1、 十字相乘法因式分解授課人： 鄭澤棟 系數為1的二次三項式知識回顧：我們學過的關于因式分解的方法有幾種？試簡要說明？解題中有遇見過疑惑嗎？1.(x+2)(x+1)=x2+3x+23.(x-2)(x+1)=x2-x-24.(x-2)(x-1)=x2-3x+22.(x+2)(x-1)=x2+x-25.(x+2)(x+3)=x2+5x+66.(x+2)(x-3)=x2-x-67.(x-2)(x+3)=x2+x-68.(x-2)(x-3)=x2-5x+6(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab請直接口答計算結果：一般地，由整式乘法， 常數項a、b之和，即為二次三項式的一次項系數a+b；常數項a、

2、b之積，即為二次三項式的常數項ab.即， 形如 (xa)與(x+b)這樣的兩個一次二項式，其相乘的最終結果，應該是一個二次三項式x2 +(a+b)x+ab.其中，反過來得到：常數項ab可以看成a與b兩個因數之積；這兩個因數a與b的和剛好等于一次項的系數a+b. 即， 形如x2 +(a+b)x+ab這樣的二次三項式，我們可以對其進行分解因式，結果是(xa)(x+b). 該類二次三項式，應符合如下特點： 于是，其因式分解的結果，恰好是兩個一次二項式(xa)與(x+b)的乘積的形式.即， 一個二次三項式x2+px+q，如果能夠把常數項q，分解成兩個因數a、b的積ab，且使a+b等于一次項的系數p，那

3、么它就可以分解因式。下面介紹的方法，有助于幫助我們解決分拆的技巧。 實際在運用上述公式進行分解因式時，需要把常數項和一次項系數進行分拆。 即，xxab axbx=(ab)xx2ab 解析：把x2分解成xx，把q分解為ab，并把x、x、a、b排列成如下的形式：交叉相乘后，axbx=(ab)x，發現(ab)正好等于一次項系數p，所以x2 +px+q=(xa)(x+b)利用十字交叉線來分解系數，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法.1.x2+8x+12=2.x2-11x-12=3.x2-7x+12=4.x2-4x-12=5.x2+13x+12=6.x2-x-12=觀察常數項有何區別？例1 分解因

4、式 x +6x+82 =(x+2)(x+4)xx24 4x+2x=6x 解：x +6x+82變：分解因式 x -6x+82 解：x-6x+82 =(x-2)(x-4)xx-2-4 -4x-2x=-6x因式分解時常數項因數分解的一般規律： 1.常數項是正數時，它分解成兩個同號因數，它們和一次項系數符號相同.1.x2+8x+12=練一練2.x2-7x+12=(x+2)(x+6)(x-3)(x-4)3.x2+13x+12=(x+1)(x+12)將下列各式因式分解:例2 分解因式 x +4x-212 =(x-3)(x+7)xx-37 7x-3x=4x 解: x +4x-212變：分解因式 x -4x-

5、212 解: x-4x-212 =(x+3)(x-7)xx3-7 -7x+3x=-4x 2.常數項是負數時，它分解成兩個異號因數，其中絕對值較大的因數和一次項系數符號相同。規律：歸納與總結對二次三項式x2 + px + q進行因式分解，應重點掌握以下三個方面：1掌握方法: 拆分常數項,驗證一次項. 2符號規律: 當q0時，a、b同號，且a、b的符號與p的符號相同；當q0時，a、b異號，且絕對值較大的因數與p的符號相同.3書寫格式:豎分橫積1.x2-11x-12=練一練2.x2-4x-12=(x-6)(x+2)(x-12)(x+1)3.x2-x-12=(x-4)(x+3)將下列各式因式分解:現在

6、動手試試看吧！練習：因式分解 (1) x2+7x+12 (2) x2-5x+4 (3) x2+2x-8 (4) x2-2x-8 (3) a2b2-ab-2 =例3：因式分解 (1) (a+b)2-4(a+b)+3= (2) x4+9x2+14 = 練習：因式分解 (3) -x2+6x-16 (4) x3-x2-6x 例4：因式分解 x2-3xy+2y2練習:因式分解 x2-8xy+15y2問題1：如果給出式子是 x2 + （ ）x + 12 ，為使式子仍然可以因式分解（在整數范圍內），那么括號（ ）里應填什么數？開動你的腦筋問題2：為了式子x2 + p x - 18可以因式分解（在整數范圍內）

7、，p可以取哪些整數？試盡可能多地寫出 p的可能取值。 p可能取值的個數有什么規律？再問：請獨立思考問題3：為了式子x2 + 7x + q 可以因式分解（在整數范圍內）q可以取哪些整數？試盡可能多地寫出？p的可能取值。再問： q可能取值的個數有什么規律？想不出來就討論一下吧！隨堂測驗學案（5分鐘） 抓緊開始吧！ 小結： 1.運用公式x2 + ( a + b )x + a b = (x + a) (x + b)必須同時備的三個條件：(1)二次項系數式是1的二次三項式(2)常數項是兩個數之積(3)一次項系數是常數項的兩個因數之和 2.常數項因數分解的一般規律： (1) 常數項是正數時，它分解成兩個同號因數，它們和一次項系數符號相同