1、中考數學壓軸題-二次函數-存在性問題第11節 等腰直角三角形的存在性 方法點撥第一步：易證BADECB，如果再加一個條件BD=BE，此時BADECB（AAS）所以，AB=CE，AD=CB第二步：根據點坐標來表示線段長度，列等式求解。 例題演練1如圖所示，拋物線ya（x+1）（x5）（a0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（1）當a時，求點A、B、C的坐標；如果點P是拋物線上一點，點M是該拋物線對稱軸上的點，當OMP是以OM為斜邊的等腰直角三角形時，求出點P的坐標；（2）點D是拋物線的頂點，連接BD、CD，當四邊形OBDC是圓的內接四邊形時，求a的值【解答】解：對于ya（x+1）（x5

2、）（a0），令ya（x+1）（x5）0，解得x5或1，令x0，則y5a，故點A、B、C的坐標分別為（5，1）、（1，0）、（0，5a），當x2時，ya（x+1）（x5）9a，頂點的坐標為（2，9a）（1）當a時，函數的表達式為y（x+1）（x5），則點A、B、C的坐標分別為（5，1）、（1，0）、（0，2）；過點P作y軸的平行線交過點M與x軸的平行線于點F，交x軸于點E，設點P的坐標為（x，（x+1）（x5），MPO90，MPF+OPE90，OPE+POE90，POEMPF，PFMOEP90，PMPO，PFMOEP（AAS），PEMF，則（x+1）（x5）x2，解得x或4，故點P的坐標為（，）

3、或（4，2）； （2）點B、C的坐標分別為（1，0）、（0，5a），頂點D的坐標為（2，9a）當四邊形OBDC是圓的內接四邊形時，則BC的中點為該圓的圓心，設BC的中點為點Q，由中點坐標公式得，點Q（，a），則OQDQ，即（）2+（）2（2）2+（9a+a）2，解得a2如圖，已知拋物線yax2+4x+c與直線AB相交于點A（0，1）和點B（3，4）（1）求該拋物線的解析式；（2）設C為直線AB上方的拋物線上一點，當ABC的面積最大時，求點C的坐標；（3）將該拋物線向左平移2個單位長度得到拋物線ya1x2+b1x+c1（a10），平移后的拋物線與原拋物線相交于點D，是否存在點E使得ADE是以AD

4、為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）將A、B兩點代入到解析式中，得，解得，拋物線的解析式為：yx2+4x+1；（2）設直線AB為：yk1x+1，代入點B，得，3k1+14，解得k11，直線AB為：yx+1，設C（m，m2+4m+1），過C作CMy軸交AB于M，如圖1，則M（m，m+1），CMm2+4m+1m1m2+3m，SABCSACM+SBCM，C為直線AB上方拋物線上一點，0m3，時，ABC的面積最大值為，此時C（）；（3）拋物線y（x2）2+5，將拋物線向右平移2個單位后得到的拋物線為：yx2+5，聯立，解得，D（1，4），如圖2，當D

5、ADE，EDA90，E在AD右側時，過D作x軸平行線交y軸于N，過E作y軸平行線，兩線交于F點DAN+NDANDA+EDF90DANEDF，又DNAEFD90，DADE，DNAEFD（AAS），DNEF1，ANDF3，E（4，3），當DADE，EDA90，E在AD左側，同理可得，E（2，5），當ADAE，DAE90，E在AD左側時，同理可得，E（3，2），當ADAE，DAE90，E在AD右側時，同理可得，E（3，0），綜上所述，E（4，3）或（2，5）或（3，2）或（3，0）3如圖，已知拋物線yx2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中A（1，0），C（0，3）（1）求該拋物線的

6、函數表達式；（2）拋物線與直線yx1交于A、E兩點，P是x軸上點B左側一動點，當以P、B、C為頂點的三角形與ABE相似時，求點P的坐標；（3）若F是直線BC上一動點，在拋物線上是否存在動點M，使MBF為等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點M的坐標；否則說明理由【解答】解：（1）把A（1，0），C（0，3）代入yx2+bx+c，得：，解得：，拋物線的函數表達式為yx2+2x+3；（2）聯立直線AE和拋物線的函數關系式成方程組，得：，解得：，點E的坐標為（4，5），AE5，在yx2+2x+3中，令y0，得：x2+2x+30，解得：x13，x21，點B的坐標為（3，0），C（0，3），OBOC3，B

7、OC90，CBO45，BC3，直線AE的函數表達式為yx1，BAE45CBO設點P的坐標為（m，0），則PB3m，以P、B、C為頂點的三角形與ABE相似，或，或，解得：m或m，點P的坐標為（，0）或（，0）；（3）CBO45，存在兩種情況（如圖2）取點M1與點A重合，過點M1作M1F1y軸，交直線BC于點F1，CBM145，BM1F190，此時BM1F1為等腰直角三角形，點M1的坐標為（1，0）；取點C（0，3），連接BC，延長BC交拋物線于點M2，過點M2作M2F2y軸，交直線BC于點F2，點C、C關于x軸對稱，OBC45，CBC90，BCBC，CBC為等腰直角三角形，M2F2y軸，M2BF

8、2為等腰直角三角形點B（3，0），點C（0，3），直線BC的函數關系式為yx3，聯立直線BC和拋物線的函數關系式成方程組，得：，解得：，點M2的坐標為（2，5），綜上所述：點M的坐標為（1，0）或（2，5）4如圖，拋物線yax2+bx3（a0）與x軸交于A、B兩點，交y軸于點C，OB3，拋物線經過點（2，5）（1）求該拋物線解析式；（2）如圖1，該拋物線頂點D，連接BD、BC，點P是線段BD下方拋物線上一點，過點P作PEy軸，分別交線段BD、BC于點F、E，過點P作PGBD于點G，求2PG+EF的最大值，及此時點P的坐標；（3）如圖2，在y軸左側拋物線上有一動點M，在y軸上有一動點N，是否存在

9、以AN為直角邊的等腰直角三角形AMN？若存在，請直接寫出點M的坐標【解答】解：（1）OB3，B（3，0）把C（3，0）和點（2，5），代入拋物線yax2+bx3，得，解得，拋物線解析式為yx2+2x3；（2）延長PE與x軸交于點M，FMx軸，PGBD，如圖所示，FMB90，PGF90，BFMPFG，MBFGPF，B（3，0），D（1，4），B、D兩點的橫坐標距離為2，縱坐標距離為4，由勾股定理得BD2，cosMBFcosGPF，2PG+EFEF+2FP，C（0，3），設直線BC解析式為lBC：ykx+b（b0），把B（3，0）和C（0，3）代入得，解得，lBC：yx3，同理，直線BD得解析式為

10、：y2x6，設E（m，m3），P（m，m2+2m3），F（m，2m6），EF+2FPm3（2m6）+2（2m6）（m2+2m3）2（m+）2+，當m時，EF+2FP有最大值，2PG+EFEF+2FP，此時，P點坐標為P（，）；（3）存在，設N（0，y1），M（x2，+2x23），當y0時，代入拋物線yx2+2x+3中，解得兩根為3和1，A在y軸右側，A（1，0），AN2OA2+ON21+y12，AM2（x21）2+（+2x23）2，MN2+（+2x23y1）2，當ANMN時，此時由ANMN，等腰直角三角形各邊比為1：1：，M點橫坐標為1或31，將M的橫坐標為1或31，代入yx2+2x3中得，M

11、點坐標為（1，2）或（31，14），由ANMA得：M點橫坐標為22或22，將M點橫坐標為22或22代入yx2+2x+3中，得M點坐標為（22，17+844）或（22，33+844），綜上所述，M點坐標為（1，2）或（31，14），（22，17+844）或（22，33+844），5如圖，拋物線C1：yx2+bx+c經過原點，與x軸的另一個交點為（2，0），將拋物線C1向右平移m（m0）個單位得到物度C2，C2交x軸于A、B兩點（點A在點B的左邊），交y軸于點C（1）求拋物線C1的解析式及頂點坐標；（2）以AC為斜邊向上作等腰直角三角形ACD，當點D落在拋物線C2的對稱軸上時，求拋物線C2的解析式

12、及D點坐標【解答】解：（1）拋物線C1經過原點，與x軸的另一個交點為（2，0），解得，拋物線C1的解析式為yx22x，拋物線C1的頂點坐標（1，1）（2）如圖，拋物線C1的向右平衡m（m0）個單位得到拋物線C2，C2的解析式為y（xm1）21，A（m，0），B（m+2，0），C（0，m2+2m），過點C作CH對稱軸DE，垂足為H，ACD為等腰直角三角形，ADCD，ADC90，CDH+ADE90，HCDADE，DEA90，CHDDEA，AEHD1，CHDEm+1，EHHD+DE1+m+1m+2，由OCEH得m2+2mm+2，解得m11，m22（舍去），拋物線C2的解析式為：y（x2）21，D點坐

13、標（2，2）6已知：如圖，拋物線yax2+bx+6與x軸交于點B（6，0），C（2，0），與y軸交于點A，點P是線段AB上方拋物線上的一個動點（1）如圖，連接PA、PB設PAB的面積為S，點P的橫坐標為m請說明當點P運動到什么位置時，PAB的面積有最大值？（2）過點P作x軸的垂線，交線段AB于點D，再過點P作PEx軸交拋物線于點E，連接DE，請問是否存在點P使PDE為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）拋物線yax2+bx+6與x軸交于點B（6，0），C（2，0），可設拋物線的表達式為：ya（x+2）（x6），12a6，解得a，拋物線的表達式為：

14、yx2+2x+6，A（0，6）直線AB的表達式為：yx+6，點P的橫坐標為m，則P（m，m2+2m+6），過點P作x軸的垂線，交線段AB于點D，則D（m，m+6），SOBPD6（m2+2m+6+m6）（m3）2+，當m3時，S的值取最大，此時P（3，）；（2）存在，理由如下：由題意可知，PDPE，若PDE是等腰直角三角形，則PEPD，由（1）可得，PDm2+2m+6+m6m2+3m，PEx軸，E（4m，m2+2m+6），PE|2m4|，|2m4|m2+3m，解得m12（舍），m24，m35+（舍），m45，當PDE是等腰直角三角形時，點P的坐標為（4，6），（5，35）7如圖1二次函數yx2+

15、6與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C（1）求出點A，B，C的坐標；（2）連接AC，求直線AC的表達式；（3）如圖2，點D為線段AC上的一個動點，連接BD，以點D為直角頂點，BD為直角邊，在x軸的上方作等腰直角三角形BDE，若點E在y軸上時，求點D的坐標；（4）若點D在線段AC上，點D由A到C運動的過程中，以點D為直角頂點，BD為直角邊作等腰直角三角形BDE，當拋物線的頂點C在等腰直角三角形BDE的邊上（包括三角形的頂點）時，請直接寫出頂點E的坐標【解答】解：（1）當x0時，y6C點坐標為（0，6）當y0時，解得x14，x24A點在B點左側，點A坐標為（4，0），點B坐標為

16、（4，0）（2）設直線AC的表達式為：ykx+b點A坐標為（4，0），點C坐標為（6，0）解得直線AC的表達式為（3）如答圖1，過點D分別作DFx軸于點F，DGy軸于G.四邊形DGOF為矩形，FDG90BDE為等腰直角三角形，BD為直角邊BDED，EDB90EDBGDBFDGGDB即EDGBDF在BDF和EDG中，BDFEDG（AAS）DFDG設點D的坐標為（m，）解得m，點D的坐標為（）（4）由（2）可得直線AC的表達式為點D在直線AC上，設點D坐標為（）設直線BC的解析式為：ykx+b將B（4，0），C（0，6）代入得解得直線BC的解析式為當C位于斜邊BE上時，點E在直線BC上，設點E坐標

17、為（b，）如答圖2所示.作EMx軸于點M，DQx軸于點Q，DNEM于點N易知四邊形DQMN為矩形QDN90BDE為等腰直角三角形，BD為直角邊BDED，EDB90EDBNDBQDNNDB即EDNBDQ在BDQ和EDN中，BDQEDN（AAS）DNDQ，ENBQE坐標為（b，），D坐標為（）DNba，ENDQ，BQ4a解得點E的坐標是（）當點D在直角邊DE上時，BD交y軸于點F，如答圖3所示CDFBOF90，CFDBFODCFOBFtanDCFtanOBF即亦即OF點F坐標為（0，）設直線BF解析式為ykx+b將B（4，0），F（0，）代入得解得直線BF解析式為yB、F、D三點共線，亦即直線BD

18、解析式為y聯立直線AC解析式得解得故點D坐標為（）BDAC，BDDE，BD2DE2解得b點E的坐標為（）當點D與點C重合時，即點C為直角頂點時如答圖4所示.作EGy軸于點GBCE90ECG+BCO90又ECG+GEC90BCOGEC在GEC和OCB中，GECOCB（AAS）GEOC6，GCOB4點E的坐標為（6，10）由圖知點E關于點C對稱的點E亦滿足題意則由中點坐標公式可得點E的橫坐標為2066，縱坐標為26102故點E坐標為（6，2）綜上所述，點E的坐標為（）或（）或（6，10）或（6，2）8如圖，拋物線yax2+bx+5交x軸于A（1，0）、B（5，0）兩點，交y軸于點C（1）求拋物線的

19、解析式；（2）點P是對稱軸上一點，當PA+PC達到最小值時，求點P的坐標；（3）M、N為線段BC上兩點（N在M的右側，且M、N不與B、C重合），MN2，在第一象限的拋物線上是否存在這樣的點R，使MNR為等腰直角三角形？若存在，求出點R的坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）拋物線yax2+bx+5交x軸于A（1，0），B（5，0），解得：，拋物線的解析式為：yx2+4x+5；（2）當x0時，y5，C（0，5），A與B關于拋物線的對稱軸對稱，直線BC與對稱軸的交點就是點P，此時PA+PC達到最小值，yx2+4x+5（x2）2+9，拋物線對稱軸為直線x2，設直線BC的解析式為：ykx+b（k

20、0），點B坐標為（5，0），則，解得：，直線BC的解析式為yx+5，與對稱軸的交點為（2，3），點P的坐標（2，3）；（3）分三種情況：以點M為直角頂點，如圖1，MN2，RNMN4，C（0，5），B（5，0），OCOB5，OCBOBC45，RNM45BCO，RNOC，由（2）知：直線BC的解析式為yx+5，設R（m，m2+4m+5），則N（m，m+5），則RN（m2+4m+5）（m+5）4，解得m14，m21，點N在點M右側，m4，R（4，5）；以點R為直角頂點，如圖2，MN2，RNMN2，設R（m，m2+4m+5），則Q（m，m+5），RN（m2+4m+5）（m+5）2，解得m1，m2，點N

21、在點M右側，m，R（，）；以點N為直角頂點，如圖3，MN2，RMMN4，RMNOBC45，MROB，設R（m，m2+4m+5），則M（m4，m2+4m+5），把M（m4，m2+4m+5）代入yx+5，得（m4）+5m2+4m+5，解得m14，m21，此時點M（0，5），因為點M在線段BC上運動，且不與B、C重合，所以不存在以N為直角頂點的情況；綜上所述：當 R（4，5）或（，）時，MNR為等腰直角三角形9拋物線yax26ax+4（a0）交y軸正半軸于點C，交x軸負半軸于點A，交x軸正半軸于點B，且AB10（1）如圖（1），求拋物線的解析式；（2）如圖（2），連接BC，點P為第一象限拋物線上一點

22、，設點P橫坐標為t，PBC的面積為S，求S與t之間的函數關系式（不用寫出自變量t的取值范圍）；（3）如圖（3），在（2）的條件下，連接PA交y軸于點D，過點P作x軸的垂線，交x軸于點E，交BC于點F，連接DF，當APE+CFD90時，在拋物線上是否存在點Q，使得點Q、PE的中點N、點C、是構成以CN為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由【解答】解：（1）如圖1中，設A（m，0），B（n，0），由題意：，解得，A（2，0），B（8，0），把A（2，0）代入yax26ax+4，得到a，拋物線的解析式為yx2+x+4 （2）如圖2中，連接OP設P（t，t2+t+4），B（8，0），C（0，4），OB8，OC4，SSPOC+SPOBSOBC4t+8（t2+t+4）48t2+8t（0t8） （3）存在理由：如圖3中，設P（t，t2+t+4），A（2，0），B（8，0），C（0，4），直線PA的解析式為y（t8）xt+4，直線BC的解析式為yx+4，PEx軸，F（t，t+4），D（0，t+4），FDAB，CFDCBA，APF+CFD90，APF+PAE90，PABCFDCBO，tanCBOtanPAB，OA2，OD1，t+41，t6，P（6，4），E（6，0），PNNE，N（6，2），