1、根據樣本的觀測值，對總體分布律或分布密度的未知參數進行估計的理論和方法稱為總體分布中未知參數的估計，簡稱為參數估計。(1)當總體分布的類型已知，分布的具體形式依賴于某個實數或實數組時，稱為總體參數或參數。2.3總體分布參數的估計第1頁，共80頁。例子: 1. 總體X B(1, p). p是 未知參數, = p:0 p 1 是參數空間.2. 總體X P(). 是 未知參數, = : 0 是參數空間.3. 總體X E(). 是 未知參數, = : 0 是參數空間.4. 總體X N(,2). (,2) 是 未知參數向量, =(,2) : 0 是參數空間.第2頁，共80頁。第3頁，共80頁。2 用矩法

2、求估計量第4頁，共80頁。特別地，當總體的數學期望與方差存在時，總體數學期望矩估計量就是樣本的均值，總體總體方差的矩估計量就是樣本的方差。一般地，矩法估計就是用k階樣本矩去估計k階總體矩。第5頁，共80頁。例 設從某燈泡廠某天生產的燈泡中隨機抽取10只燈泡，測得其壽命為(單位:小時) 1050, 1100, 1080, 1120, 1200 1250, 1040, 1130, 1300, 1200試用矩法估計該天生產的燈泡的平均壽命及壽命分布的方差.解第6頁，共80頁。重要結論第7頁，共80頁。第8頁，共80頁。第9頁，共80頁。3.用極大似然法求估計量 思想方法：一次試驗就出現的 事件有較大

3、的概率 例如: 有兩外形相同的箱子,各裝100個球 一箱 99個白球 1 個紅球 一箱 1 個白球 99個紅球現從兩箱中任取一箱, 并從箱中任取一球,結果所取得的球是白球.答: 第一箱.問: 所取的球來自哪一箱？第10頁，共80頁。例 設總體 X 服從0-1分布,且P (X = 1) = p, 用極大似然法求 p 的估計值.解總體 X 的概率分布為 設 x1, x2, xn為總體樣本X1, X2, Xn的樣本值,則第11頁，共80頁。對于不同的 p , L (p)不同, 見右下圖現經過一次試驗，發生了，事件則 p 的取值應使這個事件發生的概率最大.第12頁，共80頁。在容許范圍內選擇 p ，使

4、L(p)最大 注意到，ln L(p)是 L 的單調增函數,故若某個p 使ln L(p)最大, 則這個p 必使L(p)最大。所以為所求 p 的估計值.第13頁，共80頁。一般, 第14頁，共80頁。一般步驟：(1) 構造似然函數L()；(2) 對似然函數取對數，即lnL()；(3)以為自變量求lnL()的導數或偏導數；(4)令lnL()的導數或偏導數等于零得到正規方程或方程組；(5)求出正規方程組的解。第15頁，共80頁。第16頁，共80頁。取對數第17頁，共80頁。第18頁，共80頁。第19頁，共80頁。第20頁，共80頁。第21頁，共80頁。第22頁，共80頁。4.評價估計量優劣的標準 對于

5、同一個未知參數,不同的方法得到的估計量可能不同,于是提出問題應該選用哪一種估計量?用何標準來評價一個估計量的優劣?常用標準(1) 無偏性(2) 有效性(3) 一致性第23頁，共80頁。(1)無偏性第24頁，共80頁。我們不可能要求每一次由樣本得到的估計值與真值都相等，但可以要求這些估計值的期望與真值相等.定義的合理性第25頁，共80頁。第26頁，共80頁。(2)有效性第27頁，共80頁。例 測得自動車床加工的10個零件的尺寸與規定尺寸的偏差(微米)如下：+2，+1，-2，+3，+2，+4，-2，+5，+3，+4.求零件尺寸偏差總體的均值及方差的無偏估計值解 有第28頁，共80頁。例 重要結論第

6、29頁，共80頁。第30頁，共80頁。第31頁，共80頁。第32頁，共80頁。結論1 樣本均值 是總體均值的一致估計.結論2 在重復抽樣的情形下, 樣本方差s2 是總體方差2 的一致估計.第33頁，共80頁。引例 已知 X N ( ,1), 不同樣本算得的 的估計值不同，因此除了給出 的點估計外, 還希望根據所給的樣本確定一個隨機區間, 使其包含參數真值的概率達到指定的要求. 的無偏、有效點估計為隨機變量常數2.3.6未知參數的區間估計(interval estimation)第34頁，共80頁。如引例中，要找一個區間,使其包含 的真值的概率為0.95. ( 設 n = 5 )取查表得第35頁

7、，共80頁。這說明即稱隨機區間為未知參數 的置信度為0.95的置信區間.第36頁，共80頁。 反復抽取容量為5的樣本,都可得一個區間,此區間不一定包含未知參數 的真值, 但包含真值的區間占95%.置信區間的意義若測得 一組樣本值, 它可能包含也可能不包含 的真值, 反復則得一區間(1.86 0.877, 1.86 + 0.877)抽樣得到的區間中有95%包含 的真值.算得第37頁，共80頁。時,區間的長度為 達到最短.2. 當置信區間為問題2.為何要取？1. 確定后,置信區間是否唯一？與答復1. 不唯一.第38頁，共80頁。取 = 0.05第39頁，共80頁。1 區間估計的基本概念未知參數的區

8、間估計，是要找統計量第40頁，共80頁。(g,h)覆蓋未知參數的概率，稱為置信概率，(g,h) 稱為的雙側1-置信區間，g 稱為的雙側1-置信下限，h 稱為的雙側1-置信上限，第41頁，共80頁。第42頁，共80頁。 反映了估計的可靠度, 越小, 越可靠. 置信區間的長度 反映了估計精度, 越小, 1- 越大, 估計的可靠度越高,但 確定后, 置信區間 的選取方法不唯一, 常選最小的一個.幾點說明越小, 估計精度越高.這時, 往往增大, 因而估計精度降低.第43頁，共80頁。 求參數置信區間保 證可靠性先 提 高精 度再處理“可靠性與精度關系”的原則第44頁，共80頁。2.一個正態總體均值的置

9、信區間公式1第45頁，共80頁。第46頁，共80頁。第47頁，共80頁。公式2第48頁，共80頁。公式3第49頁，共80頁。第50頁，共80頁。例 某工廠生產一批滾珠, 其直徑 X 服從即正態分布 N( 2), 現從某天的產品中隨機 (1) 若 2=0.06, 求 的雙側置信區間及單側區間 (2) 若 2未知,求 的雙側置信區間及單側區間 (3) 求方差 2的雙側置信區間及單側區間抽取 6 件, 測得直徑為15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1置信概率均為0.95第51頁，共80頁。解 (1)即由給定數據算得由公式 (1) 得 的置信區間為第52頁，共8

10、0頁。(2) 取查表由給定數據算得由公式 (2) 得 的置信區間為第53頁，共80頁。由公式 (3) 得 2 的置信區間為(3) 選取統計量查表得第54頁，共80頁。第55頁，共80頁。第56頁，共80頁。第57頁，共80頁。第58頁，共80頁。第59頁，共80頁。第60頁，共80頁。第61頁，共80頁。4.兩個正態總體均值或方差比的置信區間第62頁，共80頁。公式4第63頁，共80頁。第64頁，共80頁。第65頁，共80頁。第66頁，共80頁。例子 為了比較深圳與武漢地區的經濟水平的差異,分別在兩地區調查了100人及125人,得到月平均收入為:5400(元)及2052(元),樣本方差分別為2456(元2)及346 (元2),試問1)兩地區經濟水平的差異至少能差多少？2）至多能差多少？(置信系數為1=0.95).解:因為n1=100,n2=125,大于50, 為大樣本問題.=0.05,U0.975=1.96. 置信區間為：3339.754，3360.246兩地區經濟水平的差異至少能差333