1.4向量和矩陣的范數課件_第1頁
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文檔簡介

1、1.4 向量和矩陣的范數1.4.2 矩陣的范數及其性質1.4.1 向量的范數及其性質1.4 向量和矩陣的范數學習目標： 掌握向量范數、矩陣范數等概念。在實數域中，數的大小和兩個數之間的距離是通過絕對值來度量的。在解析幾何中，向量的大小和兩個向量之差的大小是“長度”和“距離”的概念來度量的。為了對矩陣運算進行數值分析，我們需要對向量和矩陣的“大小”引進某種度量。范數是絕對值概念的自然推廣。1.4 向量和矩陣范數范數是對向量和矩陣的一種度量,實際上是二維和三維向量長度概念的一種推廣.數域:數的集合,對加法和乘法封閉線性空間:可簡化為向量的集合,對向量的加法和數量乘法封閉,也稱為向量空間有理數、實數

2、、復數數域 1.4.1 向量范數 ( vector norms )定義1.5如果向量 的某個實值函數 滿足：（1）正定性： ，且 當且僅當x=0；（2）齊次性：對任意實數 ，都有（3）三角不等式：對任意 x，y ，都有則稱 為 上的一個向量范數。定義1 如果向量 的某個實值函數 滿足：（1）正定性： ，且 當且僅當x=0；（2）齊次性：對任意實數 ，都有（3）三角不等式：對任意 x，y ，都有則稱 為 上的一個向量范數。自己證容易驗證，向量的范數和1范數滿足定義1.5中的條件。對于2范數，滿足定義1.5中的條件（1）和（2）是顯然的，對于條件（3），利用向量內積的 Cauchy-Schwarz

3、不等式可以驗證。顯然并且由于定理1 注意:一般有向量的等價關系 例 1 求下列向量的各種常用范數解:1*499/4*4=9定義2 如果矩陣 的某個實值函數 滿足（1）正定性： 且 當且僅當 ；（2）齊次性：對任意實數 ，都有 ；（3）三角不等式：對任意 都有（4）相容性：對任意 ，都有則稱 為 上的一個矩陣范數 1.4.2 矩陣的范數( matrix norms )常用的矩陣范數例2不難驗證其滿足定義2的4個條件.稱為Frobenius范數,簡稱F-范數.類似向量的 2-范數稱A的F-范數.定義3例3求矩陣A的各種常用范數解:由于特征方程為容易計算計算較復雜對矩陣元素的變化比較敏感較少使用使用最廣泛性質較好使用最廣泛定義4而因此顯然( spectral norm )譜范數即所

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