1、19.3 正方形第19章 矩形、菱形和正方形導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)1.能理解正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形與菱形.2.能利用正方形的性質(zhì)與判定定理，進(jìn)行簡單的幾何推理與計算.學(xué)習(xí)目標(biāo)活動:觀察這些圖片，你什么發(fā)現(xiàn)？正方形四條邊有什么關(guān)系？四個角呢？導(dǎo)入新課情境引入正方形的定義一活動1：準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，得到一個四邊形.問題1：折疊后得到的特殊四邊形是什么四邊形？正方形講授新課合作探究活動2：把可以活動的菱形框架的一個角變?yōu)橹苯?，觀察這時菱形框架的形狀.問題2：經(jīng)過變化后得到特殊四邊形是什么四邊形？有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形是正方

2、形. 正方形正方形的性質(zhì)探究和證明二ABCD填一填：角： 邊：對角線： 對稱性： 四個角都是直角.四條邊相等.對角線相等且互相垂直平分.aaaa軸對稱圖形（4條對稱軸）. 1.正方形的四個角都是直角,四條邊相等.2.正方形的對角線相等且互相垂直平分.定理已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.求證：正方形ABCD四邊相等,四個角都是直角.ABCD證明：四邊形ABCD是正方形.A=90, AB=AC . （正方形的定義）又正方形是平行四邊形.正方形是矩形, （矩形的定義） 正方形是菱形.(菱形的定義)A=B =C =D = 90, AB= BC=CD=AD.定理證明已知：如右圖,四邊形ABCD是正方

3、形.對角線AC、BD相交于點(diǎn)O.求證：AO=BO=CO=DO,ACBD.ABCDO請同學(xué)們動手完成以上證明？提示：可以先通過證明來得到正方形是矩形、菱形，然后利用矩形和菱形的定理來完成該題.想一想： 正方形是矩形嗎？是菱形嗎？ 矩形菱形正方形平行四邊形 正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以平行四邊形、矩形、菱形有的性質(zhì),正方形都有.歸納正方形對角線邊邊對角線對角線角對邊平行且相等相互平分相等四個角相等都是90相互垂直且平分對角四邊相等對稱性軸對稱圖形（4條對稱軸）歸納總結(jié)例1：如圖在正方形ABCD中,E為CD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊延長線上一點(diǎn),且CE=CF. BE與DF之

4、間有怎樣的關(guān)系？請說明理由.典例精析解：BE=DF,且BEDF.理由如下：（1）四邊形ABCD是正方形.BC=DC,BCE =90 .（正方形的四條邊都相等,四個角都是直角）DCF=180-BCE=180-90=90.ABDCFEABDFEBCE=DCF.又CE=CF.BCEDCF.BE=DF.(2)延長BE交DE于點(diǎn)M,BCEDCF ,CBE =CDF.DCF =90 ,CDF +F =90.CBE+F=90 , BMF=90.BEDF.CM正方形判定定理三動一動：過點(diǎn)A作射線AM的垂線AN,分別在AM , AN上取點(diǎn)B , D ,使AB=AD ,作DCAB , BCAD ,得四邊形ABCD

5、.AMNBDC問題1：上面所畫四邊形ABCD是正方形嗎？為什么？合作探究想一想：將矩形紙片對折兩次，怎樣裁剪才能使剪下的三角形展開后是個正方形？（1）（2）（3）（4）菱形問題2：滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形正方形一組鄰邊相等對角線互相垂直問題3：滿足怎樣條件的菱形是正方形？正方形一個角是直角對角線相等 1.對角線相等的菱形是正方形.2.對角線垂直的矩形是正方形.3.有一個角是直角的菱形是正方形.定理正方形判定的兩條途徑：正方形正方形+先判定菱形先判定矩形矩形條件菱形條件(1)(2)一個直角對角線相等一組鄰邊相等對角線垂直例2：如圖,在矩形ABCD中, BE平分ABC , CE平分DCB

6、, BFCE , CFBE.求證：四邊形BECF是正方形.典例精析FABECD解析：先由兩組平行線得出四邊形BECF平行四邊形；再由一個直角，得出是矩形；最后由一組鄰邊相等可得正方形；4545FABECD證明: BFCE,CFBE， 四邊形BECF是平行四邊形. 四邊形ABCD是矩形, ABC = 90, DCB = 90, BE平分ABC, CE平分 DCB, EBC = 45, ECB = 45, EBC = ECB . EB=EC, BECF是菱形 . 在EBC中 EBC = 45,ECB = 45, BEC = 90, 菱形BECF是正方形.1在正方形ABC中,ADB= ,DAC= ,

7、 BOC= .2.在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點(diǎn)，且AE=AB，則EBC的度數(shù)是 .ADBCOADBCOE459022.5第1題第2題45當(dāng)堂練習(xí)3.如圖，已知正方形ABCD ,以AB為邊向正方形外作等邊ABE,連結(jié)DE 、 CE ,求DEC的度數(shù). DAEBC解：ABE是等邊三角形. AB =AE=BE, ABE=BEA=EAB =60. 又四邊形ABCD是正方形. AD=BC=AE=BE, DAB=ABC=90. DAE=CBE=150. AED=EDA=CEB=BCE=15. DEC=AEB-AED-CEB=30.4.如圖，在四邊形ABCD中, AB=BC ,對角線BD平分ABC , P是BD上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PMAD , PNCD ,垂足分別為M、N. (1) 求證：ADB=CDB; (2) 若ADC=90,求證：四邊形MPND是正方形.CABDPMN證明：（1）AB = BC,BD平分ABC. 1=2. ABDCBD (AAS). ADB=CDB.12CABDPMN（2）ADC=90; 又PMAD,PNCD; PMD=PND=90. 四邊形NPMD是矩形. ADB=CDB; ADB=CDB=45. MPD=NPD=4