1、第2課時利用導數研究不等式恒(能)成立問題1.(2021山東淄博實驗中學高三月考)已知函數f(x)=(x+a)ln x,g(x)=a2x2+x,a0,且a為常數.(1)當a=0時,求函數f(x)的最小值;(2)若存在x(1,2使f(x)g(x)-2a-2成立,求實數a的取值范圍.解:(1)當a=0時,f(x)=xln x,定義域為(0,+),則f(x)=ln x+1,令f(x)0可得0 x0可得x1e,f(x)在0,1e內是遞減的,在1e,+上是遞增的,f(x)min=f1e=-1e.(2)令F(x)=f(x)-g(x)+2a+2=(x+a)ln x-a2x2-x+2a+2,則原不等式等價于F

2、(x)0在x(1,2有解,F(x)=ln x-ax+ax,令h(x)=ln x-ax+ax,x(1,2,則h(x)=1x-a-ax2=-ax2+x-ax2,當a=0時,F(x)=ln x0,則F(x)在(1,2上是遞增的,此時F(x)max=F(2)=2ln 20,滿足題意,當a0在(1,2上恒成立,即F(x)在(1,2上是遞增的,則F(x)F(1)=0,故F(x)在(1,2上是遞增的,則F(x)max=F(2)=(a+2)ln 2,則要使F(x)0在x(1,2有解,滿足(a+2)ln 20,解得-2a0,綜上,實數a的取值范圍為-2,0.2.(2021福建寧德模擬)已知函數f(x)=12x2

3、-aln x-a,g(x)=ex-x-1.(1)當x1,e時,求f(x)的最小值;(2)對于任意的x10,1都存在唯一的x21,e使得g(x1)=f(x2),求實數a的取值范圍.解:(1)f(x)的定義域為(0,+),f(x)=x2-ax,當a1時,x1,e,f(x)0,f(x)是遞增的,f(x)min=f(1)=12-a,當ae2時,x1,e,f(x)0,f(x)是遞減的,f(x)min=f(e)=e22-2a,當1ae2時,令f(x)=0,解得x=a,則x1,a),f(x)0,f(x)是遞增的.所以f(x)min=f(a)=-a2a2ln a.綜上,當a1時,f(x)min=12-a;當1

4、ae2時,f(x)min=-a2a2ln a;當ae2時,f(x)min=e22-2a.(2)因為對于任意的x10,1都存在唯一的x21,e使得g(x1)=f(x2)成立,所以g(x)在x0,1的值域是f(x)在x1,e的值域的子集.因為g(x)=ex-1,x0,1,所以g(x)0,g(x)是遞增的,g(x)的值域為0,e-2.由(1)知當a1時,f(x)在1,e上是遞增的,f(1)=12-a,f(e)=e22-2a,所以f(x)在1,e上的值域為12-a,e22-2a,所以12-a0,e22-2ae-2,解得12a1.當1ae2時,x1,a,f(x)是遞減的,xa,e,f(x)是遞增的,且f

5、(1)0,f(a)0,所以只需f(e)e-2,即e22-2ae-2,所以1ae24e2+1.當ae2時,因為f(x)在1,e上是遞減的,且f(x)f(1)=12-a0時,f(x)=aex-4在(0,1上是遞增的,所以f(x)max=f(1)=ae-4,即ae-4-2,解得a2e;當ag(x)x-2恒成立,因為x0,ex0,所以alnx+x-1xex=lnx+ln ex-1xex=ln(xex)-1xex,令t=xex0,設h(t)=lnt-1t,其中t0,則h(t)=2-lntt2,當0t0,此時函數h(t)是遞增的,當te2時,h(t)1e2,因此,實數a的取值范圍是1e2,+.4.(202

6、1上海華中師大一附中高三月考)已知函數f(x)=aln x+12(x-1)2,aR.(1)當a=-2時,求函數f(x)的極值;(2)若任意x1,+),都有f(x)0,求實數a的取值范圍;(3)設g(x)=ln x+12x2+ax+12,若存在x01,e,使得f(x0)g(x0)成立,求實數a的取值范圍.解:(1)當a=-2時,f(x)=-2ln x+12(x-1)2,定義域為(0,+),f(x)=-2x+x-1=x2-x-2x=(x-2)(x+1)x(x0),令f(x)=0,解得x=2,x=-1(舍去).當0 x2時,f(x)2時,f(x)0,當x=2時,f(x)取得極小值f(2)=-2ln

7、2+12,無極大值.(2)任意x1,+),都有f(x)0,即當x1,+)時,f(x)min0恒成立,f(x)=ax+x-1=x2-x+ax(x1),令h(x)=x2-x+a,當0,即1-4a0,a14時,h(x)0,即f(x)0,所以f(x)在1,+)上是遞增的,所以f(x)min=f(1)=0,滿足題意,當0,即1-4a0,a14時,令h(x)=0,此時x1=1-1-4a2(舍去),x2=1+1-4a2,當1+1-4a21時,即0a1時,即a0時,此時f(1)=0,所以f(x)min=f1+1-4a20,即存在x01,e,使得m(x)max0,m(x)=a-1x-1+ax2=-x2+(a-1)x+ax2=(x+1)(-x+a)x2,當a1時,此時在x1,e上,m(x)0,m(x)是遞減的,m(x)max=m(1)=-1-a0,即a-1,當1a0,m(x)是遞增的,在xa,e上,m(x)0,