1、線 性 代 數 試 卷(A) 一、選擇題（每題3分，共15分）1.2.(B)A-D）A(C)A-A(A)TT3.設是維列向量,階方陣,，則在的個特征值中,必然_(A) 有個特征值等于1 (B) 有個特征值等于1(C) 有1個特征值等于1 (D) 沒有1個特征值等于14.5. 一定無解 可能有解 一定有唯一解 一定有無窮多解二、填空題（每題3分，共15分）1.設是階方陣A的伴隨矩陣，行列式，則 =_2. D中第二行元素的代數余子式的和=_ ,其中D = 3. 已知實二次型正定,則實常數的取值范圍為_ 4. 2階行列式 ,其中階矩陣 5. 設A=而2為正整數，則三、計算題(每題9分,共54分)1.

2、 計算階行列式 2. 求矩陣使 3. 設非齊次線性方程組有三個解向量 ， ， 求此方程組系數矩陣的秩,并求其通解(其中為已知常數)4. 已知實二次型 =經過正交變換,化為標準形,求實參數及正交矩陣5. 設線性方程組為 ，問,各取何值時，線性方程組無解，有唯一解，有無窮多解？在有無窮多解時求出其通解6. 在四元實向量構成的線性空間中,求使為的基,并求由基的過渡矩陣,其中 四、證明題(每題8分,共16分)1. 設 是歐氏空間的標準正交基,證明:也是的標準正交基2. 設是元實二次型,有維實列向量,使，, 證明:存在維列實向量,使=0線性代數考試A參考答案一、選擇題1.(A) 2.(B) 3.(B)

3、4.(D) 5.(B) 二、填空題1. ； 2. 0； 3. ； 4.； 5.三、計算題1. 解 各列加到第一列，提出公因式= 8分= 9分2. 3分 9分3. 由題設條件知,是的三個解，因此， 是對應的齊次線性方程組的線性無關解向量,因此,系數矩陣的秩2又中有二階子式，2，因此2 3分因此，為其導出組的基礎解系。由此可得線性方程組的通解： ， 為任意常數 9分4.的矩陣有特征值 由2分 A對應的線性無關的特征向量， ， 5分 A對應的單位正交特征向量 ， 8分 于是正交變換X = QY中的正交矩陣 = 9分 5. 3分 當4時，方程組有唯一解當4，2時，方程組無解5分當4，2時，3 4，方程

4、組有無窮多組解,其通解為， 為任意常數 9分6. 解： 2分設,則 ， 4分設 ,則 9分四、證明題證：因為4分 所以是V的標準正交基。 8分2. 證:是不定二次型,設的正慣性指數為P,的秩為r，則, 2 分可經非退化線性變換化為規范形= 4分取 ,則有 使= 8分期末考試 線性代數 試卷A填空題（每小題4分，共20分）。已知正交矩陣P使得，則設A為n階方陣，是的個特征根，則det( )= 設A是矩陣， 是 維列向量，則方程組有無數多個解的充分必要條件是：rank(A)=rank(A,B)n若向量組=（0，4，2），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩為2，則t=-8，則的全部根為：1、2、

5、-3選擇題（每小題4分，共20分）行列式的值為（ c ）。 D1， B，-1C， D，對矩陣施行一次行變換相當于（ A ）。左乘一個m階初等矩陣， B，右乘一個m階初等矩陣 C， 左乘一個n階初等矩陣， D，右乘一個n階初等矩陣 若A為mn 矩陣，。則（ C ）。 DA， 是維向量空間， B， 是維向量空間C，是m-r維向量空間， D，是n-r維向量空間若n階方陣A滿足， =0，則以下命題哪一個成立（ A ）。DA， ， B， C， ， D，若A是n階正交矩陣，則以下命題那一個不成立（ D ）。A，矩陣AT為正交矩陣， B，矩陣為正交矩陣C，矩陣A的行列式是1， D，矩陣A的特征根是1解下列各

6、題（每小題6分，共30分）1若A為3階正交矩陣，為A的伴隨矩陣， 求det ()2計算行列式。 (a+3)(a-1)33設，求矩陣B。4、求向量組的一個最大無關組。求向量=（1，2，1）在基下的坐標。四、（12分）求方程組 的通解（用基礎解系與特解表示）。五、（12分）用正交變換化下列二次型為標準型，并寫出正交變換矩陣 六、證明題（6分）設，是線性方程組對應的齊次線性方程組一個基礎解系， 是線性方程組的一個解，求證線性無關。2006年線性代數A參考答案 填空題 2 0 -2200612n2r(A)=r(A,B) nt=-81,2,-3二 選擇題(1) D (2) A (3) D (4) D (

7、5) D三 解答題 (1) AA* =|A|E, |A|A*|=|A3| |A*|=|A|2=|AA|=|AA-1|=1 (2) (3)由AB=A-B，有，（4） 而 故，為一個極大無關組（5）求向量=（1，2，1）在基下的坐標。令=（1，2，1）=x+y+z，則有： 解得： 的坐標為四 解： 原方程組同解下面的方程組： 即： 令,求解得：（1，1，0，0，0）=。齊次方程組基礎解系為：。五、（12分）用正交變換化下列二次型為標準型，并寫出正交變換矩陣 解： 當時，由，求得基礎解系：當時，由，求得基礎解系： 當時，由，求得基礎解系：單位化：令，則若則。六，證明 證：設， 則，于是：,即：但，故

8、 =0。從而 =0。但線形無關，因此全為0，于是b=0,由此知：線形無關。設，是線性方程組對應的齊次線性方程組一個基礎解系， 是線性方程組的一個解，求證線性無關。姓名 學號 學院 專業 座位號 ( 密 封 線 內 不 答 題 )密封線線_ _ 誠信應考,考試作弊將帶來嚴重后果！ 期末考試 2006線性代數 試卷B填空題（每小題4分，共20分）。已知正交矩陣P使得，則2設A為n階方陣，是的個特征根，則det( )= 3設A是矩陣，則方程組對于任意的 維列向量都有無數多個解的充分必要條件是：若向量組=（0，4，2），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩不為3，則t=5，則的全部根為：二、選擇題（

9、每小題4分，共20分）1n階行列式的值為（ ）。， B，C， D，2對矩陣施行一次列變換相當于（ ）。左乘一個m階初等矩陣， B，右乘一個m階初等矩陣 C， 左乘一個n階初等矩陣， D，右乘一個n階初等矩陣 3若A為mn 矩陣，。則（ ）。A， 是維向量空間， B， 是維向量空間C，是m-r維向量空間， D，是n-r維向量空間4若n階方陣A滿足， =E，則以下命題哪一個成立（ ）。A， ， B， C， ， D，5若A是n階正交矩陣，則以下命題那一個不成立（ ）。A，矩陣-AT為正交矩陣， B，矩陣-為正交矩陣C，矩陣A的行列式是實數， D，矩陣A的特征根是實數三、解下列各題（每小題6分，共30

10、分）1若A為3階正交矩陣， 求det (E-)2計算行列式。3設，求矩陣A-B。4、求向量組的的秩。向量在基下的坐標（4，2，-2），求在下的坐標。四、（12分）求方程組 的通解（用基礎解系與特解表示）。五、（12分）用正交變換化下列二次型為標準型，并寫出正交變換矩陣 六、證明題（6分）設，是線性方程組對應的齊次線性方程組一個基礎解系， 是線性方程組的一個解，求證對于任意的常數a，線性無關。 證：設， 則，于是：,即：但，故 =0。從而 =0。但線形無關，因此全為0，于是b=0,由此知：線形無關。2006年線性代數B參考答案 填空題（1） 2 -2 -5*220051nm=r(A)=r(A,B

11、) nt=-81,2,-3二 選擇題(1) D (2) D (3) D (4) A (5) D三 解答題 (1) 3階的正交矩陣必有一個實特征根，這個特征根為1或者-1， 所以det (E-)= det （E-A） det （E+A） =0（2） (3)由AB=A-B，有，（4） 而 故秩為3。（5）令=+2+=x（+）+y（+）+z（+），則有： 解得： 所求的的坐標為四 解： 原方程組同解下面的方程組： 即： 令,求解得：（1，1，0，0，0）=。齊次方程組基礎解系為：。五解： 當時，由，求得基礎解系：當時，由，求得基礎解系： 當時，由，求得基礎解系：單位化：令，則若則。六，證明 證：設，

12、 則，于是：,即：但，故 =0。從而 =0。但線形無關，因此全為0，于是b=0,由此知：線形無關。姓名 學號 學院 專業 座位號 ( 密 封 線 內 不 答 題 )密封線線_ _ 誠信應考,考試作弊將帶來嚴重后果！ 期末考試（A卷） 2007線性代數 試卷填空題（共20分）設A是矩陣， 是 維列向量，則方程組無解的充分必要條件是：rank(A)rank(A,B)已知可逆矩陣P使得，則若向量組=（0，4，t），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩為2，則t= 若A為2n階正交矩陣，為A的伴隨矩陣， 則=-1設A為n階方陣，是的個特征根，則 = 選擇題（共20分）(1) D (2) D (3)

13、C (4) 都對 (5) A將矩陣的第i列乘C加到第j列相當于對 D乘一個m階初等矩陣， B，右乘一個m階初等矩陣 C， 左乘一個n階初等矩陣， D，右乘一個n階初等矩陣 若A為mn 矩陣，。則（ C ）。 DA， 是維向量空間， B， 是維向量空間C，是m-r維向量空間， D，是n-r維向量空間（2） 若A為mn 矩陣， 是 維 非零列向量，。集合則B DA， 是維向量空間， B， 是n-r維向量空間C，是m-r維向量空間， D， A，B，C都不對（3）若n階方陣A，B滿足， ，則以下命題哪一個成立D CA， ， B， C， ， D， （4）若A是n階正交矩陣，則以下命題那一個成立：AA，矩

14、陣為正交矩陣， B，矩陣 -為正交矩陣C，矩陣為正交矩陣， D，矩陣 -為正交矩陣（5）4n階行列式的值為：AA，1， B，-1C， n D，-n 解下列各題（共30分）1求向量，在基下的坐標。2設，求矩陣-A3計算行列式4.計算矩陣列向量組生成的空間的一個基。（4分5. 設 計算det A證明題（10分）設是齊次線性方程組的一個基礎解系， 不是線性方程組的一個解，求證線性無關。五、（8分）用正交變換化下列二次型為標準型，并寫出正交變換矩陣 六、（8分） 取何值時，方程組 有無數多個解？并求通解七、（4分）設矩陣，+都是可逆矩陣，證明矩陣也是可逆矩陣。2007年線性代數A參考答案一 填空題 每

15、個四分rankArank(A|B) 或者 rankA rank(A|B)t= 0二 選擇題(1) D (2) D (3) C (4) 都對 (5) A三 解答題1求向量，在基下的坐標。 (1) 設向量在基下的坐標為，則 （4分） （6分）2設，求矩陣-A (2) （2分） （6分）3計算行列式(3) （6分）（4）（4分） （6分） （5） （6分）四 證明： 五、A=, (2分) | |= （5分）P= （7分）+ （8分） 六，證明 七 姓名 學號 學院 專業 座位號 ( 密 封 線 內 不 答 題 )密封線線_ _ 誠信應考,考試作弊將帶來嚴重后果！ 期末考試（B卷） 2007線性代數

16、試卷填空題（共20分）設A是矩陣， 是 維列向量，則方程組有唯一解的充分必要條件是：已知可逆矩陣P使得，則若向量組=（0，4，t），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩r不為3，則r= 若A為2n+1階正交矩陣，為A的伴隨矩陣， 則=設A為n階方陣，是的個特征根，則 = 選擇題（共20分）(1) D (2) C (3) D (4) A (5) B將矩陣的第i列乘c相當于對A：左乘一個m階初等矩陣， B，右乘一個m階初等矩陣 C， 左乘一個n階初等矩陣， D，右乘一個n階初等矩陣 （2） 若A為mn 矩陣，。集合則 B CA， 是維向量空間， B， 是n-r維向量空間C，是m-r維向量空間，

17、D， A，B，C都不對（3）若n階方陣A，B滿足， ，則以下命題哪一個成立 C DA， ， B， C， ， D， 都不對（4）若A是n階初等矩陣，則以下命題那一個成立：AA，矩陣為初等矩陣， B，矩陣 -為初等矩陣C，矩陣為初等矩陣， D，矩陣 -為初等矩陣（5）4n+2階行列式的值為：A，1， B，-1C， n D，-n 解下列各題（共30分）1求向量，在基下的坐標。2設，求矩陣-A3計算行列式4.計算矩陣列向量組生成的空間的一個基。5. 設 計算det A證明題（10分）設是齊次線性方程組的一個基礎解系， 不是線性方程組的一個解，求證線性無關。五、（8分）用正交變換化下列二次型為標準型，并

18、寫出正交變換矩陣 六、（8分） 取何值時，方程組無解？ 七、（4分）設矩陣，+都是可逆矩陣，證明矩陣也是可逆矩陣。2007年線性代數B參考答案 填空題 每個四分rankA=rank(A|B)=n （2）（3）r=2 （4） 1（5）0二 選擇題(1) D (2) C (3) D (4) A (5) B三 解答題 (1) 設向量在基下的坐標為，則 （4分） （6分） (2) （2分） （6分）(3) （6分）（4）（4分） （6分） （5） （6分）四 證明： 五、A=, (2分) | |= （5分）P= （7分）2 （8分） 六，證明 七 _ _ 誠信應考,考試作弊將帶來嚴重后果！ 期末考試（A卷） 2007線性代數-1 試卷填空題（共20分）1設行列式，則方程