1、10.2 事件的相互獨立性 我們知道，積事件AB就是事件A與事件B同時發生.因此，積事件AB發生的概率一定與事件A、B發生的概率有關.那么，這種關系會是怎樣的呢? 下面我們來討論一類與積事件有關的特殊問題.復習引入事件的關系或運算含義符號表示概率表示包含并事件(和事件)交事件(積事件)互斥(互不相容)互為對立A發生導致B發生A與B至少一個發生A與B同時發生A與B不能同時發生A與B有且僅有一個發生ABAUB或A+BAB或ABAB=AB=,AUB=P(A)P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)=P(A)P(B)P(A)+P(B)=1？ 前面我們研究過互斥事件、對立事件的概率

2、性質,還研究過和事件的概率計算方法.對于積事件的概率，你能提出什么值得研究的問題嗎?P(A+B)=P(A)+P(B) 下面兩個隨機試驗各定義了一對隨機事件A和B，你覺得事件A發生與否會影響事件B發生的概率嗎? 試驗1：分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”. 試驗2：一個袋子中裝有標號分別是1、2、3、4的4個球,除標號外沒有其他差異,采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設A=“第一次摸到球的標號小于3”,B=“第二次摸到球的標號小于3”. 對于試驗1，因為兩枚硬幣分別拋擲，第一枚硬幣的拋擲結果與第二枚硬幣的拋擲結果互相不受影響，所以事件A發生與否

3、不影響事件B發生的概率. 對于試驗2，因為是有放回摸球，第一次摸球的結果與第二次摸球的結果互相不受影響，所以事件A發生與否也不影響事件B發生的概率.探究新知 在試驗1中，用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”， 則樣本空間為 積事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)與P(B)的乘積.由古典概型概率計算公式，得=(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)，包含4個等可能的樣本點.思考1.試驗1：分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”. 分別計算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么發現?而A=(1,1),(1,0)，B=(1,0),

4、(0,0)，所以AB=(1,0).P(A)=P(B)=P(AB)= 于是有P(AB)=P(A)P(B). 在試驗2中，樣本空間=(m,n)|m,n1,2,3,4，包含16個等可能的樣本點.而思考2：試驗2：一個袋子中裝有標號分別是1、2、3、4的4個球,除標號外沒有其他差異,采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設A=“第一次摸到球的標號小于3”,B=“第二次摸到球的標號小于3”. 分別計算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么發現?A=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)，B=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1

5、),(3,2),(4,1),(4,2)，AB=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)，積事件AB的概率P(AB)也等于P(A)與P(B)的乘積.所以P(A)=P(B)=P(AB)= 于是也有P(AB)=P(A)P(B). 通俗地說，對于兩個事件A，B， 如果其中一個事件是否發生對另一個事件發生的概率沒有影響，就把它們叫做相互獨立事件 根據相互獨立事件的定義，必然事件一定發生，不受任何事件是否發生的影響；同樣，不可能事件一定不會發生，不受任何事件是否發生的影響，當然，他們也不影響其他事件的發生 由于P(A)=P(A)=P(A)P()，P(A)=P()=P(A)P()成立因此，必然事件、不

6、可能事件與任意事件A相互獨立 若事件A與B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B)相互獨立事件的定義：探究：必然事件、不可能事件與任意事件相互獨立嗎？ 對任意兩個事件A與B，如果 P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.性質1.必然事件、不可能事件與任意事件A相互獨立探究：互為對立的兩個事件是非常特殊的一種事件關系. 如果事件A與事件B相互獨立，那么它們的對立事件是否也相互獨立? 以有放回摸球試驗為例,驗證A與 , 與B, 與 是否獨立,你有什么發現? 我們就先以試驗2來驗證：一個袋子中裝有標號分別是1、2、3、4的4個球,除標號外沒有其他差異,采用有放回方式

7、從袋中依次任意摸出兩球.設A=“第一次摸到球的標號小于3”, B=“第二次摸到球的標號小于3”. 12341(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)n(B)=8，n( )=8，n( )=4，n( )=4，n( )=4，所以P(A )=P(A)P( )=P( )P( B)=P(B)=易得，n()=16，n(A)=8，n( )=8，P( )P( )=P( )=因此A與 ， 與B， 與 是獨立的.第二次第一次對于A與 ，因為A=ABA ，而且AB與A 互斥，所以P(A)=P(

8、ABA )=P(AB)+P(A )=P(A)P(B)+P(A )P(A )=P(A)-P(A)P(B)=所以P(A)(1-P(B)=P(A)P( )由事件的獨立性定義，A與 相互獨立.注意：我們知道，如果三個事件A、B、C兩兩互斥， 那么概率加法公式 P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立； 但當三個事件A、B、C兩兩獨立時，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.類似地，可以證明事件 與B， 與 也都相互獨立.我們再用理論來驗證：性質2.若事件A與B相互獨立，則A與 , 與B, 與 也都相互獨立.(1)不可能事件與任何一個事件相互獨立.()(2)必然事件與任

9、何一個事件相互獨立.()(3)“P(AB)=P(A)P(B)”是“事件A,B相互獨立”的充要條件.()(4)一枚硬幣擲兩次,A=“有正面向上,也有反面向上”,B=“最多一次反面向下”,則A,B相互獨立.()1.判斷正誤，正確的畫“” ，錯誤的畫“ ” .提示：一枚硬幣擲兩次的樣本點為(正,正),(正,反),(反,正),(反,反), 這時A=(正,反),(反,正)，B=(正,正),(正,反),(反,正)，AB=(正,反),(反,正)，于是P(A)=, P(B)=, P(AB)=.由此可知P(AB)P(A)P(B),所以事件A,B不相互獨立.練習思考：分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A=“第1枚

10、正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，C=“2枚硬幣朝上的面相同”，A、B、C中哪兩個相互獨立？典例分析事件獨立性的判斷例1.判斷下列各對事件A與B是不是相互獨立事件：(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現從甲、乙兩組中各選1名同學參加演講比賽，事件A“從甲組中選出1名男生”與事件B“從乙組中選出1名女生”；(2)擲一枚骰子一次，事件A“出現偶數點”與事件B“出現3點或6點”(3)一個袋子中有標號分別為1、2、3、4的4個球，除標號外沒有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次. 事件A=“第一次摸出球的標號小于3”與事件B=“第二次摸出球的標號小于3”.典例分析解:(1)“從

11、甲組中選出1名男生”這一事件是否發生，對“從乙組中選出1名女生”這一事件發生的概率沒有影響，所以它們是相互獨立事件(2)A2,4,6，B3,6，AB6，所以P(A)3/61/2，P(B)2/61/3，P(AB)1/6，所以P(AB)P(A)P(B)，所以事件A與B相互獨立典例分析事件獨立性的判斷例1.判斷下列各對事件A與B是不是相互獨立事件：(3)一個袋子中有標號分別為1、2、3、4的4個球，除標號外沒有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次. 事件A=“第一次摸出球的標號小于3”與事件B=“第二次摸出球的標號小于3”.典例分析B=(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，

12、(4,2)，解：(3)因為樣本空間=(m,n)|m,n1,2,3,4，且mn，A=(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，此時P(AB)P(A)P(B)AB=(1,2)，(2,1).所以P(A)=P(B)=P(AB)=因此，事件A與事件B不獨立.歸納：事件獨立性的判斷(1)直接法：由事件本身的性質直接判定兩個事件發生是否相互影響(2)定義法：P(AB)=P(A)P(B) A與B相互獨立(3)轉化法:判斷A與B是否相互獨立, 轉化為判斷A與 ,與B,與 是否具有獨立性.練習1.1.有以下三個問題:擲一枚骰子一次,事件M=“出現的點數為奇數”,事件N=“出現的點數為

13、偶數”;袋中有除顏色外都相同的3個白球和2個黑球,依次不放回地摸出兩個球, 事件M=“第1次摸到白球”,事件N=“第2次摸到白球”;分別拋擲2枚相同的硬幣,事件M=“第1枚為正面”,事件N=“兩枚結果相同”.這三個問題中,M,N是相互獨立事件的有()A.3個B.2個C.1個D.0個C2.【2021年新高考卷】有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則( )A.甲與丙相互獨立B.甲與丁

14、相互獨立C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立練習1.B典例分析求相互獨立事件的概率歸納：求相互獨立事件的概率1.求相互獨立事件同時發生的概率的步驟： (1)首先確定各事件之間是相互獨立的； (2)確定這些事件可以同時發生； (3)求出每個事件的概率，再求積2.使用相互獨立事件同時發生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的，而且它們同時發生 1.變設問在本例條件不變下，求三人均未被選中的概率練習2.練習2.解：例3. 甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動,每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為 ，乙每輪猜對的概率為 .在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各

15、輪結果也互不影響.求“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率.設A1、A2分別表示甲兩輪猜對1個、2個成語的事件，B1、B2分別表示乙兩輪猜對1個、2個成語的事件.根據獨立性假定,得P(A1)=P(A2)=P(B1)=P(B2)=P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=設A=“兩輪活動星隊猜對3個成語”，則A=A1B2A2B1，且A1B2與A2B1互斥，A1與B2、A2與B1分別相互獨立，所以因此，“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率是 .典例分析相互獨立事件概率的實際應用歸納：求較為復雜事件的概率的方法 已知兩個事件A,B,那么: (1)A,B中至少有一個發生為事件A+B.2.對事件分解時

16、,要明確事件中的“至少有一個發生”“至多有一個發生”“恰好有一個發生”“都發生”“都不發生”“不都發生”等詞語的意義. (2)A,B中至多有一個發生為事件 .(3)A,B恰好有一個發生為事件 . (5)A,B都不發生為事件. (4)A,B都發生為事件AB. (6)A,B不都發生為事件 .1.對事件進行分解,一方面分解為互斥的幾類簡單事件求概率;另一方面分解為獨立的事件, 利用事件同時發生(乘法)求出概率.練習3.課堂小結P(AB)=P(A)P(B) A與B相互獨立(3)兩個事件獨立與互斥的區別兩個事件互斥是指兩個事件不可能同時發生；兩個事件相互獨立是指一個事件的發生與否對另一事件發生的概率沒有

17、影響一般地，兩個事件不可能既互斥又相互獨立，因為互斥事件不可能同時發生，而相互獨立事件是以它們能夠同時發生為前提課本P250習題10.2 第4題，第3題作業：2.甲、乙兩個人獨立地破譯一個密碼,他們能譯出密碼的概率分別為和 ,求:(1)兩個人都譯不出密碼的概率;(2)恰有1個人譯出密碼的概率;(3)至多1個人譯出密碼的概率.(3)“至多1個人譯出密碼”的對立事件為“兩個人都譯出密碼”,所以至多1個人譯出密碼的概率為解：記“甲獨立地譯出密碼”為事件A,“乙獨立地譯出密碼”為事件B, A與B為相互獨立事件,且P(A)=, P(B)=.(1)兩個人都譯不出密碼的概率為P( )=P()P()=1-P(A)1-P(B)= P(A B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=(2)恰有1個人譯出密碼包括甲譯出乙未譯出以及甲未