1、高二數學 選修 1-2 第二章 推理與證明2.2 直接證明與間接證明2.2.2 反證法濮陽外國語學校王玉會證明 直接證明 間接證明 復習回顧：綜合法分析法反證法直接證明：(1)綜合法(2)分析法由因導果執果索因得到一個明顯成立的結論P Q1Q1 Q2Q2 Q3Qn Q2.2直接證明與間接證明2.2.2反證法王戎識李 王戎7歲時,與小伙伴們外出游玩,看到路邊的李樹上結滿了果子.小伙伴們紛紛去摘取果子,只有王戎站在原地不動,一位長者問王戎：“為什么不摘李子？”王戎回答說: 小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李.他是通過什么方法來判斷的?引例1：“樹在道邊而多李，此必苦李” 桌面上有3枚正面朝上的硬幣，

2、每次用雙手同時翻轉2枚硬幣.那么無論怎么翻轉，都不能使硬幣全部反面朝上.引例2：思考2:你能解釋這種現象嗎？引例3： 將9個球分別染成紅色或白色。那么無論怎樣染，至少有5個球是同色的。思考2:你能證明這個結論嗎？間接證明： 不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法。反證法是一種常用的間接證明的方法。思考4:前3個引例的解釋過程，有什么共同特點？反證法： 一般地，假設原命題不成立，（即在原命題的條件下，結論不成立）經過正確的推理，最后得出矛盾。因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法（歸謬法）。反證法的思維方式：正難則反反證法的理論依據：矛盾的體現形式：（1）與已

3、知條件矛盾；（2）與已有公理、定理、定義矛盾； （3）與假設矛盾；（4）自相矛盾。是不是 有沒有等不等 成立不成立都是不都是，即至少有一個不是都有不都有，即至少有一個沒有都不是部分或全部是，即至少有一個是唯一至少有兩個至少有一個有（是）全部沒有（不是）至少有一個不全部都常見否定用語例1、已知：一個整數 的平方為偶數， 求證： 是偶數。證明：假設整數 不是偶數，則 為奇數不妨設 是奇數,這與已知“ 是偶數矛盾”.假設不成立，原結論成立即 是偶數反證法的步驟為：反設假設命題的結論不成立；存真由矛盾結果，斷定反設不真，從而肯定原結論成立。歸謬從假設出發，經過一系列正確的推理，得出矛盾； 例2、求證：

4、 是無理數.證明：假設 是有理數則存在互質的整數 使得是偶數，從而 必是偶數，故設從而有 ，即也是偶數,從而 也是偶數.這與 互質矛盾，所以假設不成立.是無理數.證明：由于 ，因此方程至少有一個根假設方程 至少存在兩個根不妨設其中的兩根分別為 且 這與已知 矛盾,所以假設不成立所以 有且只有一個根例3 : 已知 ，證明 的方程 有且只有一個根.例4：若 均為實數且 ， ,求證： 中至少有一個大于0. 證明：假設 都不大于0，即 則而這與 矛盾所以 中至少有一個大于0 應用反證法的情形：(1)直接證明困難；(2)結論為“唯一”類命題；(3)結論為“至少”，“至多”，“有無窮多個”類命題；(4)需

5、要分成很多類進行討論.正難則反！當堂練習：1、應用反證法推出矛盾的推導過程中要把下列哪些 作為條件使用 ( )結論相反判斷，即假設；原命題的條件；公理，定理，定義等；原結論.A. B. C. D.C2、命題“三角形中最多只有一個內角是直角”的結論的否定是 （ ） A.有兩個內角是直角 B.有三個內角是直角 C.至少有兩個內角是直角 D.沒有一個內角是直角C3、設 則三數 中（ ）A.都不大于2 B.都不小于2C.至少有1個不小于2 D.至少有1個不大于2C4、 已知實數 ，求證：不可能同時大于 1.用反證法證明命題的一般步驟是什么?反設 歸謬 結論2.用反證法證題,矛盾的主要類型有哪些?(1)與已知條件矛盾；(2)與已有公理、定理、定義矛盾； (3)與假設矛盾；(4)自相矛盾。總結提煉：3、你認為反證法的使用情形有那些？(1)直接證明困難；(2)結論為“唯一”類命題；(3)結論為“至少”，