1、7:53 上午1湯 燕 斌華中科技大學數學與統計學院數學物理方程與特殊函數7:53 上午2數學物理方程與特殊函數 數學和物理的關系 課程的主要內容數學和物理從來是沒有分開過的 數學物理方程的定義 用微分方程來描述給定的物理現象和物理規律。三種方程、 四種求解方法、 二個特殊函數分離變量法行波法積分變換法格林函數法波動方程熱傳導拉普拉斯方程貝塞爾函數勒讓德函數7:53 上午3哈密爾頓算子或梯度算子，讀作nabla 拉普拉斯算子 微積分知識回顧與梯度算子有關的場論運算 平面上的拉普拉斯算子 常微分方程的求解：常見的一階方程、可降階高階方程、二階線性方程 傅里葉級數理論：傅里葉級數及其系數、正弦級數

2、、余弦級數 7:53 上午4拉普拉斯方程： 熱傳導方程： 波動方程： 三類偏微分方程 兩種特殊函數 貝塞爾方程 勒讓德方程 琴弦的振動；桿、膜、液體、氣體等的振動；電磁場的振蕩等 熱傳導中的溫度分布；流體的擴散、粘性液體的流動 空間的靜電場分布；靜磁場分布；穩定溫度場分布 的解：貝塞爾函數 的解：勒讓德函數 7:53 上午5一、 基本方程的建立第一章 一些典型方程和定解條件的推導二、 定解條件的推導三、 定解問題的概念7:53 上午6常見數學物理方程的導出確定所要研究的物理量u，比如位移、場強、溫度 根據物理規律建立微分方程 通過合理的數學近似對方程進行化簡數學物理方程定解問題的提法泛定方程（

3、波動方程、熱傳導方程、拉普拉斯方程）定解問題：定解條件（初始條件，邊界條件）7:53 上午7一、 基本方程的建立條件：均勻柔軟的細弦，在平衡位置附近作微小橫振動。不受外力影響。例1、弦的振動研究對象：線上某點在 t 時刻沿縱向的位移。7:53 上午8弦振動的相關模擬7:53 上午9弦振動的相關模擬7:53 上午10弦振動的相關模擬7:53 上午11弦振動的相關模擬7:53 上午12波的傳播的相關模擬7:53 上午13弦振動的相關模擬7:53 上午14簡化假設：(2)橫向振幅極小， 張力與水平方向的夾角很小。(1)弦是柔軟的，弦上的任意一點的張力沿弦的切線方向。牛頓運動定律：橫向：縱向：其中：其

4、中：7:53 上午15其中：一維波動方程令：-非齊次方程自由項-齊次方程忽略重力作用：7:53 上午16從麥克斯韋方程出發：在自由空間：例2、時變電磁場7:53 上午17對第一方程兩邊取旋度，根據矢量運算：由此得：得：即： 同理可得：電場的三維波動方程磁場的三維波動方程7:53 上午18例3、熱傳導所要研究的物理量：溫度 根據熱學中的傅立葉試驗定律在dt時間內從dS流入V的熱量為：從時刻t1到t2通過S流入V的熱量為 高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分） 熱傳導現象：當導熱介質中各點的溫度分布不均勻時，有熱量從高溫處流向低溫處。熱場7:53 上午19流入的熱量導致V內的溫

5、度發生變化 流入的熱量：溫度發生變化需要的熱量為：熱傳導方程熱場如果物體內有熱源，則溫度滿足非齊次熱傳導方程7:53 上午20例4、靜電場電勢u 確定所要研究的物理量：根據物理規律建立微分方程：對方程進行化簡：拉普拉斯方程 泊松方程 7:53 上午21同一類物理現象中，各個具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環境和歷史，即個性。初始條件：能夠用來說明某一具體物理現象初始狀態的條件。邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現象邊界上的約束情況的條件。二、定解條件的推導其他條件：能夠用來說明某一具體物理現象情況的條件。7:53 上午22初始時刻的溫度分布：B、熱傳導方程的初始條

6、件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件不含初始條件，只含邊界條件條件A、 波動方程的初始條件1、初始條件描述系統的初始狀態系統各點的初位移系統各點的初速度7:53 上午23(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、邊界條件描述系統在邊界上的狀況A、 波動方程的邊界條件(1)固定端：對于兩端固定的弦的橫振動，其為：或：(3) 彈性支承端：在x=a端受到彈性系數為k 的彈簧的支承。或第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件7:53 上午24B、熱傳導方程的邊界條件(1) 給定溫度在邊界上的值(S為給定區域v 的邊界)(2) 絕熱狀態(3)熱交換狀態牛頓冷卻定律：單位時間內從物

7、體通過邊界上單位面積流到周圍介質的熱量跟物體表面和外面的溫差成正比。交換系數； 周圍介質的溫度,第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件C、拉普拉斯方程的邊界條件7:53 上午251、定解問題三、定解問題的概念(1) 初始問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題；(2) 邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；(3) 混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。 把某種物理現象滿足的偏微分方程和其相應的定解條件結合在一起，就構成了一個定解問題。2、定解問題的適定性 解的存在性：定解問題是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的穩定性：定解條件微小變動時，解是否有相應的微小變動。7

8、:53 上午26(4) 按未知函數及其導數的系數是否變化分為常系數和變系數微分方程；(5) 按自由項是否為零分為齊次方程和非齊次方程3、微分方程一般分類 (1) 按自變量的個數，分為二元和多元方程；(2) 按未知函數及其導數的冪次，分為線性微分方程和 非線性微分方程；(3) 按方程中未知函數導數的最高階數，分為一階、二階 和高階微分方程；7:53 上午27線性方程的解具有疊加特性 4、疊加原理 幾種不同的原因的綜合所產生的效果等于這些不同原因單獨產生的效果的累加。(物理上)判斷下列方程的類型思考7:53 上午285、微分方程的解 古典解：如果將某個函數 u 代入偏微分方程中，能使方程成為恒等式，且方程中出現的偏導數都連續，則這個連續函數就是該偏微分方程的古典解。通解： 解中含有相互獨立的和偏微分方程階數相同的任意常數的解。 特解： 通過定解條件確定了解中的任意常數后得到的解。 形式解：未經過嚴格數學理論驗證的解為形式解。 6、求解方法分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數法7:53 上午29四、兩個自變量的二階線性偏微分方程的分類 兩個自變量的二階線性偏微分方程的一般形式(1.4.1) 其中，都是區域上的實函數，并假定它們是連續可微的。 若在區域上某點處滿足則