1、第二章 平面一般力系 1第二章 平面一般力系 21 平面一般力系的簡化22 平面一般力系的平衡23 物體系統的平衡24 考慮摩擦時的平衡問題25 平面靜定桁架的內力2本章重點：平面一般力系向平面內任一點的簡化和簡化結果的分析，平面一般力系的平衡條件及其應用滑動摩擦力的特征，考慮摩擦時的平衡問題。本章難點：主矢和主矩的概念，平行力系的簡化，物體系統的平衡，滑動摩擦力的確定，摩擦的兩類問題。3平面一般力系：各力的作用線都在同一平面內且任意分布的力系。例屋架：有自重、風壓力、約束反力。這些力構成平面一般力系。4平面一般力系包含以下幾種特殊力系： （1）平面匯交力系：各力的作用線都在同一平面內且匯交于

2、一點的力系。 （2）平面平行力系：各力的作用線都在同一平面內且相互平行的力系。 （3）平面力偶系：各力偶作用面共面。 52-1 平面一般力系的簡化一、力的平移定理可以把作用在剛體上點A的力平行移到任一指定點B，但必須同時附加一個力偶。這個力偶的矩等于原力對指定點B的矩。=證：6該定理指出，一個力可等效于一個力和一個力偶，或一個力可分解為作用在同平面內的一個力和一個力偶。其逆定理表明，在同平面內的一個力和一個力偶可等效或合成一個力。 該定理既是復雜力系簡化的理論依據，又是分析力對物體作用效應的重要方法。 例如單手攻絲時，絲錐易折斷。 78二、平面匯交力系的合成設有四個力組成的平面匯交力系，應用平

3、行四邊形法則：abcde（1）去掉虛線后的多邊形稱為力多邊形。用此方法求合力，稱為力多邊形法則。（2）力多邊形中，各分力首尾相接，環繞同一方向，合力反方向封閉力多邊形。（3）改變分力的作圖順序，力多邊形改變，但其合力不變。 9對于由n個力組成的匯交力系，有 平面匯交力系可合成為通過匯交點的合力，其大小和方向等于各分力的矢量和。 （a）以A點為原點建立直角坐標系，將（a）式向x、y軸投影：由矢量和投影定理：10當合力等于零，即 時，匯交力系平衡。 此時，力多邊形自行封閉這就是匯交力系平衡的幾何條件。合力的大?。?方向： 作用點：力系的匯交點q11例1如圖所示，作用于吊環螺釘上的四個力構成平面匯交

4、力系。已知各力的大小為F1=360N，F2=550N，F3=380N，F4=300N，方向如圖。試求合力的大小和方向。 解：選取圖示坐標系，則 12合力的大小和方向分別為 由于 為正， 為負，故合力在第四象限，如圖所示 。三、平面力偶系的合成13設有兩個力偶組成的力偶系結論:平面力偶系合成結果是一個合力偶,合力偶矩等于原力偶系中各力偶矩的代數和。對由n個力偶組成的力偶系：=14(c)(b)四、平面一般力系向作用面內任一點簡化設剛體上作用一平面任意力系 在力系作用面內任取一點O，稱該點為簡化中心（1）將各力平移至點O ，得一平面匯交力系和一平面力偶系。（2）將平面匯交力系合成： 原力系中各力的矢

5、量和稱為力系的主矢量，簡稱主矢（它是不是原力系的合力？），用 表示，即 m1m2mn=(a)15(c) (3)將平面力偶系合成：得到作用于力系平面內的一力偶，其力偶矩為: =m1+m2+mn 原力系中各力對簡化中心之矩的代數和稱為力系對簡化中心的主矩 （它是不是合力偶？） 主矩一般與簡化中心的位置有關（why？）。 MOMO=主矢作用在簡化中心O點，與簡化中心位置無關（為什么？）。 =(a)(b)m1m2mn16(c)(a)過O點建立直角坐標系，由矢量和投影定理，得主矢在x、y軸上的投影為： 則主矢的大?。簓xyx方向：結論： 平面一般力系向作用面內任一點簡化，得到一個力和一個力偶。這力的大小

6、和方向等于原力系的主矢，作用在簡化中心；這力偶的矩等于原力系對簡化中心的主矩。 MO17固定端（插入端）約束18 =0,MO0 原力系簡化為一合力偶。只有在這種情況下，主矩才與簡化中心的位置無關，因為力偶對任一點的矩恒等于力偶矩，而與矩心的位置無關。 簡化結果：主矢 ，主矩 MO ，下面分別討論。五、簡化結果的討論 合力矩定理 0,MO =0,原力系簡化為一個合力，合力 （原力系各力的矢量和），作用線通過簡化中心O。出現這種情況是因為簡化中心剛好選在了合力的作用線上了。 1.簡化結果的討論 19 0,MO 0（最一般的情況），此時可以進一步簡化為一個合力 。應用力的平移定理的逆過程 ：合力 在

7、主矢 的左側還是右側？根據合力 對簡化中心矩的轉向應與主矩MO的轉向一致的原則來確定。 合力 的大小等于原力系的主矢合力 的作用線位置20 =0， MO =0，則力系平衡,以后討論。 2.合力矩定理因此，平面一般力系向作用面內一點簡化，有三種可能結果：合力、合力偶或平衡。由1知,合力 對O點的矩:又因為主矩:于是:即:平面一般力系的合力對力系所在平面內任一點的矩，等于力系中各力對同一點矩的代數和，這就是合力矩定理。21例如已知：如圖 F、a、a、b、c, 求： 解：由力對點的矩定義應用合力矩定理求d麻煩22例2 圖示工字形工件的橫截面受三力作用，大小分別為：F1=600N，F2=400N，F3

8、=300N，試將此力系向A點簡化并求簡化的最后結果。圖中長度單位:mm。 解:（1）計算主矢 建立直角坐標系Axy： xy 的大小：方向：=arctanRx/ Ry=53.10 因為Rx為正，Ry為負，所以主矢在第四象限。 23（2）計算力系對A點的主矩 MA=0.1F1+0.1F3 =90Nm （3）求簡化的最后結果 xy由于 0，MA0，因此可進一步簡化為一個合力 ， d=MA/R=90/500=0.18m=180mm ，R= R=500N，合力作用線距A點注意:不管是向A點簡化，還是向其它點簡化，簡化的最后結果都是一樣的。 要在圖上畫出 、MA、 、d；MAd242-2 平面一般力系的平

9、衡條件與平衡方程一、平面一般力系的平衡方程平面任意力系向任一點簡化，得到主矢 及對簡化中心的主矩MO 。若MO=0，表明附加力偶系平衡25三力矩式條件：A,B,C不在 同一直線上三個獨立方程，只能求出三個未知數?；拘问蕉厥綏l件：x 軸不 AB 連線兩投影軸可以不垂直（但不能平行）;矩心也可任選,不一定坐標原點（因為主矢等于零，主矩與簡化中心的位置無關）。采用那種形式，先列那個方程，應以簡便為原則。26 例3 圖示起重機，均質梁重Q=4.2kN，荷載W=10kN。不計桿BC自重，求平衡時A處的反力和桿BC受的力。解：以AB梁為研究對象。畫受力圖（以后對整體結構的受力圖，可以直接畫在原圖上）

10、 S6 sin300-3Q-4W=0(拉）27Xi=0, XAS cos300=0XA = S cos300=17.530.866=15.18kNYi=0,YA Q W+Ssin300=0YA= Q+W Ssin300=5.44kN以上使用的是平衡方程的基本形式，如用二力矩式，則：Xi=0, 同前3Q+2W 6YA=0，YA=5.44kN如使用三力矩式，則由 可求得yx28平面一般力系的解題步驟：1.選取研究對象2.畫受力圖3.選投影軸及矩心：盡可能使投影軸與力特別是未知力垂直，矩心盡可能選在力特別是未知力的交點上，以使每個方程中的未知量的數目最少。4.列方程求解：應先列只含一個未知量的方程，

11、避免解聯立方程。此外，計算力矩時要善于應用合力矩定理。29二、平面匯交力系的平衡方程Oxy圖示平面匯交力系，取匯交點O為簡化中心，則于是，由平面一般力系平衡方程的基本形式，得平面匯交力系的平衡方程：Xi=0Yi=030例4 已知如圖P、Q， 求平衡時 =？ 地面的反力ND=？解：研究對象：球A （其受力為平面匯交力系）由得由得31三、平面平行力系的平衡方程圖示平行力系，xy取如圖所示直角坐標系，則Xi0于是，由平面一般力系平衡方程的基本形式及二力矩式，得平面平行力系的平衡方程：Yi=0基本形式二力矩式OAB連線不能平行 于各力的作用線32例5 已知塔式起重機 P=700kN, W=200kN

12、(最大起重量)，尺寸如圖。求：保證滿載和空載時不致翻倒，平衡塊Q=？ 當Q=180kN時，求滿載時軌道A、B給起重機輪子的反力？（教材P40例2-3與此題類似）33限制條件：解得解： 首先考慮滿載時，起重機不向右翻倒的最小Q為：空載時，W=0，起重機不向左翻倒的最大Q為：限制條件為：解得因此保證空、滿載均不倒Q應滿足如下關系：i，由i，34求當Q=180kN，滿載W=200kN時，NA ,NB為多少 由平面平行力系的平衡方程可得： 解得：35四、平面力偶系的平衡方程因為力偶在任一軸上的投影的代數和恒等于零，即Xi0Yi0所以，由平面一般力系平衡方程的基本形式，得平面力偶系的平衡方程：mi=03

13、6例6 在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時鉆四個等直徑的孔,每個鉆頭的力偶矩為求工件的總切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解: 各力偶的合力偶距為根據mi=0有:由力偶只能與力偶平衡的性質，力NA與力NB組成一力偶。372-3 靜定與靜不定問題的概念 物體系統的平衡 獨立方程數目未知量數目時，是靜定問題（可求解） 獨立方程數目未知量數目時，是靜不定問題（靜不定問題）每種力系的獨立平衡方程數是一定的，因而能求解未知量的個數也是一定的。 靜不定次數：未知量的數目獨立平衡方程的數目一、靜定、靜不定問題38例靜定（未知數三個） 靜不定（未知數四個）靜定（未知數兩個） 靜不定（未知數三個）39 靜不定

14、問題在強度力學（材力,結力,彈力）中用位移諧調條件來求解。靜定（未知數三個） 靜不定（未知數四個）40例 二、物體系統的平衡問題外力：外界物體作用于系統上的力。內力：系統內部各物體之間的相互作用力。物體系統（物系）：由兩個及以上物體通過約束所組成的系統。41物系平衡的特點： 物系平衡，物系中每個物體也平衡。 在平面一般力系作用下，一個物體可列3個平衡方程， 則由n個物體組成的系統可列3n個方程。 要分清內力與外力，內力不畫在受力圖上。42*例7 已知：OA=R, AB= l , 當OA水平時，沖壓力為P時，求：M=？O點的約束反力？AB桿內力？沖頭給導軌的側壓力？解：研究B43負號表示力的方向

15、與圖中所設方向相反再研究輪O44例8組合梁ABC所受荷載及支承情況如圖所示。已知集中力P=10 kN，均布荷載的集度q=20 kNm，力偶矩m=150kNm，l=8m。試求A、C處的反力。（教材例2-6）解（1）以AB為研究對象：45(2)以整體為研究對象：mCyx46 前幾章我們把接觸表面都看成是絕對光滑的，忽略了物體之間的摩擦，事實上完全光滑的表面是不存在的，一般情況下都存在有摩擦。對于摩擦不是主要影響因素的問題，不考慮摩擦是可以的。但是，對于摩擦是主要影響因素的問題，摩擦就非考慮不可了。例如：重力壩就是靠摩擦阻止它向下游滑動；又如閘門，如果事先未考慮摩擦，那么，洪水來時要開閘門放水，但閘

16、門卻提不起來，后果就不堪設想。 2-4 摩擦472.滑動摩擦產生的原因 接觸面凸凹不平； 接觸面間的分子凝聚力。1.什么是摩擦： 當兩物體接觸處有相對滑動或相對滑動趨勢時，在接觸處的公切面內受到的阻礙，這種現象稱為滑動摩擦。 當兩物體有相對滾動或相對滾動趨勢時，物體間產生的對滾動的阻礙，就稱為滾動摩擦。如車輪在地面上的滾動就受到滾動摩擦。 本節主要討論滑動摩擦。3.摩擦在工程中的重要性 穩定：如重力壩依靠摩擦而不使其在水壓力的作用下滑動。48摩擦滑動摩擦滾動摩擦靜滑動摩擦、動滑動摩擦干摩擦、濕摩擦 傳動：如帶輪傳動。 運輸：如皮帶運輸。 制動：車輛等的制動。 . 如果沒有摩擦,世界就不可想象：

17、人無法行走,汽車開動了就無法停止，. 摩擦也有有害的一面：如阻礙運動，消耗能量，損壞機件，.。認識摩擦，就可以設法減小或消除其有害的一面，利用其有利的一面。4.摩擦分類491、定義：當兩物體接觸處有相對滑動趨勢時，其接觸面 產生阻止物體運動的力。 （ 就是接觸面對物體作用的切向約束反力）一、靜滑動摩擦力2、 特征： 當P較小時，物體處于靜止平衡，由平衡方程得：F=P，P，F。0FFmax當P增大到某一數值時，物體處于將動但還未動的狀態，稱為臨界平衡狀態，此時摩擦力達到最大值Fmax。方向：與物體相對滑動趨勢方向相反503、靜滑動摩擦定律（又稱庫侖定律）：f 靜滑動摩擦系數（只與材料和表面情況有

18、關，與接觸面積大小無關）。N正壓力4、摩擦角：全約束反力：法向反力與靜摩擦力的合力R。摩擦角：當摩擦力達到最大值Fmax時其全約束反力與法線的夾角 。靜摩擦力的最大值與接觸面法向反力成正比，即 Fmax=f N所以增大摩擦力的途徑為：加大正壓力N 加大摩擦系數 f 51翻頁請看動畫即摩擦角的正切等于靜滑動摩擦系數。摩擦角也是表示材料摩擦性質的物理量。 摩擦錐：當主動力的方向發生改變時，最大摩擦力的方向也隨之改變，最大全約束反力的方向也隨之改變。因此，最大全約束反力的作用線將形成一個以接觸點為頂點的錐面，稱為摩擦錐。 如物體間的摩擦系數沿各個方向都相同，則摩擦錐是一個頂角為 的正圓錐。 5253

19、5、自鎖 自鎖條件： 工程中常用自鎖原理設計某些機構和夾具，如爬電線桿的腳套鉤在人爬電線桿時不會下滑；螺旋千斤頂頂起重物不會自行下落等。而在另外一些情況下則要避免自鎖現象，如變速箱中的滑動齒輪、水壩閘門等。 如果主動力的合力 的作用線在摩擦錐之內，則無論Q多大，物體總是保持平衡。這種現象稱為摩擦自鎖。 如果主動力的合力 的作用線在摩擦錐外，則無論Q多小，物體一定不會平衡（會滑動）。 54摩擦系數的測定：OA繞O 軸轉動使物塊剛開始下滑時測出a角，f = tan a 。（翻頁請看動畫）自鎖應用舉例斜面上物體自鎖條件是斜面的傾角小于或等于摩擦角 。5556（翻頁請看動畫）千斤頂原理：千斤頂螺紋展開

20、后為一斜面，當 時千斤頂自鎖，即受重物作用不會自行回落。57583、大小：動滑動摩擦定律： （無平衡范圍） 方向：與物體相對運動方向相反二、動滑動摩擦力1、定義：當兩物體接觸處有相對滑動時，其接觸面產生阻止 物體運動的力。2、狀態：滑動（與靜滑動摩擦力不同的是產生了滑動）。一般：f f，FFmax（f 只與材料和表面情 況有 關，與接觸面積大小無關。）59當物體滑動時，滑動摩擦力F =f N，其指向不能假設，必須與物體的運動方向相反。 綜述：當物體處于靜止平衡時， 0FFmax，靜摩擦力由平衡方程確定，因此，摩擦力的指向可以假設，由計算結果判斷假設的正確性。當物體處于臨界平衡狀態時，F=Fma

21、x=fN，其指向不能假設，必須與物體的運動趨勢相反。主動力FFmaxF 靜止臨界滑動（翻頁請看動畫）6061 下圖滾子的受力分析中，有： 出現這種現象的原因是，實際接觸面并不是剛體，它們在力的作用下都會發生一些變形.三、滾動摩擦的概念 與 形成主動力偶使滾子前滾，但當Q較小時，滾子并未滾動。62此力系向A點簡化滾動摩擦力偶與主動力偶（ ）相平衡滾阻力偶m隨主動力偶（ ）的增大而增大;0mmmax 有個平衡范圍; mmax與滾子半徑無關;滾動摩擦定律：mmax= dN ，d 為滾動摩擦系數。63滾動摩擦系數 d 的說明：有長度量綱，單位一般用mm,cm；與滾子和支承面的材料的硬度和溫度有關。 d

22、 的物理意義:法向反力向滾動方向移動的距離。使輪子滾動要比使輪子滑動容易得多，所以生產實踐中常以滾動代替滑動。由于滾阻系數很小，所以在工程中大多數情況下滾阻力偶不計，即滾動摩擦忽略不計。64考慮滑動摩擦的平衡問題與前面所述大致相同，但有如下特點： 例9 已知：a（ j） ，G ，f， 求使物體不滑動的水平力Q的大小。（翻頁請看動畫）四、考慮摩擦時的平衡問題1受力分析時必需考慮接觸面的摩擦力；2除平衡方程外，還必須列寫補充方程， Fmax=fN；3因為0FFmax，所以平衡問題的解是一個范圍。此類問題是求物體處于平衡時的某些量（如主動力、物體的尺寸、位置、f 等），解題步驟為：（1）設物體沿一方

23、向處于臨界平衡狀態，列平衡方程及Fmax=fN求解。（2）設物體沿相反方向處于臨界平衡狀態，列平衡方程及Fmax=fN求解。6566解：先求使物體不致于上滑的 圖(1)考慮物體有上滑趨勢的臨界平衡狀態:67另：用摩擦角求解由圖：68解得：平衡范圍應是再求使物體不致下滑的Qmin 圖(2)考慮物體有下滑趨勢的臨界平衡狀態,同理：可以看出：（1）若f=0（tanj =0），則Q=Qmax=Qmin=G tana，唯一（2）若a=j ，則Qmin=0，即自鎖；若a j ，則Qmin為負值，也為自鎖，即以一定大小的向左的力Q，物體也不下滑。69例10已知物塊重G=980N，斜面傾角a=30，f=0.2，f =0.15。平行于斜面的力Q=588N，求物塊與斜面間的摩擦力。 此類問題為：已知主動力及f、f ，求摩擦力。解題步驟：