1、重慶市永川中學高二數學第14周第1次小題單(選修2-2、2-3、4-4綜合)理一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分，把單項答案填在括號內).已知a,b R,i是虛數單位，若a-i與2+bi互為共軻復數，則白應產=()A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i【解析】選D.因為a-i與2+bi互為共軻復數，所以a=2,b=1,所以(a+bi) 2=(2+i) 2=4+4i+i 2=3+4i. TOC o 1-5 h z .函數f(x)=sinx+cosx 在點(0 , f(0)處的切線方程為()A.x-y+1=0B.x-y-1=0C.x+y-1=0D.x+y+1=0【解析】

2、選 A.由f (x)=cosx-sinx 得f (0)=1.又f(0)=1 ,所以切線方程為 x-y+1=0.極坐標方程cos 0 =( P R R)表示的曲線是()A.兩條相交直線B.兩條射線 C . 一條直線D. 一條射線/311【斛析】選A由cos 0 = ,斛得0 或。=兀，又pCR,故為兩條過極點的直線. 266.推理“矩形是平行四邊形；正方形是矩形；正方形是平行四邊形”中的小前提是()A .B. C. D. 以上均錯【解析】選B.是大前提，是結論，是小前提.函數f(x)=xcosx-sinx在下面哪個區間內是增函數()二 3 二八 3 二 5 二A.(-, ) B.(兀，2兀)C.

3、(, )D.(2 % ,3 % )2 22 2【解析】選 B. f(x)=(xcosx-sinx)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,由函數遞增，則 f(x) 0,又各選項均為正實數區間，所以sinx W0,故選B.6.若 S=A1+&+A3+111111 + 3；,則 S的個位數字是()A.0B.3C.5D.8【解析】選B.11x4)2.若隨機變量X的概率分布密度函數是f (x) = - e8 ,x (-00,+=c)則2、2 二E(2X+1)的值是()A . 5 B . 9 C. 3 D . 2【解析】選C.設m為正整數，(x+y) 2m展開式的二項式系數的最大值為a,(x+y

4、) 2m+1展開式的二項式系數的最大值為 b,若 13a=7b,則 m=()A.5B.6C.7D.8【解析】選B.a=C盥,b=C8tl+r因為13c殊=7C為+i，解得m=6.已知函數f （x） =x3+ax2+（a+6）x+1有極大值和極小值，則實數 a的取值范圍是（） A. -3 a 6 B. a6 C , -1 a 2 D, a2【解析】選B TOC o 1-5 h z .曲線y =ln（2x 1）上的點到直線2x y+3 = 0的最短距離是（）A. 75B . 2 底C . 3j5D . 0【解析】選A1_.設函數 f (x) =xln x(x 0),則 y = f (x)1B .在

5、區間（，1）,（1,e）內均無零點e（1,e）內無零點.（1,e）內有零點.1A.在區間（,1）,（1,e）內均有零點 e，一、一 1C.在區間（一，1）內有零點，在區間 eD.在區間（1,1）內無零點，在區間 e【解析】選Dx2 y2, 一八皿 2.右動點（x, y）在曲線+b2=1（b0）上變化，則 x + 2y的取大值為（ TOC o 1-5 h z %2,fb2.一-+ 4D412bb,2【解析】選A 設動點的坐標為(2cos 0 , bsin 。)，代入x2+ 2y= 4cos2 0 + 2bsin=(2sin，b)2+4+b，當 04時,2b、2 b2(x + 2y) max= (

6、2 2) + 4 + z = 2b.二、填空題（本大題共 4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上）3+i.復數丁（i為虛數單位）的實部等于 .i2.，3+i 3+it【解析】答案：-3因為丁丁=-3-i,所以實部為-3.P 1.甲從學校乘車回家，途中有3個交通崗，假設在各交通崗遇紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都2是二則甲回家途中遇紅燈次數的期望為 .5【解析】答案：1.2設甲在途中遇紅燈次數為鼠因為在各交通崗遇紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是二,所以七B（3,W）,所以E（七）=3 X二=1.2.321 1.若函數f（x） =x3 +ax2 -2x+5在區間（）上既不是單倜遞

7、增函數，也不是單倜遞減函3 2數，則實數a的取值范圍是5 5【解析】答案（5 5）42.某次聯歡會要安排 3個歌舞類節目、2個小品類節目和1個相聲類節目的演出順序，則同類節目不相鄰的排法種數是 .【解析】答案120三、解答題（本題共 6個小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）. 8人圍圓桌開會，其中正、副組長各 1人，記錄員1人.（1）若正、副組長相鄰而坐，有多少種坐法？（2）若記錄員坐于正、副組長之間，有多少種坐法？解析（1）正、副組長相鄰而坐，可將此 2人當作1人看，即7人圍一圓桌，有（71）! =6!種 坐法，又因為正、副組長 2人可換位，有2!種坐法.故所求坐法為（

8、71）! X2! = 1440種.（2）記錄員坐在正、副組長中間，可將此 3人視作1人，即6人圍一圓桌，有（6 1）! =5!種 坐法，又因為正、副組長 2人可以換位，有 2!種坐法，故所求坐法為 5! X2! = 240種.已知（出一一1）n的展開式中，前三項系數的絕對值依次成等差數列.2 ,x（1）求展開式中的常數項；（2）求展開式中所有整式項.解析(1) Tr+1=C (浜廣r r (T)r,1 111 o前三項系數的絕對值分別為cn,2或4cn，由題意知cn=Gn+;c2,n= 1+ 1n( n- 1), nCN*,解得 n = 8 或 n=1(舍去)， 8Tk + 1 = Ck ,

9、( xfx.) 8 k , ( 2y-) k= d . ( _ Q) k . x，k1 0w k1,k C N)時等式成立，即1 X 2 x 3+2X 3X 4+ - +k(k+1)(k+2)= 1 k(k+1)(k+2)(k+3),4則當 n=k+1 時，1X2X3+2X3X4+ - +k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3)= 1 k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)=1 (k+1)(k+2)(k+3)(k+4),44因此等式成立，由知等式成立.20.袋中有3只紅球，2只白球，1只黑球。(1)若從袋中有放回的抽取3次，每次抽取一只，求恰有兩次取到紅

10、球的概率。(2)若從袋中不放回的抽取，每次抽取一只。當取到紅球時停止抽取，否則繼續抽取，求抽取次數”的分布列。(3)若從袋中不放回的抽取3次，每次抽取一只。設取到 1只紅球得2分，取到1只白球得1分，取到1只黑球得0分，試求得分U的方差。 TOC o 1-5 h z 11 , 1解析：(1)抽1次得到紅球的概率為 一，得白球的概率為 ，得黑球的概率為 一. 236c 13所以恰2次為紅色球的概率為P1 =C；(1)2283 333 2 33(2)=1 234 P( =1) = , P( =2) =; P( =3)=1,2,3,466 5106 5 42032 131P( =4)=一 一 二 一

11、65 4 320n的分布列是：n1234P16312202020L / 1C 6E=1 2 2203 4 -2020p( = 3)=c3c2c16C320E =6220D =(6-4)220工20p( =5)二等C6；p( =2)=6,664 3 202(5-4)620p( = 4)=C3C1 +c3c；C3620C2C1 CT1202020 (4-4)202626元(3一4)%(2一4)21.把邊長為a的等邊三角形鐵皮剪去三個相同的四邊形(如圖陰影部分)后21一二 120,用剩余部分做成一個無蓋的正三棱柱形容器(不計接縫)，設容器的高為x,容積為V(x).(1)寫出函數V(x)的解析式，并求

12、出函數的定義域；(2)求當x為多少時，容器的容積最大？并求出最大容積解析：(1)因為容器的高為x,則做成的正三棱柱形容器的底邊長為(a - 2 3x).一32則V(x)=(a -2 3x)2x4 .3 ,函數的定義域為(0,a).6(2)實際問題歸結為求函數V(x)在區間(0,a)上的最大值點.在開區間(0,吏2)內，V(x)=9%&2 _6ax+W3a264*-23 2令 V(x)=0,即令 973x2 -6ax+a2 =0 ,解得 x4= a(舍去).6因為x1 =W3a在區間(0,立a)內，不可能是極值點. 186當 0 x為時，V(x)A0；當x x、3a時，V(x) 0.因此x是極大

13、值點，且在區間(0,6a)內，x是唯一的極值.3 3點，所以x=x1= a是V(x)的取大值點，并且取大值f (1818a) =- a54即當正三棱柱形容器高為22.已知函數 f(x)=e x-1-x. (1)(2) 若存在xC-1,ln 錯誤!史a時，容器的容積最大為a3.1854求y = f(x)在點(1,f(1)處的切線方程.未找到引用源。,使a-ex+1+x 0時,f(x) tx 2恒成立，求t的取值范圍.【解析】(1) f (x)=ex-1,f(1)=e-2,f(1)=e-1. .f(x)在(1,f(1)處的切線方程為 y-e+2=(e-1)(x-1), 即 y=(e-1)x-1.(

14、3)之=6,5,4,3,2(2)ae x-1-x,即 a0 時,fF(x)0,x0 時，f(x)f(ln4), .-.f(x)在-1,ln 4上的最大值為 L故a的取值范圍是a 0時,e x-x-1-tx 2 0恒成立，設 g(x)=e x-x-1-tx 2, .1.g(x)=e x-1-2tx.由(2)知 ex 1+x,當且僅當 x=0 時等號成立，一 .，、故 g (x) x-2tx=(1-2t)x, 從而當 1-2t 0, 即 t w 一 時，g(x) 0(x 0),1 g(x)為增函數，又g(0)=0,于是當 x0 時,g(x) 0,即 f(x) tx 2, - t 1+x(x w0)

15、可彳導 e-x1-x(x w0), 2.1 .從而當 t 一時，g (x)e-1+2t(e -1)=e (e -1)(e -2t), 2故當 x 6 (0,ln 2t) 時，g (x) 0, 1- g(x)為減函數，又 g(0)=0,于是當x C (0,ln 2t) 時,g(x) 1,不符合題意2綜上可得t的取值范圍為(-8, 1.2已知x =1是函數f (x) = mx3 3(m+1)x2 +nx+1的一個極值點，其中m, n R m Q(1)求m與n的關系式；(2)求f(x)的單調區間；(3)當xw 1-1,1時，函數y = f(x)的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m,求m的取值范圍【解析】：(1) f (x) =3mx2 6(m+1)x + n因為x=1是函數f(x)的一個極值點，所以f(1) = 0, 即 3m 6(m +1) +n = 0 ,所以 n =3m + 6-12(2)由(1)知，f (x) =3mx2 6(m+1)x+3m + 6=3m(x1).|x2一 一當m 0時，有1 下1十一，當x變化時，f (x)與f (x)的變化如下表: mx02 ) 1 ,1 + I m1+Z m