1、一元二次方程的幾何應用一、選擇題1.（2018貴州安順，T6，F3）一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程x2-7x+10=0的兩根，則該等腰三角形的周長是（）A.12B.9C.13D.12或9【答案】A【解析】解x2-7x+10=0，得x=2或5.已知在等腰三角形中，有兩腰相等，且兩邊之和大于第三邊，腰長為5，底邊長為2.該等腰三角形的周長為5+5+2=12.【知識點】解一元二次方程，三角形兩邊的和大于第三邊.二、填空題1.（2018湖北黃岡，12題，3分）一個三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊長是方程x2-10 x+21=0的根，則三角形的周長為_【答案】16【解析】解該方程得x1=3，x2=

2、7，因為兩邊長為3和6，所以第三邊x的范圍為：6-3x6+3，即3x9，所以舍去x1=3，即三角形的第三邊長為7，則三角形的周長為3+6+7=16【知識點】解一元二次方程，三角形三邊關系2.（2018江西，12，3分）在正方形ABCD中，AB6，連接AC，BD，P是正方形邊上或對角線上一點，若PD2AP，則AP的長為_【答案】2，23，142【解析】PD2AP，設APx，則PD2x，當P在AD邊上時，如解圖，AD6，APPD6，x2x6即x2，AP2當P在DC上時，如解圖在RtADP中，APPD，PD2AP，1第12題解圖第12題解圖當P在BC邊上時，如解圖，DP最大為62，AP最小為6，PD

3、2AP，當P在AB上時，如解圖，在RtADP中，AP2AD2PD2，x262(2x)2，解得x123，x223(舍)，AP23；當P在AC對角線上時，如解圖，在RtADC中，ACAB2BC262，AOAC32，在RtPDO中，第12題解圖第12題解圖第12題解圖第12題解圖12PO32x，PD2x，DOAO32，PD2PO2DO2，(2x)2(32)2(32x)2，解得x1142，x2142(舍)，AP142；當P在DB對角線上時，如解圖，在RtAPO中，AP2AO2PO2，x2(2x32)2(32)2，整理得：x242x120，(42)24112160，方程無解，綜上所述：AP2或23或14

4、2【知識點】正方形，一元二方程的解法，勾股定理3.（2018浙江省臺州市，16，5分）如圖，在正方形ABCD中，AB3，點E，F分別在CD，AD上，CEDF，BE，CF相交于點G.若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2:3，則BCG的周長為2易知SBCG=S四邊形FGED=3CG=，SBCG=BGg【答案】3+15【思路分析】通過正方形的邊長可以求出正方形的面積，根據“陰影部分的面積與正方形的面積之比為2:3”可以求出空白部分的面積；利用正方形的性質可以證明BCECDF，一是可以得到BCG是直角三角形，二是可以得到BCG的面積，進而求出BGgCG=3；利用勾股定理可以求出BG2+C

5、G2=9，這樣就可以求出BG+CG=15，因而BCG的周長就可以表示出來了.【解題過程】在正方形ABCD中，AB=3，S正方形ABCD=32=9，陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2:3，空白部分的面積與正方形ABCD的面積之比為1:3，S空白=3，四邊形ABCD是正方形，BC=CD，BCE=CDF=90CE=DF,BCECDF(SAS)CBE=DCF,DCF+BCG=90,CBE+BCG=90,即BGC=90，BCG是直角三角形132223BGgCG=3，根據勾股定理：BG2+CG2=BC2，即BG2+CG2=92（BG+CG）=BG2+2BGgCG+CG2=9+23=15，BG+C

6、G=15，BCG的周長=BG+CG+BC=3+15【知識點】正方形的性質，三角形的面積；全等三角形的判定與性質；勾股定理；一元二次方程的解法；三、解答題1.（2018浙江杭州，21，10分）如圖，在ABC中，ACB=90，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交線段AB于點D，以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交線段AC于點E，連接CD。（1）若A=28，求ACD的度數；（2）設BC=a，AC=b線段AD的長度是方程x22axb20的一個根嗎？說明理由；若AD=EC，求ab的值。【思路分析】（1）先求B,再根據等腰三角形知識求BCD，在用直角求出ACD；（2）根據勾股定理表示出AB，1表再示出AD，根

7、據一元二次方程的解表示出x22axb20的解進行對比；由AD=AE,則可得AD=b，從而可2列方程求解出比值【解題過程】4m,即AD=，將x代入x22axb20得：（）2+2ab20,Qb(ab)0,1.（2018湖北鄂州，20，8分）已知關于x的方程x3k3x2k4k20【解析】解：（1）證明：由題意可知，a1，b（3k3），c2k4k2，b24ac(3k3)3k3，x1x22（2）由根與系數的關系可知xx2k4k2，12x1x22x12x236,x1x22x1x236,2k4k223k336，化簡得k25k140，111k7舍去，k2，該菱形的面積為x1x2(1)QAB900,A280,B

8、620,QBDBC,BDCBCD,QBBDCBCD1800,1800620BDC590,QBDCACDA,ACD5902803102(2)設AD=m,QBDBCa,ABADBDma,在RTABC中，AB2BC2AC2,(ma)2a2b2,m22amb20,AD長為方程x22axb20的根。（3）設AD=m,ADACAEbm,QACb,CEACAEm,QCEAD,bmm,bbbbb32222243a3Qb0,ab,4b4【知識點】三角形內角和，等腰三角形角度計算，勾股定理，線段轉換22（1）求證：無論k為何值，原方程都有實數根；（2）若該方程的兩實數根x1，x2為一菱形的兩條對角線之長，且x1x

9、22x12x236，求k值及該菱形的面積【思路分析】（1）只需證明根的判別式0，即可證得無論k為何值，原方程都有實數根；（2）利用韋達定理求出k值，再利用菱形的面積等于對角線乘積的一半就能求出該菱形的面積22(3k3)24k24k29k218k98k216k8k22k1(k1)2，(k1)20，0，無論k為何值，原方程都有實數根；bcaa2(k2)(k7)0，解得k2或7，x1，x2為一菱形的兩條對角線之長，且x1x23k3，3k30，2k4k2224229222【知識點】根與系數的關系；一元二次方程；根的判別式；菱形的性質；菱形的面積公式2.（2018湖北宜昌，21，8分）如圖，在ABC中，

10、ABAC.以AB為直徑的半圓交AC于點D，交BC于5點E.延長AE至點F，使EFAE,連接FB，FC.(1)求證:四邊形ABFC是菱形；(2)若AD7，BE2，求半圓和菱形ABFC的面積.(第21題圖)【思路分析】(1)先由EFAE，以及到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上，得到CEBE，證明四邊形ABFC是平行四邊形；再由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，證明平行四邊形ABFC是菱形.(2)設CDx，則ABAC7x，連接BD，在eqoac(,Rt)BDA中，BD2AB2AD2,在eqoac(,Rt)BDA中，BD2BC2CD2,AB2AD2BC2CD2,從而建立方程，求出x的值，并求出BD的值，求出半圓和菱形ABFC的面積.【解析】(1)證明：QAB為半圓的直徑，AEB90o,QABAC,CEBE,又QEFAE,四邊形ABFC是平行四邊形.又QABAC,（或AEB90o，）平行四邊形ABFC是菱形.(3)解：連接BD，6AD7,BECE2,設CDx，則ABAC7x，(第21題第2問答圖)AB為半圓的直徑，ADB90o,在eqoac(,Rt)BDA中，BD2A