1、固體物理中的能帶理論摘要本文綜述了固體能帶理論中的布洛赫定理、一維周期場中電子運(yùn)動的近自由 電子近似、包絡(luò)函數(shù)模型（平面波展開方法）等基本理論。還介紹了采用了包絡(luò)函 數(shù)法和近自由電子近似法來計算其能帶結(jié)構(gòu)?？梢钥闯?，采用包絡(luò)函數(shù)方法外推 勢能分布為體材料的勢能分布時得到能帶結(jié)構(gòu)與利用準(zhǔn)自由電子近似的方法得 到的結(jié)果一致；另外，外推勢能分布近似成為有限深勢阱時與用超越方程得到的 結(jié)果相吻合。而采用近自由電子近似方法在外推勢能分布為量子阱的勢能分布時 與直接采用近自由電子近似來處理小帶階的量子阱的結(jié)果一致。關(guān)鍵詞：能帶理論包絡(luò)函數(shù)近自由電子近似1引言能帶理論是研究固體中電子運(yùn)動的一個主要理論基礎(chǔ)。

2、在二十世紀(jì)二十年 代末和三十年代初期，在量子力學(xué)運(yùn)動規(guī)律確定以后，它是在用量子力學(xué)研究金 屬電導(dǎo)理論的過程中開展起來的。最初的成就在于定性地闡明了晶體中電子運(yùn)動 的普遍性的特點(diǎn)。例如，在這個理論基礎(chǔ)上，說明了固體為什么會有導(dǎo)體、非導(dǎo) 體的區(qū)別；晶體中電子的平均自由程為什么會遠(yuǎn)大于原子的間距等。在這個時候 半導(dǎo)體開始在技術(shù)上應(yīng)用，能帶理論正好提供了分析半導(dǎo)體理論問題的基礎(chǔ)，有 利地推動了半導(dǎo)體技術(shù)的發(fā)展。后來由于電子計算機(jī)的發(fā)展使能帶論的研究從定 性的普遍規(guī)律到對具體材料復(fù)雜能帶的結(jié)構(gòu)計算。到目前，計算材料能帶結(jié)構(gòu)的 方法有:近自由電子近似法、包絡(luò)函數(shù)法（平面波展開法）2,9，10，13、贗勢法

3、3,6、 緊束縛近似一一原子軌道線性組合法4, 5, 7, 8, 11、K.P方法12。人們用這些方法 對量子阱2，8，9, 10。量子線11，12, 13、量子點(diǎn)結(jié)構(gòu)16，17 的材料進(jìn)行了計算和分析， 并取得了較好計算結(jié)果。使得對這些結(jié)構(gòu)的器件的設(shè)計有所依據(jù)。并對一些器件 的特性進(jìn)行了合理的解釋。固體能帶論指出，由于周期排列的庫侖勢場的禍合，半導(dǎo)體中的價電子狀態(tài) 分為導(dǎo)帶與價帶，二者又以中間的禁帶（帶隙）分隔開。從半導(dǎo)體的能帶理論出發(fā) 引出了非常重要的空穴的概念，半導(dǎo)體中電子或光電子效應(yīng)最直接地由導(dǎo)帶底和 價帶頂?shù)碾娮?、空穴行為所決定，由此提出的P-N結(jié)及其理論己成為當(dāng)今微電子 發(fā)展的物理

4、依據(jù)。半導(dǎo)體能帶結(jié)構(gòu)的具體形態(tài)與晶格結(jié)構(gòu)的對稱性和價鍵特性密 切相關(guān)，不同的材料如Si,Ge與GaAs,InP）能帶結(jié)構(gòu)各異，除帶隙寬度外、導(dǎo)帶 底價帶頂在k空間的位置也不同，GaAs,InP等化合物材料的導(dǎo)帶底價帶頂同處于k 空間的中心位置，稱為直接帶隙材料，此結(jié)構(gòu)電子-空穴的帶間復(fù)合幾率很大， 并以輻射光子的形態(tài)釋放能量，由此引導(dǎo)人們研制了高效率的發(fā)光二極管和半導(dǎo) 體激光器，在光電子及光子集成技術(shù)的發(fā)展中，其重要性可與微電子技術(shù)中的 晶體管相比擬。2布洛赫定理1能帶理論的出發(fā)點(diǎn)是固體中的電子不再束縛于個別的原子，而是在整個固體 內(nèi)運(yùn)動，稱為共有化電子，在討論共有化電子的運(yùn)動狀態(tài)時假定原子實(shí)

5、處在其平 衡位置，而把原子實(shí)偏離平衡位置的影響看成微擾，對于理想晶體，原子規(guī)則排 列成晶體，晶格具有周期性，因而等效勢場V (r)也應(yīng)具有周期性。晶體中的電 子就是在一個具有晶格周期性的等效勢場中運(yùn)動，其波動方程為：(1)-V3V(r)v=Ev(2)且有叫)R為任一晶格矢量。布洛赫定理指出，當(dāng)勢場具有晶格周期性時，波動方程的解中具有如下性質(zhì):W + 2-嚴(yán)甲(3)其中K為波矢量，(3)式表示當(dāng)平移晶格矢量R時，波函數(shù)只增 加位相因子eiRn。(3)式就是布洛赫定理。根據(jù)定理可以把波函數(shù)寫成(4)V(r) = Cftru(r)其中u(r)具有與晶格同樣的周期性，既u(r 十(5)(4)式表達(dá)的波

6、函數(shù)稱為布洛赫函數(shù)，它是平面波與周期函數(shù)的乘積。3 一維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似1，19這是一個一維的模型，通過這個模型的討論，可以進(jìn)一步了解在周期場中運(yùn) 動的電子本征態(tài)一些最基本的特點(diǎn)。圖1中畫出了一維周期場的示意圖。所謂近自由電子近似是假定周期場的起伏比較小，作為零級近似，可以用勢場的平均值代替V(x)。把周期起伏V(X)-做為微擾來處理。它的解便是恒定場中自由粒子的解零級近似的波動方程為圖1 一維周期場a是晶格常數(shù)（原子間距）。，很容易驗證波函數(shù)滿足正交歸一化條件。上式在歸一化因子中引入晶格長度L=Na，為原胞的數(shù)目 引入周期性邊界條件可以得到k只能取下列值（9）由于零級近似下的

7、解為自由電子，所以稱為近自由電子近似。按照一般微擾理論 的結(jié)果，本征值的一級和二級修正為（10）E? xkAV|k（11）波函數(shù)的一級修正為其中微擾項具體寫出比，為E= J1 叩？ P V(x；i - Vdx = g 甲：V(x)dx V其中前一項，按定義就等于平均勢場，因此能量的一級修正為0。廳 和/都需要計算矩陣元，由于k，和k兩態(tài)之間的正交關(guān)系=現(xiàn)在我們證明，由于V（x ）的周期性，上述矩陣元服從嚴(yán)格的選擇定則。將Wk| V。）應(yīng)一f 卜一沿一塊V（K）dx按原胞劃分寫成購挫F對不同的原胞n，引入積分變數(shù)并考慮到V（x）的周期性V（ g 址句）=V（；）NT就可以把前式（12）寫成 k

8、W|k *f LlMS)此（13）=代5理嗥擎如*現(xiàn)在區(qū)分兩種情況：（1） “，即k，和k相差:二，在這種情況下，顯然，（13）式中的加式內(nèi)各項均為1，因此N r.-0（ 14）（2）成，在這種情況下，（13）式中的加式可用幾何級數(shù)的結(jié)果寫Ne f fK，和k又可寫成見（8）式k=-：）巾=一（割），（，】均為整數(shù)NaNa.因此，上式中的分子1 一/ 滬引一/W同時，分母由于，所以不為零，在這種情況下，矩陣元（13） 恒為零。綜合以上，我們得到，如果k = k+2w ，貝-lp 泗*否則= 0根據(jù)這個結(jié)果，波函數(shù)考慮了一級修正（12 ）式后可以寫成:宣很容易看到，上式中以V表示的積分實(shí)際上正是

9、周期場V（x）的第n個傅立葉系數(shù)。 n（16）連加式的指數(shù)函數(shù)，在x改變a的整數(shù)倍時，是不變的，這說明括號內(nèi)為一周期函 數(shù)。這類似于布洛赫函數(shù)的形式:可以寫成一個自由粒子波函數(shù)乘上具有晶格周 期性的函數(shù)。根據(jù)（15），二級微擾能量可以寫成值得特別注意的是，當(dāng)V =(k+-27T)-（18）也就是 占（19）時，趨于土 x,n表任意一個整數(shù)，也就是說，當(dāng)k為r/a整數(shù)倍時，e（2）k趨向土e。很顯然，該結(jié)果是沒有意義的。它只說明，以上的微擾論方法，對于 在（19 ）式附近的k是發(fā)散的，因此不適用。4包絡(luò)函數(shù)模型(平面波展開方法)22 TOC o 1-5 h z 根據(jù)有效質(zhì)量理論，如果晶體中存在微

10、擾勢V(r),則電子運(yùn)動的薛定愕方 程為式(20)。P(20)其中H是沒有微擾的晶體哈密頓量。如果微擾勢是個空間緩變量，且其強(qiáng)度小到 不足以引起帶之間的藕合，則電子波W(r)可以表示為一個空間緩變函數(shù)F (r)與 帶邊波函數(shù)Un(r )的乘積。MWFJFUJr)(21)玲稱為包絡(luò)函數(shù)。如果能帶是非簡并的，例如導(dǎo)帶，在導(dǎo)帶底附近的能量可近似用有效質(zhì)量m*表示，如式(22)。 齊&(22)其中Ec是導(dǎo)帶邊能量，則包絡(luò)函數(shù)滿足(23)所示的有效質(zhì)量方程。(23)鑫+ Vp(r)-FnQ)TE EQ，F(xiàn)J：O如果能帶是簡并的，例如價帶頂，則波函數(shù)可表示為包絡(luò)函數(shù)F (r)與帶邊 波函數(shù)q (r)乘積的

11、線性組合，如式(24)J(24)F.(r)滿足一組聯(lián)立的有效質(zhì)量方程組，如式(25)所示。J*.(25)w=(以Jj()其中D；稱有效質(zhì)量參數(shù)。超晶格中，若無外界的微擾勢V r)，則在每種材料內(nèi)部就電子而言，有效質(zhì) 量方程(23)簡化為一平面波方程。在界面附近，勢是突變的，有效質(zhì)量方程近似 不再成立，暫時不考慮這一點(diǎn)。對于超晶格的兩種材料，它們的有效質(zhì)量m*和帶 邊的能量E。是不同的。為了用一個方程描述超晶格的包絡(luò)函數(shù)方程，引加*(z) 和有效勢。Im*。一%在第一種材料中在第二彳眨6)V(z)-在第一種材料中在第一神材料中(27)其中z是超晶格的生長方向，瑚 二E-E;是兩種材料導(dǎo)帶邊能量之

12、差， 也就是導(dǎo)帶帶階。超晶格的包絡(luò)函數(shù)方程可寫為式(28)_（）一十）+機(jī).動權(quán)）頂）2 dz m （力 dz 2m dx* dy（28）其中方程第一項的寫法是為了保證方程的厄米性，因為m*（z）是坐標(biāo)z的函數(shù)。在求解包絡(luò)函數(shù)時，可以先對每種材料內(nèi)部求解，然后將求得的波函數(shù)通過 邊界條件銜接起來，從而定出本征能量和本征波函數(shù)。如果超晶格兩種材料的性 質(zhì)比較接近，有效質(zhì)量參數(shù)相差不大（例如GaAs/Al Ga As超晶格），則可認(rèn)為兩 種材料的有效質(zhì)量參數(shù)相等，等于勢阱材料的有效質(zhì)量值，因為波函數(shù)大部分都 集中在勢阱中。這時，邊界條件就是波函數(shù)和它的微分連續(xù)條件。參考文獻(xiàn)：固體物理學(xué)高等教育出版

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