1、第五章 點的復合運動1第五章 點的復合運動（或稱點的合成運動） 51 絕對運動、相對運動和牽連運動 52 點的速度合成定理 53 點的加速度合成定理 2本章重點：運動的分解，點的速度合成定理和加速度合成定理及其應用。本章難點：點的牽連速度和牽連加速度的概念和計算，動點動系的選擇，點的加速度合成定理的應用。 3 前一章我們研究點的運動，一般都是以地面為參考系的，即：是研究點對一個坐標系（參考系）的運動。然而在實際問題中，還常常要在相對于地面運動著的參考系上觀察和研究物體的運動，即：點的運動涉及到兩個坐標系， 例如，無風下雨時從行駛的汽車上看下雨的雨點是向后斜落的。根據這種關系可以把點的復雜運動分

2、解為兩種簡單運動來研究。45-1絕對運動、相對運動、牽連運動 一坐標系：1.靜坐標系（靜系）：固結于地面上的坐標系。2.動坐標系（動系）：固結于相對于地面運動物體上的坐標系。水平直線飛行:螺旋槳端點P的運動：以機艙和以地面為參考系觀察到的P點的運動是不同的。xxyyzz5返 回6三三種運動絕對運動：動點相對于靜系的運動。 例如： P點相對于地面的運動。 相對運動：動點相對于動系的運動。例如：P點相對于飛機機身的運動。牽連運動：動系相對于靜系的運動。例如：飛機相對于地面的運動。點的運動剛體的運動二動點：所研究的點（運動著的點）。可見（1）沒有牽連運動，相對運動和絕對運動是相同的。 （2）絕對運動

3、是相對運動和牽連運動的合成。7絕對運動：直線運動牽連運動：定軸轉動相對運動：曲線運動（螺旋運動）動點：車刀刀尖動系：工件例如：車刀的運動分析8 3.牽連運動中,牽連點的速度和加速度稱為牽連速度 與牽連加速度2.動點相對于動系的速度和加速度稱為相對速度 與相對加速度1.動點相對于靜系的速度與加速度稱為絕對速度 與絕對加速度 牽連點：在某瞬時，動系上與動點相重合的點。 不是隨便一點，而是在該瞬時動系上與動點重合的那一點。注意： 是動系上某點的速度、加速度；四三種速度、加速度的定義9下面舉例說明以上各概念：動點：動系：靜系：AB桿上A點固結于凸輪上固結在地面上10相對運動：牽連運動：曲線（圓弧）直線

4、平動絕對運動：直線11絕對速度 ：相對速度 ：牽連速度 ：12絕對加速度：相對加速度：牽連加速度：13動點：圓盤上的銷釘A動系：擺桿OA靜系：機架絕對運動：曲線（圓周）相對運動：直線牽連運動：定軸轉動動點：A1（在OA1 擺桿上)動系：圓盤靜系：機架絕對運動：曲線（圓弧）相對運動：曲線牽連運動：定軸轉動14 若動點A在偏心輪上時動點：A(在AB桿上) A（在偏心輪上）動系：偏心輪AB桿靜系：地面地面絕對運動：直線圓周（紅色虛線）相對運動：圓周（曲線）曲線（未知）牽連運動：定軸轉動平動15五動點、動系的選擇原則：（1）動點相對動系要有運動（即動點、動系不能在一個物體上）（2）動點的相對運動軌跡要

5、明顯（3）動系的運動要簡單（已知或可求）一般：動點必須是始終與動系接觸的那一點，如桿的端點、銷釘、滑塊、套筒等機構的連接點。特殊情況為圓心。注 要指明動點在哪個物體上。165-點的速度合成定理 速度合成定理將建立動點的絕對速度，相對速度和牽連速度之間的關系。tt+tM M也可看成：M M1 MM1MMM 絕對軌跡 相對軌跡M MM1M 絕對位移 相對位移M M1 牽連位移請看動畫17返 回18由圖：將兩邊同除以t，并取t 0時的極限：19即在任一瞬時動點的絕對速度等于其牽連速度與相對速度的矢量和，這就是點的速度合成定理。20點的速度合成定理是瞬時矢量式，共包括大小方向 六個元素，已知任意四個元

6、素，就能求出其他兩個。在速度平行四邊形中， 一定夾在 與 之間。無論牽連運動為何種運動，此定理都成立。 21例1 圖示搖桿機構。已知搖桿OC以w繞O軸轉動，帶動桿AB沿鉛直槽運動，軸O到桿AB的距離為l，求當OC與水平成j角時AB桿的速度。由速度合成定理 作出速度 ，得解：動點：套筒A，動系：固結在搖桿OC上。j方向：22解題步驟：（1）選取動點、動系 動系可以用文字說明，也可以在所選物體上畫出xoy，靜系可以不敘述。（2）分析三種運動（3）分析三種速度（4）由 作速度平行四邊形 注意： 要位于 與 之間（5）由速度平行四邊形求解235-3點的加速度合成定理由于牽連運動為平動，故由速度合成定理

7、對t求導：設有一動點M按一定規律沿著固連于動系Oxyz 的曲線AB運動, 而曲線AB同時又隨同動系Oxyz 相對靜系Oxyz平動。一、牽連運動為平動時點的加速度合成定理24(其中為動系坐標的單位矢量，因為動系為平動，故它們的方向不變，是常矢量，所以 ）牽連運動為平動時點的加速度合成定理即當牽連運動為平動時，動點的絕對加速度等于牽連加速度與相對加速度的矢量和。一般式可寫為：25解：取桿AB上的A點為動點， 動系固連在凸輪上。例2 已知：凸輪半徑 求：j =60o時, 頂桿AB的加速度。26 由作速度如圖示：（1）求：va = ? , 方位：AB ；：ve=v0 , 方向 ： 。：vr = ? ,

8、 方位CA; 27（2）求 aa=?, 方位：AB，指向：假設ar =? 方位CA方向：AC ae=a0 , 方向：指向：假設注意：不同于速度，加速度的指向一般為假設；加速度圖要與速度圖分開畫28因牽連運動為平動，故有將上式向n軸投影，得得注意加速度矢量方程的投影是等式兩端的投影，與靜平衡方程的投影關系不同.n29解：取曲柄上的滑塊A為動點，動系固連在滑道CD上。例3 圖示具有圓弧形滑道的曲柄滑道機構。已知圓弧半徑為R，曲柄OA以勻w繞水平軸O轉動，OA=R。求當曲柄與水平成j 角時滑道CD的速度和加速度。 （1）求：va = wOA= w R, 方向：OA 與w一致：ve=？ , 方位 ：水

9、平。：vr = ? , 方位O1A; 由作速度：30BE由圖知：ABE=BAE =90-j（2）求：aa=aan=Rw2, 方向：AO：ae=？ , 方位：水平，指向：假設31ar =? 方位O1A，指向：假設方向：AO1由牽連運動為平動的加速度合成定理：將上式向h軸投影，得hjj32 前面我們證明了牽連運動為平動時的點的加速度合成定理，那么當牽連運動為轉動時，上述的加速度合成定理是否還適用呢？下面我們來分析一特例。二、牽連運動為轉動時點的加速度合成定理 設一圓盤以勻角速度 繞定軸順時針轉動，盤上圓槽內有一點M以大小不變的速度 vr 沿槽作圓周運動，那么M點相對于靜系的絕對加速度應是多少呢？1

10、.牽連運動為轉動時的加速度合成定理與牽連運動為平動時有何不同？33相對運動為勻速圓周運動，（方向如圖）由速度合成定理可得出選點M為動點，動系固結與圓盤上，則M點的牽連運動為勻速轉動（方向如圖）即絕對運動也為勻速圓周運動，所以方向指向圓心點。34 可見，當牽連運動為轉動時，動點的絕對加速度并不 等于牽連加速度 和相對加速度的矢量和。那么他們之間的關系是什么呢？ 2 vr 又是怎樣出現的呢？它是什么呢？下面我們就來討論這些問題，推證牽連運動為轉動時點的加速度合成定理。352.牽連運動為轉動時的加速度合成定理(1)動系：Oxyz；靜系：Oxyz，動系以、繞z軸轉動，動點M相對于動系沿AB運動。動點的

11、相對速度及相對加速度動系繞z軸轉動，動系上與動點重合的點的速度、加速度即牽連速度、牽連加速度：由公式（4-2-13）（4-2-14）36(2)由速度合成定理 得 （*）是牽連速度受相對運動的影響而對時間的變化率37 是 矢端的速度，所以 可以看成是矢徑 的端點速度，由于 隨同動系繞z軸轉動，因此 端點的速度可按式（4-2-13）得38是相對速度受牽連運動的影響而對時間的變化率于是，由（*）：39所以，當牽連運動為轉動時，加速度合成定理為 當牽連運動為轉動時，動點的絕對加速度等于它的牽連加速度，相對加速度和科氏加速度三者的矢量和。一般式3.科氏加速度 這是由于牽連運動為轉動時，牽連運動會改變相對

12、速度的方向而引起相對速度的變化，相對運動會改變牽連點而引起牽連速度的變化。牽連運動（即動系）的角速度40大小：方向：按右手法則確定4. 存在的實例在北半球,沿經線(南北)流動的河流的右岸易被沖刷(如蘇聯的伏爾加河),鐵路的右軌磨損厲害，在南半球則相反。對于平面機構：aC=2vr ，方向： 將 繞動系方向轉900即得41解: 動點: AB桿上A點； 動系: 凸輪 。（1）求vAB 例4 已知：凸輪機構以勻 繞O軸轉動，圖示瞬時OA= r ，A點曲率半徑 , 已知。求：該瞬時頂桿 AB的速度和加速度。： va=? , 方位：AB：ve= r ， 方向OA， ： vr=? 方向n根據作出速度q請看動

13、畫42返 回43（2）求aAB指向：假設q44由牽連運動為轉動時的加速度合成定理作出加速度矢量圖如圖示向 n 軸投影：45 練習 矩形板ABCD以勻角速度 繞固定軸 z 轉動，點M1和點M2分別沿板的對角線BD和邊線CD運動，在圖示位置時相對于板的速度分別為 和 ，計算點M1 、 M2的科氏加速度大小, 并圖示方向。點M2 的科氏加速度解：點M1的科氏加速度垂直板面向里。46解：根據作出速度方向：與 相同。練習 曲柄擺桿機構已知：O1Ar , , , 1; 取O1A桿上A點為動點，動系固結O2B上，試計算動點A的科氏加速度。請看動畫47返 回48點的合成運動習題課一概念及公式 1. 一點、二系

14、、三運動2. 速度合成定理3. 加速度合成定理 牽連運動為平動時 牽連運動為轉動時49二解題步驟1. 選擇動點、動系。2. 分析三種運動：絕對運動、相對運動和牽連運動。3. 作速度分析, 畫出速度平行四邊形,求出有關未知量 (速度, 角速度）。4. 作加速度分析，畫出加速度矢量圖，求出有關的加速度、 角加速度未知量。50三解題技巧1. 恰當地選擇動點、動系, 應滿足選擇原則。具體地：兩個不相關的動點，求二者的相對速度。根據題意, 選擇其中之一為動點, 動系為固結于另一點的平動坐標系。運動剛體上有一動點，點作復雜運動。該點取為動點，動系固結于運動剛體上。機構傳動，一般是剛體上的一個不變的接觸點,

15、如桿的端點、銷釘、滑塊、套筒等機構的連接點。注意：動點相對于動系要有運動，動點的相對運動軌跡要明顯。51特殊問題：相接觸兩個物體的接觸點位置都隨時間而變化，此時, 這兩個物體的接觸點都不宜選為動點，應選擇滿足原則的非接觸點為動點，如圓心。2. 速度問題： 一般作出速度平行四邊形求解。加速度問題：往往超過三個矢量, 一般采用解析（投影）法解，投影軸的選取依解題簡便的要求而定。 四注意問題 1. 牽連速度及加速度是牽連點的速度及加速度。 2. 牽連運動為轉動時不要漏掉科氏加速度。 3. 加速度矢量方程的投影是等式兩端的投影，與靜平衡方程 的投影式不同。52已知: OAl ，w，e ；求： = 45

16、o 時小車的速度與加速度解： 動點：套筒A; 動系：固結在滑桿上（平動）;*例1 曲柄滑桿機構（1）求小車的速度作速度平行四邊形, 得53將（*）式向x軸投影：，方向如圖示作出加速度矢量圖。（2）求小車的加速度54*例2 搖桿機構,已知h，BC的 ，求: OA桿的 , 。解：動點: BC上的銷釘D ; 動系: 固結于OA。 （1）求w作速度平行四邊形55（）（2）求e56將（*）式向 軸投影：（）其中：57解: 取凸輪上C點為動點， 動系固結于OA桿上已知：凸輪半徑為R，圖示瞬時O、C在一條鉛直線上; 已知;求: 該瞬時桿的w 、e。分析: 由于接觸點在兩個物體上的位置均是變化的，因此不宜選接

17、觸點為動點。例3 凸輪機構（1）求w58）(作速度平行四邊形，得：（2）求e作出加速度矢量圖59將式（*）投影至 軸：若e0則，e0 則其中：60例4 刨床機構已知: 主動輪O轉速n=30 r/minOA=150mm , 圖示瞬時, OAOO1求: O1D 桿的 1、1 和滑塊B的 。61其中）(解（1）以輪O、O1D為研究對象動點：輪O上A點，動系：O1D根據作速度平行四邊形 。62作加速度矢量圖）(（2）以滑塊B及O1D為研究對象 動點:銷釘B; 動系: O1D。根據（*）將（*）式向軸投影：63根據作速度矢量圖。作加速度矢量圖其中投至 x 軸：（）64*例5 銷釘M能在桿DBE的豎直槽中滑動，同時又能在桿OA的槽中運動。已知v=1m/s（常量），=1rad/s （常量），求=450，l=1m時點M的絕對速度和加速度。解：1.求速度va（1）以點M和桿DBE為研究對象。以點M為動點，DBE為動系：大小、方向未知ve1=v=1m/s，方向：vr1=？，方位：鉛直，指向假設65（2）以點M和桿OA為研究對象。以點M為動點，OA為動系：大小、方向未知ve2=OM=1m/s，方向如圖vr2=？，方位：OM，指向假設聯立（1）（4）解得66vr1=