1、本資料分享自千人教師QQ群483122854 期待你的加入與分享 300G資源等你來本資料分享自千人教師QQ群483122854 期待你的加入與分享 300G資源等你來1.1直線的斜率與傾斜角學習目標1.了解直線的斜率和傾斜角的概念.2.理解直線傾斜角的唯一性及直線斜率的存在性.3.了解斜率公式的推導過程，會應用斜率公式求直線的斜率導語我們知道，經過兩點有且只有(確定)一條直線，那么，經過一點P的直線l的位置能確定嗎？如圖所示，過一點P可以作無數多條直線a，b，c，我們可以看出這些直線都過點P，但它們的“傾斜程度”不同，怎樣描述這種“傾斜程度”的不同呢？一、直線的斜率問題1交通工程上一般用“坡

2、度”來描述一段道路對于水平方向的傾斜程度，如圖，一輛汽車沿某條道路從A點前進到B點，在水平方向前進的距離為AD，豎直方向上升的高度為DB(如果是下降，則DB的值為負實數)，則坡度keq f(上升高度,水平距離)eq f(DB,AD).若k0，則表示上坡，若k0，則表示下坡，為了實際應用與安全，在道路鋪設時常要規劃坡度的大小那么“坡度”是如何來刻畫道路的傾斜程度的呢？提示坡度越大道路越陡峭，坡度越小道路越平坦問題2若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線l上兩個不同的點，當x1x2時，你能用一個量反應直線l的傾斜程度嗎？提示可以用eq f(y2y1,x2x1)的符號及大小反應直線l的傾斜程度問

3、題3運用keq f(y2y1,x2x1)(x1x2)計算直線AB的斜率時，需要考慮A，B的順序嗎？提示kABeq f(y2y1,x2x1)kBAeq f(y1y2,x1x2)，所以直線AB的斜率與A，B兩點的順序無關知識梳理對于直線l上的任意兩點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，(1)如果x1x2：由相似三角形的知識可知，eq f(y2y1,x2x1)是一個定值，我們將其稱為直線l的斜率keq f(y2y1,x2x1)(x1x2)直線的斜率也可以看作keq f(y2y1,x2x1)eq f(縱坐標的增量,橫坐標的增量)eq f(y,x).(2)如果x1x2，那么直線l的斜率不存在注意點：直線

4、與x軸垂直時，斜率不存在，不能用斜率公式例1如圖所示，直線l1，l2，l3都經過點P(3,2)，又l1，l2，l3分別經過點Q1(2，1)，Q2(4，2)，Q3(3,2)(1)試計算直線l1，l2，l3的斜率；(2)若還存點Q4(a,3)，試求直線PQ4的斜率解(1)由已知得，直線l1，l2，l3的斜率都存在設它們的斜率分別為k1，k2，k3.則由斜率公式得k1eq f(12,23)eq f(3,5)，k2eq f(22,43)4，k3eq f(22,33)0.(2)當a3時，直線PQ4與x軸垂直，此時其斜率不存在當a3時，其斜率keq f(32,a3)eq f(1,a3).反思感悟(1)若給

5、出兩個點的橫坐標中含有參數，則要對參數進行分類討論，分類的依據便是“兩個橫坐標是否相等”(2)由例題中圖可以看出：當直線的斜率為正時(l1)，直線從左下方向右上方傾斜；當直線的斜率為負時(l2)，直線從左上方向右下方傾斜；當直線的斜率為0時(l3)，直線與x軸平行或重合跟蹤訓練1經過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(2,3)，D(2，1)；(3)P(3,1)，Q(3,10)；(4)求經過兩點A(a,2)，B(3,6)的直線的斜率解(1)存在直線AB的斜率kABeq f(53,42)1.(2)存在直線CD的斜率kCDeq f(13,22)

6、1.(3)不存在因為xPxQ3，所以直線PQ的斜率不存在(4)當a3時，斜率不存在；當a3時，直線的斜率keq f(4,3a).二、直線的傾斜角知識梳理1直線的傾斜角(1)傾斜角的定義在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線，把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉到與直線重合時，所轉過的最小正角也能刻畫直線的傾斜程度，我們把這個角稱為這條直線的傾斜角(2)當直線與x軸平行或重合時，規定該直線的傾斜角為0.(3)傾斜角的范圍為0，)2直線的傾斜角與斜率一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線l上兩個不同的點，直線l的傾斜角為，則：(1)當y1y2時(此時必有x1x2)，0.(2)當x1x

7、2時(此時必有y1y2)，90.(3)當x1x2且y1y2時，tan eq f(y2y1,x2x1).例2(1)(多選)下列命題中，正確的是()A任意一條直線都有唯一的傾斜角B一條直線的傾斜角可以為30C傾斜角為0的直線有無數條D若直線的傾斜角為，則sin (0,1)答案AC解析任意一條直線都有唯一的傾斜角，傾斜角不可能為負，傾斜角為0的直線有無數條，它們都垂直于y軸，因此A正確，B錯誤，C正確D中，當0時，sin 0；當90時，sin 1，故D錯誤(2)(多選)設直線l過坐標原點，它的傾斜角為，如果將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉45，得到直線l1，那么l1的傾斜角可能為()A45 B135C

8、135 D45答案AB解析根據題意，畫出圖形，如圖所示通過圖象可知，當0135，l1的傾斜角為45；當135180時，l1的傾斜角為45180135.反思感悟直線傾斜角的概念和范圍(1)求直線的傾斜角主要根據定義來求，其關鍵是根據題意畫出圖形，找準傾斜角，有時要根據情況分類討論(2)注意傾斜角的范圍跟蹤訓練2已知直線l1的傾斜角為115，直線l1與l2的交點為A，直線l1和l2向上的方向之間所成的角為120，如圖所示，求直線l2的傾斜角解l1與l2向上的方向之間所成的角為120，l2與x軸交于點B，傾斜角ABx12015135.三 、傾斜角和斜率的應用問題4當直線的傾斜角由0逐漸增大到180，

9、其斜率如何變化？為什么？提示當傾斜角為銳角時，斜率為正，而且斜率隨著傾斜角的增大而增大；當傾斜角為鈍角時，斜率為負，而且斜率隨著傾斜角的增大而增大知識梳理設直線的傾斜角為，斜率為k.的大小009090900不存在k0k的增減性隨的增大而增大隨的增大而增大注意點：正切函數在0，)上不單調例3已知兩點A(3,4)，B(3,2)，過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(1)求直線l的斜率k的取值范圍；(2)求直線l的傾斜角的取值范圍解如圖，由題意可知kPAeq f(40,31)1，kPBeq f(20,31)1，(1)要使l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是(，11，)(2)由題意

10、可知直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又PB的傾斜角是45，PA的傾斜角是135，所以的取值范圍是45135.反思感悟傾斜角和斜率的應用(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者相互聯系(2)涉及直線與線段有交點問題常通過數形結合利用公式求解跟蹤訓練3已知A(3,3)，B(4,2)，C(0，2)(1)求直線AB和AC的斜率；(2)若點D在線段BC(包括端點)上移動時，求直線AD的斜率的變化范圍解(1)由斜率公式可得直線AB的斜率kABeq f(23,43)eq f(1,7).直線AC的斜率kACeq f(23,03)eq f(5,3).故直線AB的斜率為eq f(1,7)，直

11、線AC的斜率為eq f(5,3).(2)如圖所示，當D由B運動到C時，直線AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直線AD的斜率的變化范圍是eq blcrc(avs4alco1(f(1,7)，f(5,3).1知識清單：(1)直線斜率的定義和斜率公式(2)直線的傾斜角及其范圍2方法歸納：數形結合3常見誤區：忽視傾斜角范圍，圖形理解不清1(多選)下列說法正確的是()A若是直線l的傾斜角，則0180B若k是直線的斜率，則kRC任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率D任意一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角答案ABC2若經過A(m,3)，B(1,2)兩點的直線的傾斜角為45，則m等于()A2 B1 C1 D

12、2答案A解析由題意知，tan 45eq f(23,1m)，得m2.3若A(2,3)，B(3,2)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，m)三點共線，則實數m的值為_答案eq f(9,2)解析設直線AB，BC的斜率分別為kABkBC，則由斜率公式，得kABeq f(32,23)1，kBCeq f(m2,f(1,2)3)eq f(2,5)(m2)A，B，C三點共線，kABkBC，即1eq f(2,5)(m2)，解得meq f(9,2).4經過A(m,3)，B(1,2)兩點的直線的傾斜角的取值范圍是_(其中m1)答案01時，tan eq f(32,m1)0，090.故090.課

13、時對點練1下面選項中，兩點確定的直線的斜率不存在的是()A(4,2)與(4,1) B(0,3)與(3,0)C(3，1)與(2，1) D(2,2)與(2,5)答案D解析D項，因為x1x22，所以直線垂直于x軸，傾斜角為90，斜率不存在2(多選)已知直線斜率的絕對值為eq r(3)，則直線的傾斜角可以為()A30 B60 C120 D150答案BC解析由題意得直線的斜率為eq r(3)或eq r(3)，故直線的傾斜角為60或120.3已知經過點P(3，m)和點Q(m，2)的直線的斜率為2，則m的值為()A1 B1 C2 D.eq f(4,3)答案D解析由eq f(m2,3m)2，得meq f(4,

14、3).4若某直線的斜率k(，eq r(3)，則該直線的傾斜角的取值范圍是()A.eq blcrc(avs4alco1(0，f(,3) B.eq blcrc(avs4alco1(f(,3)，f(,2)C.eq blcrc(avs4alco1(0，f(,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，) D.eq blcrc)(avs4alco1(f(,3)，)答案C解析直線的斜率k(，eq r(3)，ktan eq f(,3)，該直線的傾斜角的取值范圍是eq blcrc(avs4alco1(0，f(,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，).5若A(2,3)，B(3

15、,2)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，m)三點共線，則實數m的值為()A2 B2 C.eq f(5,2) Deq f(1,2)答案C解析因為A(2,3)，B(3,2)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，m)三點共線，所以kABkAC，即eq f(32,23)eq f(3m,2f(1,2)，所以eq f(1,5)eq f(3m,f(5,2)，解得meq f(5,2).6直線l過點A(1,2)，且不過第四象限，則直線l的斜率的取值范圍是()A0,2 B0,1C.eq blcrc(avs4alco1(0，f(1,2) D.eq blcrc(avs4

16、alco1(f(1,2)，0)答案A解析如圖所示，當直線l在l1的位置時，ktan 00；當直線l在l2的位置時，keq f(20,10)2，故直線l的斜率的取值范圍是0,27已知點A(1,2)，若在坐標軸上存在一點P，使直線PA的傾斜角為135，則點P的坐標為_答案(3,0)或(0,3)解析由題意知，kPA1，若點P在x軸上，設點P的坐標為P(m,0)(m1)，則eq f(02,m1)1，解得m3，即P(3,0)若點P在y軸上，設點P的坐標為P(0，n)，則eq f(n2,01)1，解得n3，即P(0,3)綜上，點P的坐標為(3,0)或(0,3)8若經過點A(1t,1t)和點B(3,2t)的

17、直線的傾斜角為鈍角，則實數t的取值范圍是_答案(2,1)解析由題意知，kABeq f(2t1t,31t)eq f(t1,t2).因為直線的傾斜角為鈍角，所以kABeq f(t1,t2)0，解得2t0，即eq f(m1,1m)0，解得1m1.10.如圖所示，菱形OBCD的頂點O與坐標原點重合，OB邊在x軸的正半軸上，已知BOD60，求菱形OBCD各邊和兩條對角線所在直線的傾斜角和斜率解在菱形OBCD中，ODBC，BOD60，所以直線OD，BC的傾斜角相等，都為60，所以kODkBCtan 60eq r(3).因為CDOB，且OB在x軸上，所以直線OB，CD的傾斜角相等，都為0，所以kOBkCD0

18、，由菱形的性質，知COB30，OBD60，所以直線OC，BD的傾斜角分別為30，120，所以kOCtan 30eq f(r(3),3)，kBDtan 120eq r(3).11如果直線l先沿x軸負方向平移2個單位長度，再沿y軸正方向平移2個單位長度后，又回到原來的位置，那么直線l的斜率是()A2 B1 C1 D2答案B解析設A(a，b)是直線l上任意一點，則平移后得到點A (a2，b2)，于是直線l的斜率kkAAeq f(b2b,a2a)1.12已知點A(2,3)，B(3，2)，若直線l過點P(1,1)，且與線段AB始終沒有交點，則直線l的斜率k的取值范圍是()A.eq blcrc(avs4alco1(kblc|rc (avs4alco1(f(3,4)k2或kf(3,4) Dk|kbc0，則eq f(fa,a)，eq f(fb,b)，eq f(fc,c)的大小關系為()A.eq f(fc,c)eq f(fb,b)eq f(fa,a) B.eq f(fa,a)eq f(fb,b)eq f(fc,c)C.eq f(fc,c)eq f(fa,a)eq f(fb,b) D.eq f(fa,a)eq f(fc,c)bc0，所以eq f(fa,a)eq f(fb