1、流體動力學理論基礎流體運動學本章內容 流體運動的描述方法 流場的基本概念 流體運動的質量守恒方程 流體微團的運動三、流體運動的質量守恒方程 連續性、系統和控制體 一維恒定總流的連續性方程 三維流動的連續性方程 在流體力學的研究中，把流體看作是連續介質，即使是在運動流體內部，流體質點也是連續充滿所占據的空間，彼此間不會出現空隙。流體的這種性質稱為連續性，用數學形式表達出來就是連續性方程，它是物質不滅定律在流體力學中的具體體現，實質上是質量守恒方程。連續性控制體：控制體被流體所流過的，相對于某個坐標系來說，固定不變的任何體積稱之為控制體。 控制體的邊界面，稱之為控制面。 控制面總是封閉表面。 占據

2、控制體的諸流體質點隨著時間而改變。控制體邊界（控制面）的特點：控制體控制面相對于座標系是固定的。在控制面上可以有質量交換。在控制面上，受到控制體以外物體加在控制體之內物體上的力。在控制面上可以有能量交換。實質：質量守恒連續性方程的微分形式oyxzdmxdmxdxdydzdt時間內x方向：流入質量流出質量凈流出質量三維流動的連續性方程同理：dt時間內，控制體總凈流出質量：三維流動的連續性方程由質量守恒：控制體總凈流出質量，必等于控制體內由于密度變化而減少的質量，即三維流動的連續性方程恒定流三維流動的連續性方程不可壓縮流體有兩種二元液流，其流速可表示為： （1）ux= -2y, uy=3x；（2）

3、ux=0, uy=3xy。試問這兩種液流是不可壓縮流嗎？（2）（1）例題四、流體微團的運動 流體質點間的相對運動 流體微團的線變形運動 流體微團的角變形運動 流體微團的旋轉運動 流體微團運動的合成流體微團流體微團：流體微團是指體積微小，隨流體一起運動的一團流體物質。 包含無數個流體質點。 各流體質點間存在相對位置變化。 能夠體現膨脹、變形、轉動等尺度變化。流動質點間的相對運動剛體的運動特點平移、轉動流動質點間的相對運動流體質點的運動特點 一般情況下，任一流體微元的運動可以分解為三個運動：隨同任意極點的平移，對于通過這個極點的瞬時軸的旋轉運動以及變形運動。流動質點間的相對運動xyzO亥姆霍茲速度

4、分解定理M0點的運動速度M點的運動速度亥姆霍茲速度分解定理對M點的運動速度采用泰勒級數展開亥姆霍茲速度分解定理在u的表達式中加入得亥姆霍茲速度分解定理在v的表達式中加入得亥姆霍茲速度分解定理M點速度與M0點速度和速度空間變化率平移、線變形、角變形、轉動亥姆霍茲速度分解定理流體微團的線變形運動x方向上流體微團的線變形量為同理y方向上流體微團的線變形量為存在各質點在連線方向的速度梯度是產生線變形的原因流體微團的線變形運動線變形速率：單位時間內流體線的相對伸長。同理流體微團的線變形運動體積變形速率：單位時間內流體微團體積的相對變化。dt時間內流體微團的體積變化量流體微團的線變形運動體積變形速率：體積

5、變形速率等于三個方向線變形速率之和。流體微團的角變形與旋轉運動只有角變形只有旋轉既有角變形又有旋轉存在不在質點連線方向的速度梯度是產生旋轉和角變形的原因流體微團的角變形與旋轉運動流體微團的旋轉運動流體微團的旋轉運動旋轉角度：流體微團的旋轉運動旋轉角速度：單位時間內流體微團的旋轉角度。同理流體微團的旋轉運動旋轉角速度的矢量表達式：流體微團的角變形運動流體微團的角變形運動變形角：角變形：流體微團的角變形運動角變形速率：單位時間內流體微團的角度變化。同理流體微團運動的合成平移、線變形、角變形、轉動流體微團運動的合成三維情況：矢量形式：渦量及無旋運動渦量：流速場的旋度稱為渦量。渦量及無旋運動無旋運動：

6、流場中的流體微團沒有旋轉運動。區別主要在于流體質點是否繞自身軸旋轉與運動軌跡無關。有旋運動及無旋運動的區別有旋運動及無旋運動的區別有旋流：亦稱“渦流”。流體微團在運動中不僅發生平動或變形，而且繞著自身的瞬時軸線作旋轉運動。無旋流：亦稱“勢流”、“有勢流”。流體在運動中，流體微團只有平動或變形，但不發生旋轉運動，即不繞其自身的瞬時軸線作旋轉運動。已知流體流動的流速場為 試判斷該流動是無旋流還是有旋流。故液體流動是無旋流。例題解：例：平面流場ux=ky，uy=0（k為大于0的常數），分析流場運動特征解：流線方程：線變形：角變形：旋轉角速度：xyo（流線是平行與x軸的直線族）（無線變形）（有角變形）

7、（順時針方向為負）例：速度場ur=0 ，u=b/r（b為常數），流線是以原點為中心的同心圓，此流場是有旋流動還是無旋流動？解：用直角坐標：xyoruxuyup是無旋流（微元平動）小結：流動作有旋運動或無旋運動僅取決于每個流體微元本身是否旋轉，與整個流體運動和流體微元運動的軌跡無關。無旋有勢1.速度勢函數類比：重力場、靜電場作功與路徑無關勢能無旋條件：由全微分理論，無旋條件是某空間位置函數(x,y,z)存在的充要條件函數稱為速度勢函數，無旋流動必然是有勢流動速度勢函數由函數的全微分：得：（ 的梯度）2.拉普拉斯方程由不可壓縮流體的連續性方程將代入得即拉普拉斯方程為拉普拉斯算子， 稱為調和函數不可

8、壓縮流體無旋流動的連續性方程注意：只有無旋流動才有速度勢函數，它滿足拉普拉斯方程3.極坐標形式（二維）不可壓縮平面流場滿足連續性方程：即：由全微分理論，此條件是某位置函數（x，y）存在的充要條件函數稱為流函數有旋、無旋流動都有流函數流函數由函數的全微分： 得：流函數的主要性質：（1）流函數的等值線是流線；證明：流線方程（2）兩條流線間通過的流量等于兩流函數之差；證明：（3）流線族與等勢線族正交；斜率：斜率：等流線等勢線利用（2）、（3）可作流網（4）只有無旋流的流函數滿足拉普拉斯方程證明：則：將代入也是調和函數得：在無旋流動中例：不可壓縮流體，ux=x2y2，uy= 2xy，是否滿足連續性方程

9、？是否無旋流？有無速度勢函數？是否是調和函數？并寫出流函數。解：（1） 滿足連續性方程（2） 是無旋流（3）無旋流存在勢函數：取（x0，y0）為（0，0）（4） 滿足拉普拉斯方程， 是調和函數（5）流函數取（x0，y0）為（0，0）1.均勻平行流速度場（a,b為常數）速度勢函數等勢線流函數流線uxyo112323幾種簡單的平面勢流當流動方向平行于x軸當流動方向平行于y軸112211222.源流與匯流（用極坐標）（1）源流：1122o34ur源點o是奇點r0 ur速度場速度勢函數等勢線流函數流線（2）匯流 流量1122o34匯點o是奇點r0 ur（3）環流勢渦流（用極坐標）注意：環流是無旋流！速

10、度勢函數流函數速度場環流強度逆時針為正1122o34u也滿足同理，對無旋流：勢流疊加原理勢 流 疊 加 原 理（1）半無限物體的繞流（用極坐標）模型：水平勻速直線流與源流的疊加（河水流過橋墩）流函數：速度勢函數：即視作水平流與源點o的源流疊加u0S幾個常見的勢流疊加的例子作流線步驟：找駐點S：將代入（舍去）將代入得駐點的坐標：u0Sors（1）（2）由（2）由（1）將駐點坐標代入流函數，得則通過駐點的流線方程為給出各值，即可由上式畫出通過駐點的流線流線以為漸進線外區均勻來流區；內區源的流區（“固化”、半體）（2）等強源匯流（用極坐標直角坐標）模型：源流與匯流疊加（電偶極子）xyoaarr1r2P(x,y)12q-q勢函數流函數源流和匯流的疊加當a0，q，2qa常數M偶極流