1、第7章 彎曲變形 簡單超靜定梁7 概 述研究范圍：等直梁在對稱彎曲時位移的計算。研究目的：對梁作剛度校核； 解超靜定梁（變形幾何條件提供補充方程）。1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用v表示。 與 y同向為正，反之為負。2.轉角：橫截面繞其中性軸相對于原位置轉動的角度。用 表示，順時針轉動為正，反之為負。二、撓曲線： 變形后，軸線變為連續光滑曲線，該曲線稱為撓曲線。 平面彎曲時，梁的撓曲線為在外力作用平面內的平面曲線。一、度量梁變形的兩個基本位移量PxvCqC1yq橫截面上其他點的位置隨之確定。注：上述正負號規定是相對于圖示坐標系而言的。三、撓度與轉角的關系1.梁的撓曲線方程沿梁軸

2、線方向各橫截面撓度的變化規律。2.轉角方程3.小變形時，撓度與轉角的關系四、計算彎曲變形的方法積分法；共軛梁法；疊加法；能量法；初參數法。7-2 梁的撓曲線近似微分方程1.平面彎曲時，彎矩與曲率間的物理關系 公式推導中應用了胡克定律，并不計剪力對彎曲變形的影響，故適用于線彈性范圍、小變形的情況。2.高等數學中，平面曲線的曲率公式小變形，梁的撓曲線是一條平緩曲線，轉角 很小， 。 故3.梁的撓曲線近似微分方程yxM0yxM0 梁的撓曲線近似微分方程(1)不計剪力對彎曲變形的影響；(2)忽略 項。4.正負號選取7-3 用積分法求梁的撓度和轉角 一、求撓曲線方程的積分法由撓曲線的近似微分方程，積分兩

3、次，即得梁截面的轉角和撓度方程。撓度方程轉角方程二、積分法的特征 1適用于細長梁在線彈性范圍、小變形情況下的平面彎曲。二、積分法的特征PABCPD三、變形的幾何相容條件2.積分應遍及全梁。在梁的彎矩方程或抗彎剛度不連續處，其 撓曲線的近似微分方程應分段列出，并相應地分段積分。3.積分常數由變形的幾何相容條件確定。包括邊界支座位移條件 和變形光滑、連續條件。 4.積分法的優點是普遍適用于求解等截面或變截面梁在各種載 荷情況下的轉角、撓度方程。當僅需計算個別截面的撓度、轉 角時，其計算過程顯得繁冗支座位移條件：連續、光滑條件P例 求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉角。例解：建立坐標系并

4、寫出彎矩方程寫出微分方程的積分并積分xyPLa1.分段連續彎矩方程必須從原點沿x的正向依次寫出；2.對含（x-a）項不可展開，把它視 為新變量積分；3.中間的分布載荷應延伸到中斷，并 加上反向分布力；4.按上述方法積分，中間各段積分常 數相等。注意：7-5 按疊加原理求梁的撓度與轉角 一、求撓度、轉角的疊加法 1.疊加原理：梁在各種載荷同時作用下任一截面的撓度或轉角，等于同一梁在每種載荷下、同一截面撓度和轉角的總和。 2.疊加原理的限制：疊加原理僅適用于線性函數。為此，要求撓度、轉角為梁上載荷的線性函數，即 (1)彎矩M與載荷成線性關系，要求梁的變形為微小變形，即略去各載荷引起梁的水平位移；(

5、2)曲率 與彎矩M成線性關系，要求梁處于線彈性范圍，即滿足胡克定律。(3)撓曲率 與M成線性關系，要求梁的變形為微小變形，即其截面轉角 ，且 與1相比很小，可略去不計。二、疊加法的特征 1.各載荷同時作用下撓度、轉角，等于單獨作用下撓度、轉角的總和，應該是幾何和(矢量和)。同一方向的幾何和即為代數和。 2.梁在簡單載荷作用下的撓度、轉角應為巳知，或有變形表，可供查找。 3疊加法適宜于求梁個別截面的撓度、轉角值。三、疊加方法示例1.直接疊加法例按疊加原理求A點轉角和C點撓度。2.間接疊加法 結構形式疊加（逐段剛化法) 原理說明。一、梁的剛度條件其中稱為許用轉角；v/L稱為許用撓跨比。通常依此條件

6、進行如下三種剛度計算：、校核剛度：、設計截面尺寸；、設計載荷。(但：對于土建工程，強度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。特殊構件例外）7-6 梁的剛度校核例二、提高梁彎曲剛度的一些措施1.增大梁的抗彎剛度EI2.調整跨長和改變結構PL/2L/2Mx+PL/4P=qLL/54L/5對稱MxqL2/10調整跨長和改變結構MxqLL/5qL/5402qL502qL-MxqL/2L/2322qL-Mx 同類材料，“E”值相差不多，“jx”相差較大，故換用同類材料只能提高強度，不能提高剛度和穩定性。 不同類材料，E和G都相差很多（鋼E=200GPa , 銅E=100GPa），故可選用不同的材料以達到提

7、高剛度和穩定性的目的。但是，改換材料，其原料費用也會隨之發生很大的改變！五、選用高強度材料，提高許用應力值7-7 簡單超靜定梁的解法 靜不定的次數： 凡未知反力(或內力)數超過靜力平衡方程數的個數，稱為靜不定的次數。 多余約束： 在靜不定梁中多于維持靜力平衡(且滿足幾何不變形)的約束稱為多余約束。靜不定梁必存在多余約束，且其多余約束的數目等于靜不定的次數。 多余約束反力： 相應于多余約束的約束反力。一、幾個概念基本靜定體系： 靜不定梁解除多余約束后的靜定系統， 稱為原體系的基本靜定體系二、基本靜定體系的選擇原則1.基本靜定體系應是能維持靜力平衡和幾何不變的系統。2.基本靜定體系應便于計算，其截面位移可在彎曲變形表中 查得。3.的基本靜定體系的選取可以是不同的，但其解答是唯一的。 三、靜不定梁的解題步驟1.選擇多余約束，確定基本靜定體系。基本靜定體系上應作 用有原靜不定粱的載荷以及未知的多余約束反力。2.比較基本靜定體系與靜不定梁在多余約束處的變形，并用 疊加法列出相應的變形相容方程