1、六年級拔尖數學目 錄第1講 定義新運算第2講 簡單的二元一次不定方程第3講 分數乘除法計算第4講 分數四則混合運算第5講 估算第6講 分數乘除法的計算技巧第7講 簡單的分數應用題（1）第8講 較復雜的分數應用題（2）第9講 階段復習與測試（略）第10講 簡單的工程問題第11講 圓和扇形第12講 簡單的百分數應用題第13講 分數應用題復習第14講 綜合復習（略）第15講 測試（略）第16講 復雜的利潤問題（2）第一講 定義新運算在加.減.乘.除四則運算之外，還有其它許多種法則的運算。在這一講里，我們學習的新運算就是用“ #”“*”“”等多種符號按照一定的關系“臨時”規定的一種運算法則進行的運算。

2、例1：如果A*B=3A+2B，那么7*5的值是多少？例2：如果A#B表示 照這樣的規定，6#（8#5）的結果是多少？ 例3：規定 求21010的值。例4：設M*N表示M的3倍減去N的2倍，即M*N=3M-2N計算（14 *10）*6計算 （*） *（1 *）例5：如果任何數A和B有AB=AB-（A+B）求（1）107 （2）（53）4（3）假設2X=1求X例6：設PQ=5P+4Q，當X9=91時，1/5（X 1/4）的值是多少？例7：規定X*Y=，且5*6=6*5則（3*2）*（1*10）的值是多少？例8：表示一種運算符號，它的意義是已知 那么200882009=？ 鞏固練習 1、已知23=2

3、+22+222=246； 34=3+33+333+3333=3702；按此規則類推32 （2）53 （3）1X=123，求X的值2、已知14=1234；53=567計算（1）（42）+（53） （2）（35）（44）3、如果A*B=3A+2B，那么（1）7*5的值是多少？ （2）（4*5）*6 （3）（1*5）*（2*4）4、如果AB，那么A，B=A；如果AB，那么A，B=B； 試求（1）8，0.8 （2）1.9，1.9011.195、N為自然數，規定F（N）=3N-2 例如F（4）=34-2=10 試求：F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（5）+F（100）的值6、如果1=1！ 12

4、=2！ 123=3！ 1234100=100!那么1！+2！+3！+100！的個位數字是幾？（第四屆小學生“迎春杯”數學決賽試題）7、若“+、-、=、（）”的意義是通常情況，而式子中的“5”卻相當于“4”。下面四個算式（1）87=8 （2）777=6 （3）（7+8+3）9=39 （4）33=3 那么應該是我們通常的哪四個算式？8、如果2*4=2345 5*3=567，請按此規定計算（1）（3*4）-（5*3） （2）（4*4）（3*3）9、規定（25）=2+5=7 （123）=1+2+3=6 （65）=6+5=（11）=1+1=2 則計算（1）（56489） （2）（92045）+（905）

5、（12）10、規定64=222222表示成F（64）=6； 243=33333表示成G（243）=5；試求下面各題的值F（128）= ( )F（16）= G（ ）F（ ）+ G( 27 )=611、如果1=1！ 12=2！ 123=3！ 試計算（1）5！ （2）X！=5040，求X 12、有一種運算符號“”使下列算式成立 23=7 53=13 45=13 97=25 求995 9=？13、A*B= 在X*（5*1）=6中，X的值是多少？ 14、對于任意的整數X、Y定義新運算“￥”X￥Y=（其中M是一個固定的值）如果1￥2=2，那么2￥9=？ 第二講 二元一次不定方程一、學習目標：掌握用奇偶性、

6、最值和尾數特點來解答不定方程。二、基礎知識：我們知道，一般的一個方程只能解答一個未知數，而有的題目卻必須設兩個未知數，且列不出兩個方程，類似這樣的方程我們稱之為二元一次不定方程。在我們研究不定方程的解時，常常會附有其他一些限制條件，有的條件是明顯的，也有隱蔽的，但它們對解題至關重要，這就需要我們在解題過程中酌情進行討論。三、例題解析：（一）基本方法例1、小明要買一只4元9角的鋼筆，他手上有貳角和伍角的硬幣各10枚，請問他可以怎樣付錢？分析：本題可以用多種方法解答，這里用不定方程來解。設小明付了X枚貳角和Y枚伍角列方程，得2X+5Y=49方法一1、利用奇偶性。49是奇數，2X是偶數，那么5Y必定

7、是奇數。這樣，Y只能取1，3，5，7，9這五個數。2、利用最值：所付錢中貳角和伍角的都有，而X至多為10，那么5Y不小于49219=29，這樣，可得Y大于6。方法二 觀察系數的特點，利用尾數（個位數）解答。由例1可以看出，對于二元一次不定方程，盡量縮小未知數的取值范圍，再求解。不定方程常常利用奇偶性，最值和尾數來幫助解決例2、大汽車能容納54人，小汽車能容納36人，現有378人要乘車，問要大、小汽車各幾輛才能使每個人都能上車且各車都正好坐滿。為了便于管理，要求車輛數最少，應該選擇哪個方案？ 分析：解答不定方程時，能夠把方程化簡就盡量化簡。注意加了限制條件以后，答案的變化。試一試：一個同學把他生

8、日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起來的和是170，你知道他出生于幾月幾日？例3、現有鐵礦石73噸，計劃用載重量分別為7噸和5噸的兩種卡車一次運走，且每輛車都要裝滿，已知載重量7噸的卡車每臺車運費65元，載重量5噸的卡車每臺車運費50元，問需用兩種卡車各多少臺運費最省？分析：根據條件用不定方程可以求出卡車的臺數，但是要注意問題求運費最省。例4 、一個同學發現自己1991年的年齡正好等于他出生那一年的年份的各位數字之和，請問這個學生1991年時多少歲？分析與解：設他出生于19XY年，那么199119XY=1+9+X+Y1991（1900+10X+Y）=10+X+Y9110XY=10+X+Y（

9、二）能力拓展例5、一輛勻速行駛的汽車，起初看路標上的數字是一個兩位數xy,過了一小時路標上的數字變為yx，又行駛了一小時路標上的數字是一個三位數x0y,求每次看到的數字和汽車的速度。分析：路標上的數字是累計數。由于汽車是勻速行駛，因此汽車在單位時間里行駛的路程是相等的，根據這個關系可以列出方程。試一試：一個兩位數，如果把數字1放在它前面可得一個三位數，放在它后面也可得一個三位數。已知這兩個三位數之差為414，求原來的兩位數。例6、如下圖，一個長方體的長、寬、高的長度都是質數，且長寬高，將這個長方體橫切兩刀，豎切兩刀，得到9個長方體，這9個長方體表面積之和比原來長方體表面積之和多624平方厘米，

10、求原來長方體的體積。分析與解：設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，分析可得，橫切兩刀，增加了4ab的面積，豎切兩刀增加了4ac的面積，所以可列方程：4ab+4ac=624。三個未知數的不定方程一般采用分解質因數的方法解答。練習一、基本題1、求方程6x+9y=87的自然數解。2、求方程2x+5y=24的自然數解3、大客車有48個座位，小客車有30個座位。現在有306名旅客，要使每位旅客都有座位而且不空出座位來，需要大、小客車各幾輛？4、裝餅干的盒子有大、小兩種，大盒每盒要11元，小盒每盒要8元，媽媽用了89元，問大小盒子各買了多少個？5、一個兩位數，交換個位和十位上的數字，就得到一個新的兩位數

11、，已知新兩位數比原兩位數多54，求原來的兩位數。6、一個兩位數，各位數字之和的6倍比原數大3，求這個兩位數。7、一個商人將彈子放進兩種盒子里，每個大盒子裝12個，每個小盒子裝5個，恰好裝完。如果彈子數為99，盒子數大于10，問兩種盒子各有多少個？二、綜合題8、在一個兩位質數的兩個數字之間，添上數字6以后，所得的三位數比原數大870，那么原數是多少？9、會場里有兩座和四座的兩種長椅若干把。現有一個班的學生（不足70人）來開會。一部分學生一人坐一把兩座的長椅，其余的同學每三人坐一把四座的長椅。結果平均每個學生坐1.35個座位。求有多少個學生？思考題10、有一個長方體，它的正面和上面的面積之和是20

12、9，如果它的長、寬、高都是質數，那么這個長方體的體積是多少？第三講 分數乘除法計算 分數乘除法的計算方法用字母表示為：（a，c都不等于0）；（a，c都不等于0）。一、課前準備：計算下列各題：（1）10 （2） （3） （3）9 （4） （6）（+）2、在或里填上合適的數字或符號，并說明使用了什么運算定律？25 eq f(16,7) eq f(7,8) = ( ) eq f(5,8) eq f(2,3) eq f(8,15) =( ) eq f(2,29) (15 eq f(29,31) )= ( )25 eq f(3,4) 4= + 7 eq f(7,8) = 1 eq f(4,5) 25=

13、54( eq f(8,9) - eq f(5,6) )= 二、例題講解例1：計算：； 。【分析】認真觀察這兩道題的數學特點：第(1)題中的與1只相差，如果把寫成的差與37相乘，再運用乘法分配律就能簡化運算了。同樣，第（2）題中的27可以寫成（26+1）。練習：“挑戰自己！”比一比，看一看，誰的方法最巧妙？ 26 eq f(2,3) eq f(1,5) 32 eq f(2,5) eq f(5,6) 例2：計算：分析仔細觀察因數的特點可知，可轉化為，這樣就可以利用乘法的分配律進行簡算了。練習：計算：例3：計算：【分析】把幾個分數的和作為一個整體去處理，往往會使計算簡便得多。在本題中，把與的和作為一

14、個數來參與運算，使計算中只含有乘除法。再利用乘法的交換律、結合律就可以很快算出結果。例4：計算：；。【分析】同學們都會計算帶分數除法。不過，看了這兩題，你一定感到把帶分數化成假分數太繁了。如果我們動一下腦筋，就會發現：可以把題(1)中的分成一個41的倍數與另一個較小的數相加，再利用除法性質就可以使運算簡便。把題（2)中的化為假分數時，把分子用兩個數相乘的形式表示，便于約分和計算。例5：計算：例6：計算：一、基本練習1、下面各題，怎樣簡便就怎樣算。 “考考你”下面各題怎么算簡便就怎么算？ eq f(7,10) 101- eq f(7,10) eq f(8,9) eq f(8,9) eq f(8,

15、9) eq f(8,9) eq f(3,5) 99 + eq f(3,5) 3 eq f(4,5) 25 36 eq f(34,35) ( eq f(5,6) - eq f(5,9) ) eq f(18,5) ( eq f(4,7) + eq f(8,9) ) eq f(2,25) eq f(15,21) eq f(3,4) + eq f(10,21) eq f(3,4) - eq f(3,4) 分數四則混合計算：（1）（）1000 （2）（） （3） （4）（0.19+0.19）0.05二能力提高 （4） （5） 第四講 分數四則混合運算一、課前準備：9 （） （）24二、例題講解例1：計算

16、：練習：例2：計算：（598.13759816.26）1190例3、 例4；計算； 練習：1. 下面各題怎樣算簡便就怎樣算。 （）27 （） 4 5 2. 用簡便方法計算。11310091 1.1440.954.093、計算下面各題。 第五講 估 算取近似值的方法除了常用的四舍五入法外，還有去尾法和收尾法（進一法）。其方法一般是計算出準確值再按要求取近似值。還有兩種：（1）省略尾數取近似值，即觀其“大概”； （2）用放大或縮小的方法來確定某個數或整個算式的取值范圍，即估計范圍。這就是估計與估算，估計與估算，是一種十分重要的算法，在生活實踐和數學解題中有廣泛的應用。一、去尾法和收尾法（進一法）例

17、1、某飛機所載油料最多只能在空中連續飛行4時，飛去時速度為900千米/時，飛回時速度為850千米/時。問：該飛機最遠飛出多少千米就應返回？（精確到1千米）解：設該飛機最遠能飛出x小時，依題意有此題采用去尾法。如果按照四舍五入的原則，那么得到x1749，當飛機真的飛出1749千米再返回時，恐怕在快著陸的瞬間就要機毀人亡了。例2、某人執行爆破任務時，點燃導火線后往70米開外的安全地帶奔跑，其奔跑的速度為7米/秒。已知導火線燃燒的速度是0.112米/秒。問：導火線的長度至少多長才能確保安全？（精確到0.1米）此題采用收尾法。如果你的答案是1.1米，執行任務的人還沒跑到安全地帶，炸藥就被引爆，那可就太

18、危險了。二、放縮法與省略尾數法例3、有三十個數：1.64，1.64+，1.64+，1.64+1.64+，如果取每個數的整數部分（例如：1.64的整數部分是1，1.64+的整數部分是2），并將這些整數相加，那么其和是多少？分析：關鍵是判斷從哪個數開始整數部分是2例4、 分析：本題可以采用取近似值的辦法求解，還可采用放縮法估計范圍解答的。方法一：放縮法：A12343122=0.3952A123531210.3957所以0.3952A0.3957方法二：省略尾數法：近似值：將被除數、除數同時舍去13位，各保留4位，則有12343121例5、老師在黑板上寫了十三個自然數，讓小明計算平均數（保留兩位小數

19、），小明計算出的答數是12.43。老師說最后一位數字錯了，其它的數字都對。正確的答案應是什么？分析：小明的答案僅僅是最后一位數字錯了，那么正確答案應該在12.40與12.50之間。原來13個數的總和最小應該是12.4013=161.2，最大應該是12.5013=162.5之間，從而可求出這 13個自然數的總和，從而知道正確答案已知：S=，求S的整數部分。分析與解：如果我們能知道分母部分最小不小于幾、最大不大于幾，就能知道它的值在某個范圍內。當這個范圍很小時，就容易判斷出s的整數部分了。設A=說明：本題如果直接計算，不但非常麻煩，而且容易出錯。上面的“分析”中，我們采用了“放大縮小”的方法，就是

20、先把s的倒數（分母部分）的每一個加數都看成最大的一個（放大），再都看成最小的一個（縮小）。練一練：求的整數部分。練習一、基本題1、（1+）+（1+2）+（1+3）+（1+10）+（1+11）的結果是x，那么，與x最接近的整數是多少？2、求算式0.123450510.51504321的小數點后前二位數字是多少？3、為了修水電站，需要在極短的時間內向河道中投入300米3石料，以截斷河流。如果每臺大型運輸車一次可運石料17.5米3，那么為保障一次截流成功，至少需多少臺運輸車？4、用5米長的花布做上衣，已知每件上衣需用布2米，求這塊布料可以做幾件上衣？5、小華在計算一道求七個自然數平均數（得數保留兩位

21、小數）的題目時，將得數最后一位算錯了。他的錯誤答案是21.83，正確答案應是多少？6、求下式中S的整數部分：二、綜合題7、 計算：（提示：注意385= 5711，可以先用乘法分配律化簡，再估算。）三、思考題：8、在1，中選出若干個數，使得它們的和大于3，至少要選幾個數？ 第六講 分數運算的技巧對于分數的混合運算，除了掌握常規的四則運算法則外，還應該掌握一些特殊的運算技巧，才能提高運算速度，解答較難的問題。下面我們著重介紹五種常用的簡算技巧。（一）一般分數乘除法的計算：（二）分數的簡便計算1.湊整法與整數運算中的“湊整法”相同，在分數運算中，充分利用四則運算法則和運算律（如交換律、結合律、分配律

22、），使部分的和、差、積、商成為整數、整十數從而使運算得到簡化。 例3、計算：2.約分法：例4、計算：分析：仔細觀察可知，分子的每一項（每一個加數）都可以分解出123，分母的每一項都可以分解出135。把它們作為公因數提出來后，括號內的和是相等的。例5、計算：分析：仔細觀察分子、分母中各數的特點，就會發現分毋中的被減數362548可以變形為：（3611)548=361548548，同時發現548186=362。這樣就可以把分母轉化成與分子完全相同的式子，簡化運算。例6、計算：例7、計算： 分組法例8、計算：分析：利用加法交換律和結合律，先將同分母的分數相加。4、代數法例9、練習： EQ f(200

23、3,2004) 2005 第七講 簡單的分數應用題（一）一、基礎知識：1、分數應用題的一般關系式是：表示單位“1”的量（標準量）分率=分率的對應量。2、解題思路：一道分數應用題中，先根據分率所在的哪個條件，找出并判斷“1”。分率是“誰的”幾分之幾，誰就是單位“1”（分率是一個不帶單位的、不具體的分數，反映的是兩個數之間的一種倍數關系。）單位“1”的量的判斷：根據分率來判斷把哪個數量平均分成多少份，哪個數量就是單位“1”。表示單位“1”的量是已知的，則該題用“”。表示單位“1”的量是未知的，則該題用“”或方程。解題的關鍵是：尋找“與數量對應的分率”，“與分率對應的數量”。二、例題解析：（一）基本

24、方法例1、指出下面每組中單位“1”和對應分率。一只雞的重量是鴨的。把( )平均分為3份,把（ ）看作單位“1”,( )相當于這樣的2份，2/3對應的數量是（ ）。甲的相當于乙。把( )平均分為5份,把（ ）看作單位“1”,( )相當于這樣的3份，3/5對應的數量是（ ）。現價是原價的。把( )平均分為40份,把（ ）看作單位“1”,( )相當于這樣的3份，3/40對應的數量是（ ）。現價比原價少的部分對應的分率是（ ）。小紅的書比小明少。把( )平均分為8份,把（ ）看作單位“1”,( )相當于這樣的7份，7/8對應的數量是（ ）。小明的書對應的分率是（ ）。例2、根據已知條件用“”線標出單位

25、“1”的量，再寫出數量關系式。 （1）白兔只數的是黑兔的只數。 （2）已經修了公路全長的。（3）二班植樹棵數相當于一班的。 （4）今年棉花產量比去年增加。 （4）第三季度冰箱價格比第二季度便宜。 （6）還剩這堆煤的。 例3、小王買了一個本子和一支鋼筆。本子的價格是1 元，鋼筆的價格比本子的價格多，鋼筆的價格是多少元？例4、一條褲子比一件上衣便宜25元。一條褲子是一件上衣價格的2/3，一件上衣多少元？例5、商店運來一批水果，運來蘋果20筐，梨的筐數是蘋果的3/4，梨的筐數同時又是桔子的3/5。運來桔子多少筐？例6、學校買來54本新書，其中科技書占 1/6，文藝書占1/3，文藝書比科技書多多少本？

26、（二）能力拓展例7、小強看一本故事書，每天看16頁,看了5天后，還剩全書的3/5沒有看，這本故事書有多少頁？分析：把全書看作單位“1”，是未知的，可以用除法或方程解答。3/5與沒有看的頁數相對應，看了的已知量165與13/5相對應。例8、客車由甲城開往乙城要10小時,貨車由乙城開往甲城要15小時, 兩車同時從兩城相向開出,多少小時兩車相遇？如果相遇時客車走了600千米,甲乙兩城之間的公路長多少千米?分析：本題的關鍵是要求相遇時間，我們知道相遇時間=相遇距離速度和，而本題要求的就是相遇距離，怎么辦？可以假設全程為單位“1”。練一練：一項工作,由甲單獨做需要10天；由乙單獨做需要12天.如果兩人合

27、做,幾天才能完成?練習：一、基本題1、指出下面每組中單位“1”和對應分率。白兔是黑兔的。把( )平均分為6份,把（ ）看作單位“1”,( )相當于這樣的5份，對應的數量是（ ）。一種毛衣現價是原價的4/7。把( )平均分為7份,把（ ）看作單位“1”,( )相當于這樣的4份,4/7對應的數量是（ ）。現價比原價少的部分對應的分率是（ ）。九月份的產量比八月份增加了 。單位“1”：（ ）。九月份的產量對應分率（ ）。2、根據已知條件用“”線標出單位“1”的量，再寫出數量關系式。 （1）媽媽年齡的是女兒的年齡。 （2）已經用這根繩子的。（3）男生人數占總數的。 （4）今年車禍比去年減少。 （4）現

28、價比原價增加。 （6）沒有看的占這本書的。 3、六年級有男生100人，女生有80人。（1）男生人數是女生的幾分之幾？（2）女生是男生的幾分之幾？（3）女生是全年級學生的幾分之幾？（4）男生人數比女生多幾分之幾？3、某生產隊挖一條長300米的水渠，第一天挖了全長的1/4，挖了多少米？還剩多少米？4、某車間五月份生產零件3000個，六月份比五月份多生產了，六月份生產了多少個零件？分析：把（ ）看作單位“1”，是（ ）知的。可用（ ）方法計算。對應的數量是（ ），六月份生產的對應分率是（ ）。 解答：5、某小學有學生若干人，其中女生占3/8，還已知該校男生有240人，這所小學共有多少人？分析：把（

29、）看作單位“1”，是（ ）知的。可用（ ）方法計算。男生的對應分率是（ ）。解答：6、小亮在銀行存了240元，小華存的錢是小亮的5/6，小華存的錢是小新的2/3，小新存了多少元？7、某糧店共有大米2800千克，第一天賣了4/7，糧店還有大米多少千克？8、商店有紅氣球和黃氣球，共有48只，其中黃氣球的只數是紅氣球的3/5 。紅氣球和黃氣球各多少只?9、一只大雁由北方飛往南方要6天, 一只野鴨由南方飛往北方要8天,如果大雁和野鴨同時從兩個方向同時出發,多少天他們可以相遇?二、綜合題：10、王琳看一本連環畫共80頁，第一天看了全書的1/5，第二天看了全書的1/4。還剩多少頁沒有看？11、本站有一批貨

30、物，上午運走了總數的2/5，下午運走了總數的3/8 ，還剩下2700噸沒有運，這批貨物一共有多少噸？12、一袋大米吃了1/3后又加入8千克，這時袋里的大米恰好是22千克。這袋大米原來有多少千克？13、小剛讀一本書，先讀了全書的，又讀了全書的，已讀的比沒讀的多70頁，這本書共有多少頁？14、根據算式寫出問題。（說明：35%=7/20）還剩下全長的1/3沒有修完，？（1）24001/4 ？（2）240035% ？（3）2400（1/4+35%） ？（4）24001/3 ？（5）2400（35% - 1/4） ？（6）2400（1/3 - 1/4） ？（7）2400（1/4+35% - 1/3） ？

31、第八講 較復雜的分數應用題（二）本講繼續學習較復雜的應用題兩個單位“1”的情況和量與率的對應關系。較復雜的分數應用題常常需要畫出線段圖或用方程的方法解答。例1、一根140厘米長的繩子，第一次用去它的4/7 ，第二次又用了余下的3/5 ，兩次共用去多少厘米？分析：本題有2個分率，相對應的有2個單位“1”。例2、小紅看一本書，第一天看了全書的4/7 ，第二天又看了剩下的 3/5，還剩下42頁沒有看，這本書共有多少頁？練一練：某生產隊挖一條長300米的水渠，第一天挖了全長的，第二天挖了余下的，第三天恰好挖完，第三天挖了多少米？例3、一瓶油第一次吃了1/5千克，第二次吃了余下的3/4，這時瓶內還有1/

32、5千克，問這瓶油原來有多少千克？分析：根據條件“第二次吃了余下的3/4”，我們先確定“1”；再利用線段圖來找出：“與量對應的率”或“與率對應的量”。例4、某校男生人數比全校學生總數的4/9少25人，女生人數比全校學生總數的4/7 多15人。求全校學生總人數。分析：利用線段圖來找出：“與量對應的率”或“與率對應的量”。而單位“1”是未知的，可以用除法或方程解答。例5、 有一瓶酒精，第一次倒出2/3又80克，然后倒回140克；第二次再倒出瓶里酒精的3/4，這時瓶里還剩下90克酒精。求原來瓶里有酒精多少克？分析：本題2個分率，相對應的有2個單位“1”。利用線段圖來找出：“與量對應的率”或“與率對應的

33、量”。單位“1”是未知的，可以用除法或方程解答。試一試：東盛化肥廠生產一批化肥，分三次運出，第一次運出的比總數的3/5還多300噸，第二次運出的是第一次的1/3，第三次運出的450噸，求這批化肥有多少噸？例6、某工廠二月份比元月份增產1/10，三月份比二月份減產1/10問三月份比元月份增產了還是減產了？分析：本題沒有告訴我們具體的數量，要求的也是不具體的分率，所以我們可以假設老三年齡為“1”,或者假設一個具體的數量、字母。練一練：有兄弟三個，老大比老二年齡大2/5，老二比老三年齡大2/5，老大的年齡是老三的幾分之幾？練習：1、某水泥廠第二個月生產水泥2400噸，比第一個月多生產1/4，第一個月

34、生產水泥多少噸？第三個月生產的水泥，比第一個月少生產1/5，那么第三個月生產水泥多少噸？2、小紅看一本240頁的書，第一天看了全書的1/4 ，第二天又看了剩下的1/3，還剩下多少頁沒有看？3、某糧店，第一天賣了全部大米的4/7，第二天又賣了余下的3/5，這時還剩下420千克米沒有賣。這個糧店共有大米多少千克？4、某車間一月份生產了1000個零件，以后每個月都增產1/10，三月份生產了多少個零件？5、某工廠去年制造一種零件，成本逐漸下降，每一季度的成本都比前一季度降低1/4，問第三季度的成本是第一季度的幾分之幾？6、某班學生中，男生人數比全班人數的5/9 少5人，女生人數比全班人數的3/7多11

35、人，求全班人數。7、一桶柴油，第一次用了全桶的2/5，第二次用去20千克，第三次用了前兩次的和，這時桶里還剩8千克油問這桶油有多少千克？二、綜合題8、兩隊合修一條水渠，甲隊完成的比全長的1/2還多7.2千米，乙隊完成的相當于甲隊的1/3。這條水渠有多長？9、小王做零件，已經做了240個，比計劃還少20%，為了超額25%，小王還應再做多少個？ 10、一袋大米第一周吃了1/3又6千克，后又加入8千克，第二周又吃了剩下的1/3，這時袋里的大米恰好是24千克。這袋大米原來有多少千克？11、向陽村用拖拉機耕地，第一天耕了全部土地的1/4，第二天耕了剩下的三分之二，第二天比第一天多耕30公頃，問這個村共有

36、多少公頃土地？12、一種商品，先提價，再降價，現價相當于原價的幾分之幾？第九講 階段復習與考試第十講 簡單的工程問題（一）準備題：修建一條長1200米的公路，甲隊需要30天，乙隊需要40天，如果兩隊合修需要多少天？在日常生活中，做某一件事，制造某種產品，完成某項任務，完成某項工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作時間這三個量，它們之間的基本數量關系是：工作效率工作時間=工作總量（由此還可以變化為工作時間=工作總量工作效率，工作效率=工作總量工作時間），在小學數學中，探討這三個數量之間關系的應用題，我們都叫做“工程問題”。工程問題中的本質關系為：工作效率工作時間=工作總量。分數工程問題的特點

37、，常常不給出具體的工作總量，我們把全部工程看作單位“1”，這樣，工作效率=1/工作時間，然后再根據工總、工效和工時這三個量的關系解題。一、基本方法例1、加工一批零件，甲單獨做6小時完成，乙單獨做9小時完成。（1）甲、乙合做，每小時完成這批零件的幾分之幾？（2）合做3小時完成這批零件的幾分之幾？（3）合做3小時后完成剩下零件兩人合作還需要多少小時？（4）如果合做2小時后，剩下的由甲單獨做還需要多少小時做完？練一練：現在打一份文稿，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.現在甲先做了3天，余下的工作由甲、乙合作完成，還需要做幾天可以完成全部工作？例2、兩列火車同時從甲、乙兩地相向而行，貨車從甲地開往乙

38、地需要10小時，客車從乙地開往甲地需要8小時，現貨車先行2小時后，客車才出發，求客車出發后多少小時兩車相遇？分析；沒有告訴我們甲、乙兩地的路程，我們把甲、乙兩地路程看做單位“1”，速度用1/時間來表示。求相遇時間，相遇時間=相隔路程速度和。例3、一個水池有兩個進水管，一個出水管。單開甲管12小時可把空池注滿，單開乙管20小時可把空池注滿，單開丙管15小時可把滿池水放空，三管同開，多少小時把空池注滿水？分析：注意本題是兩個進水管，一個出水管，進水管來灌水，出水管來放水。例4、水池上裝有甲、乙兩個大小不同的水龍頭，單開甲龍頭60分鐘可注滿水池，現在兩個水龍頭同時注水，20分鐘可注滿水池的1/2，如

39、果單開乙龍頭需要多長時間注滿水池？ 分析：根據條件可以求出甲、乙兩水龍頭的工效和，再根據甲龍頭的工效，就可以求出乙龍頭的工效了。進而求出乙龍頭的工作時間。二、能力拓展例5、一項工程，先由甲、乙合做5天完成了全部工程的1/3，再由乙單獨做了2天完成了全部工程的1/30 ，然后由乙、丙二人合做19天完成余下的工程。如果這項工程由甲、乙、丙三人合做，需要多少天完成？例6、一項工程，甲隊獨做需要45天完成，乙隊獨做需要60天完成，現在甲、乙兩隊合作，中途乙隊因事調走，這樣完成全部工程共用了30 天，求乙隊工作了幾天？分析：這項工程，我們可以看成甲隊做了一部分，乙隊也做了一部分。例7、某項工程，甲、乙兩

40、隊合做，30天可以完成。今兩隊合做12天后，剩下的由甲隊獨做，經過24天才完成。問：乙隊獨做全部工程需幾天完成？ 分析：根據條件可以求出兩隊工效和。例8、加工一批零件，甲獨做20天完成，乙獨做每天完成這件零件的1/30，現在兩人合作完成這批零件，甲中途休息了2.5天，乙也休息了幾天，這樣用了15天才全部完成，求乙休息了幾天？分析：乙休息的天數可能2.5天多或少或同樣多。解題方法多樣：按前面例題的思路，可用方程的方法，或假設方法。練習：一、基本題：1、修一棟樓房，甲公司單獨做5個月完成，乙公司單獨做6個月完成。（1）合做2個月完成這棟樓房的幾分之幾？（2）如果合做2個月后，剩下的由甲公司做還需要

41、多少個月做完？2、一項工程，甲隊單獨做20天完成，乙隊單獨做30天完成。現在兩隊合作，多少天可以完成？3、一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.現在甲先做了3天，余下的工作由乙繼續完成.乙需要做幾天可以完成全部工作？4、做一批零件，甲單獨做12天完成，乙單獨做16天完成，現在兩人合作4天后，余下的由乙獨做多少天可以完成？5、一個水池上裝有一根進水管和一根出水管，單開一根進水管30分鐘可以將水池注滿，單開一根出水管45分鐘可以將一池水放完。現在水池有1/2的水，兩管齊開，多少分鐘水池可以把水池灌滿？6、一只大雁從甲地飛向乙地需要10天，一只野鴨從乙地飛向甲地需要12天，現野鴨先飛了3天后

42、，大雁才出發，求大雁出發后多少天大雁和野鴨相遇？7、一項工程，甲隊單獨做5天完成；乙隊單獨做6天完成，甲、乙兩隊合做2天后，甲隊因事調走，余下的部分由乙隊單獨做完，還需要多少天完成？二、綜合題8、做一批零件，甲、乙兩人合做12天完成，現在甲、乙合做4天后，余下的乙獨做20天可以完成。如果甲單獨完成這批零件要用多少天？9、有一項工程，甲隊獨做40天可完成，乙隊獨做60天可完成，現在已知兩隊合做這項工程，但中間甲隊因另有任務調走幾天，所以經過27天才完成全部工作，甲隊離開了幾天？ 10、一件工程，甲5小時先完成了1/4，乙接著用9小時又完成了剩下任務的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，還需要多少小

43、時才能完成？11、一項工程，先由甲做10天完成了全部工程的1/6；再由乙做5天完成了全部工程的1/4；然后由丙做2天完成了全部工程的1/15。最后甲、乙、丙合做余下的工程，還要幾天可以完成？第十一講：圓和扇形（一）（一）基本知識1、圓：圓周長公式：C=d或C=2r。 圓面積公式：。圓環面積： 圖一 圖二 圖三2、扇形。如上圖二，連接兩條半徑OA、OB，就可得到一個扇形OAB，扇形面積公式是：S=。扇形的圓弧長=所在圓周長的。其中r是指扇形的在圓的面積，n指的是圓心角的度數。例1、圖二中n=60，半徑為6厘米，扇形面積是多少？弧AB是多少？3、弓形。如上圖三， S弓AC= S扇AOCSAOC例2

44、、圖三中，直角三角形AOC的直角邊OA= 6厘米，求弓形AC的面積。（二）基本運用例3、街心花園中圓形花壇的周長是18.84米。花壇的面積是多少平方米？例4、計算下圖陰影部分的面積(單位：厘米)例5、在一塊長4.5米，寬2米的長方形鐵板上截下2個最大的圓形后，剩下的鐵板面積是多少平方米？ 例6、從一塊邊長10厘米的正方形鐵皮上剪下一個最大的圓，這塊圓形鐵皮的面積是多少平方厘米？剩下的面積是多少？例7、從一個直徑為10厘米的圓中，剪去一個最大的正方形，正方形面積是多少？例8、求下圖中陰影部分的面積和周長。練 習一、基本題1、一個圓形花壇的周長是25.12米。花壇的面積是多少平方米？2、已知一個圓

45、的面積是28.26平方厘米，求這個圓的周長。3、下圖涂色部分是個環形，它的內圓半徑是10厘米，外圓半徑是15厘米，它的面積是多少？4、從一塊邊長8厘米的正方形鐵皮上剪下一個最大的圓，陰影部分面積是多少？5、下圖圓的半徑為6厘米，圓心角為45度，扇形AOC的面積是多少？弧AC是多少？6、下圖是一個直角邊長為20厘米的等腰直角三角形。求弓形面積。 7、求陰影部分的面積：(單位：分米) （=3）8、右圖中直角三角形ABC的底AB= 20 厘米，以AB為直徑畫成一個圓，圓心為O，CO垂直于AB，求弓形AC的面積。9、求下圖中陰影部分面積和周長（1）等腰梯形的腰是0.8。（單位：厘米）（2）三角形ABC

46、是等邊三角形，底BC= 6厘米，扇形圓心角為120度。思考題：10、在下圖中左右兩個正方形一樣大小，且圖（2）中四個小圓一樣大試問是圖（1）中的大圓面積大，還是圖（2）中四個小圓的面積之和大？請說明理由。第十二講 簡單的百分數應用題（一）百分數是表示一個數是另一個數的百分之幾的數，叫做百分數。百分數也叫做百分率或百分比。百分數在生活中大量地運用。如出生率、利息、利潤等。 一般地，我們可以把百分數應用題看作分數應用題來解答。一、一般百分數應用題例1、東風化肥廠去年計劃生產化肥60萬噸，實際生產了72萬噸。實際產量比計劃超過百分之幾？例2、商店賣一種袖珍收音機, 現在按八折出售，每臺是14.4元,

47、這種收音機原價每臺多少元?例3、有甲、乙兩個倉庫，甲倉庫存糧的2/3正好是乙倉庫存糧的60%，已知乙倉庫存糧1500噸，甲倉庫存糧多少噸？例4、工程隊挖一條水渠，每天挖1.4千米，10天挖了全長的70%，還剩多少千米沒有挖？ 例5、學校去年春季植樹500棵，成活率為85，去年秋季植樹的成活率為90。已知去年春季比秋季多死了20棵樹，那么去年秋季學校共種多少棵樹？分析：成活率是指成活的棵數占全部棵數的百分之幾。根據去年春季成活率85，可以求出成活棵數和死了的棵數。進而求出死了的棵數，再根據去年秋季植樹的成活率90，求出去年秋季種的樹。例6、紡織廠的女工占全廠人數的80，一車間的男工占全廠男工的2

48、5。問：一車間的男工占全廠人數的百分之幾？分析：沒有告訴我們具體的數量，而且求的也是一個不具體的數量百分比，這樣，我們可以采用設參數的方法。二、特殊的百分數應用題利潤問題在這類問題中，特別的在于，它涉及兩個量的相乘，一是商品的單價，另一個是銷售量。我們要同時把握這兩個量的變化：總價=單價數量利潤：一般地，商店購進貨物的錢叫成本（或購入價）。賣出去的錢叫售價（或賣出價）。售價與成本的差叫利潤。利潤與成本的比叫利潤率。售價=成本+利潤=成本+成本利潤率=成本（1+利潤率）利潤=售價成本例7、某商店進貨的批發價為50元一袋，規定零售價為70元一袋，求商品的利潤率是多少？例8、商店從某供貨商以每臺12

49、00元，購進了50臺空調。該商店以20%的利潤率來定價，空調的定價是多少？如果全部按這個價賣出，商店共獲利多少元？例9、商場以400元的成本購進一見商品，該商店準備以50%的利潤率來定價，但因為價高，沒有人購買，只好打75折優惠，問現在這件商品賣多少元？練習1、曙光面粉廠5000千克小麥可以出面粉4000千克，面粉的出粉率是多少？面粉的出粉率是80，4000千克小麥可以出面粉多少千克？面粉的出粉率是80，加工3200千克面粉需要多少千克小麥？2、把20克鹽溶解在80克水中，鹽占鹽水的百分之幾？3、一家大型超級市場,一月份的營業額是5000萬元,如果按營業額的5%繳納營業稅后,還剩余多少萬元？4

50、、甲數比乙數多20%，乙數比甲數少百分之幾？5、某化肥廠第一季度生產化肥2400噸，完成了全年任務的 25%，他們準備在第二季度完成全年任務的 30%，那么第二季度應生產化肥多少噸？6、運送一批樹苗，已運了總數的62.5，未運的比已運的少420棵，這批樹苗總數多少棵？7、某商場以每套64元的價格，購進童裝100套，全部銷售完后，共得10000元，求商場銷售這些童裝的利潤率。8、中國書店收購一本舊書, 原價12元收購時按八折作價, 然后又按比收購價多5%的價錢售出書店售出這本書的價錢是多少元?9、在某校學生中，男生人數占全校人數的60，女生人數占全校的40，那么，男生人數比女生多百分之幾？10、

51、采煤隊三月份上半月完成月計劃的60，下半月完成月計劃的65，這個月實際采煤2.5萬噸，這個月超過月計劃多少萬噸？11、一家服裝店出售兩種春裝，一種是新式樣，每件賣240元，可賺20%，另一種樣式過時，是處理品賠本20%，每件售價也是240元，問：兩種春裝各出售一件，是賠還是賺？賠（或賺）多少？12、某校綠化校園植了水杉，柏樹、梧桐三種樹，其中種植水杉的棵數為總數的40%，柏樹的棵數是水杉的7/8，其余的是梧桐樹。已知水杉比梧桐多144棵，水杉是多少棵？第十三講 分數應用題復習例1：數量和分率直接對應一輛汽車4小時行了全程的2/5，照這樣的速度，再行幾小時到達？練習：六（1）班，男生比女生少8人

52、，女生比男生多1/3，全班多少人？例2：已知量的對應分率1、一條公路第一天修了全長的1/4，第二天修了全長的2/5，兩天共修了1.3千米，這條公路全長多少米？2、一輛汽車行了全程的3/5，這時已超過中點15千米，已行了多少千米？3、服裝店分兩次加工一批服裝，第一次做了全部的1/5，第二次比第一次多做90件。這批服裝共多少件?4、汽車從A城開往B城，第一小時行全程的1/4，第二小時行全程的1/3，超過中點15千米，A、B兩城相距多少千米?5、電視機廠9月份生產一批電視機，上旬生產了全部的3/10，中旬生產的是上旬的2/3，下旬全部完成任務。已知下旬比中旬多生產2250臺，9月份生產電視機多少臺?

53、例3：找對應關系1小紅看一本小說，第一天看總頁數的1/12還多19頁，第二天看的比總頁數的1/8少17頁，還余下93頁，這本書共多少頁? 2、服裝店加工一批服裝，第一次做了全部的1/5，第二次比第一次多做8件。這時做完的比沒做完的少2件，這批服裝共多少件?3、一批木料，先用去總數的2/5，又用去總數的4/9，這時用去的比剩下的多21方，這批木料共多少方?4、有兩只桶裝油50千克，若第一桶里倒出1/5，第二桶里倒進4千克，則兩桶內油相等。原來每只桶各裝油多少千克?5、一個班女生比男生的2/3多4人，如果男生減少3人，女生增加4人，那么男女生恰好相等。這個班男、女生各有多少人?6、甲、乙、丙、丁四

54、人共同購買一只游艇，甲支付的現金是其余三人所支付的1/4，乙支付的比其余三入所支付的總數少1/2，丙支付的是其余三人所支付的1/3，丁支付9100元。這只游艇價值多少元?7小強讀一本書，第一天讀全書的4/7，第二天又讀了余下的1/2，這時還有30頁沒讀，這本書共有多少頁?8、學校舉行一項數學講座，整個教室坐滿了人，其中兩人中有一個六年級學生，四人中有一個五年級學生，七人中有一個四年級學生，還有六位老師，整個教室聽課的有多少人?六年級分數應用題練習、修一條長3000米的路，已經修了30%，還剩多少米沒有修？2、碼頭上有一堆石子，賣出 eq f(2,5) ，正好是600噸。這堆石子有多少噸？賣出了多少噸？3、有300千克的面粉，第一天吃了20%，第二天吃了35%。兩天一共吃了多少千克？第一天比第二天少吃多少千克？4、植樹節同學們植了160棵松樹，植的杉樹是松樹的40%。兩種樹