 時, Sk1 在 Sk 的基礎上新增加的元素在 1,k1,2, k1,3, k1中產生,分以下情形爭論：a如 k16t,就 k6t15,此時有fk 1fk 3k2k1 2k 2 33 k1 2k1k1,結論成立；2 3 b如 k16t1,就 k6t,此時有fk 1fk 1k22 k 31 k1 2k1 1 2k1 1 3,結論成立；c如 k16t2,就 k6t1,此時有fk 1fk 2k2k1 2k 1 32 k1 2k1k1 2,結論成立；2 3 d如 k16t3,就 k6t2,此時有fk 1fk 2k22k