1、第 1 章 直角三角形1 1直角三角形的性質和判定()第 1 課時直角三角形的性質和判定1掌握“直角三角形兩個銳角互余”，并能利用“兩銳角互余”判斷三角形是直角三角形； (重點 )2探索、理解并掌握“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的性質(重點、難點 )一、情境導入在小學時我們已經學習過有關直角三角形的知識， 同學們可以用手上的三角板和量角器作直角三角形，并和小組成員一同探究直角三角形的性質二、合作探究探究點一：直角三角形兩銳角互余如圖， AB DF ， AC BC 于 C，BC 與 DF 交于點 E，若 A 20，則 CEF 等于 ()A 110B 100C 80D 70解析： AC

2、BC 于 C， ABC 是直角三角形，ABC 90 A 90 2070， ABC 170， AB DF ， 1 CEF 180，即 CEF 180 1 180 70 110 .故選 A.方法總結： 熟知直角三角形兩銳角互余的性質，并準確識圖是解決此類題的關鍵變式訓練： 見學練優本課時練習“課堂達標訓練”第2 題探究點二：有兩個角互余的三角形是直角三角形如圖所示，已知AB CD ， BAF F， EDC E，求證： EOF 是直角三角形解析： 三角形內角和定理是解答有關角的問題時最常用的定理，是解決問題的突破口，1本題欲證 EOF 是直角三角形，只需證 E F 90即可，而 E2(180 BCD

3、 )，1F 2(180 ABC )，由 AB CD 可知 ABC BCD 180，即問題得證1證明： BAF F ， BAF F ABF 180， F (180 ABF)同11( ABF ECD ) AB CD，理， E (180 ECD ) E F 180 22ABF ECD 180 . E F 180 1180 90， EOF 是直角三角形2方法總結： 由三角形的內角和定理可知一個三角形的三個內角之和為180，如果一個三角形中有兩個角的和為90，可知該三角形為直角三角形變式訓練： 見學練優本課時練習“課堂達標訓練”第5 題探究點三：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半如圖， ABC 中，

4、AD 是高， E、 F 分別是 AB、 AC 的中點(1)若 AB 10，AC 8，求四邊形 AEDF 的周長；(2)求證： EF 垂直平分 AD.解析： (1) 根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DE AE 1AB， DF AF2 1AC，再根據四邊形的周長的公式計算即可得解；(2)根據 “到線段兩端點距離相等的點在2線段的垂直平分線上 ” 證明即可(1)解： AD 是高， E、F 分別是 AB、 AC 的中點， DE AE1AB 1 105，DF 2211 8 4，四邊形 AEDF 的周長 AEDE DF AF 55 4 418；AF AC22(2)證明： DE AE，DF AF

5、 ， E 是 AD 的垂直平分線上的點，F 是 AD 的垂直平分線上的點， EF 垂直平分 AD.方法總結： 當已知條件含有線段的中點、 直角三角形等條件時，可聯想直角三角形斜邊上的中線的性質，連接中點和直角三角形的直角頂點進行求解或證明變式訓練： 見學練優本課時練習“課堂達標訓練”第6 題探究點四：直角三角形性質的綜合運用【類型一】利用直角三角形的性質證明線段關系如圖，在 ABC 中， ABAC ， BAC 120， EF 為 AB 的垂直平分線，交BC于 F，交 AB 于點 E.求證： FC 2BF.解析：根據 EF 是 AB 的垂直平分線， 聯想到垂直平分線的性質， 因此連接 AF ，得

6、到 AFB 為等腰三角形 又可求得 B C BAF 30，進而求得 FAC 90 .取 CF 的中點 M，連接 AM ，就可以利用直角三角形的性質進行證明證明：如圖，取 CF 的中點 M，連接 AF、AM . EF 是 AB 的垂直平分線， AF BF . BAF1 B.AB AC，BAC 120， B BAF C 2(180 120) 30 . FAC BAC BAF 90 .在 Rt AFC 中， C 30， M 為 CF 的中點， AFM 60，1AM 2FC FM . AFM為等邊三角形11AF AM 2FC.又 BF AF， BF 2FC，即FC 2BF .方法總結： 當已知條件中出

7、現直角三角形斜邊上的中線時，通常會運用到 “ 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半” 這個性質，使用該性質時， 要注意找準斜邊和斜邊上的中線變式訓練： 見學練優本課時練習“課后鞏固提升”第9 題【類型二】利用直角三角形的性質解決實際問題如圖所示，四個小朋友在操場上做搶球游戲，他們分別站在四個直角三角形的直角頂點 A、B、C、D 處，球放在 EF 的中點 O 處，則游戲 _(填“公平”或“不公平”)解析： 游戲是否公平就是判斷點 A、 B、C、 D 到點 O 的距離是否相等四個直角三角形有公共的斜邊 EF，且 O 為斜邊 EF 的中點連接 OA、 OB、 OC、 OD.根據 “ 直角三角形1斜邊

8、上的中線等于斜邊的一半” 的性質可知，OAOB OC OD 2EF，即點A、 B、 C、D 到 O 的距離相等由此可得出結論：游戲公平方法總結： 題目中如果出現“直角三角形 ” 和 “ 中點 ” 這兩個條件時， 應連接直角頂點與斜邊中點，再利用 “ 斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質 ” 解題變式訓練： 見學練優本課時練習“課堂達標訓練”第 8 題【類型三】 利用直角三角形性質解動態探究題如圖所示，在RtABC 中， AB AC， BAC 90， O 為 BC 的中點(1)寫出點 O 到 ABC 的三個頂點A、 B、 C 的距離的數量關系；(2)如果點 M、N 分別在線段 AB、AC 上移動，移

9、動中保持 AN BM .請判斷 OMN 的形狀，并證明你的結論解析： (1) 由于 ABC 是直角三角形， O 是 BC 的中點，得 OA OBOC 1BC； (2) 由2于 OA 是等腰直角三角形斜邊上的中線，因此根據等腰直角三角形的性質，得CAO B 45，OAOB ，又 AN MB，所以 AON BOM，所以 ONOM ， NOA MOB，于是有 NOM AOB90，所以 OMN 是等腰直角三角形1解： (1)連接 AO.在 RtABC 中， BAC 90， O 為 BC 的中點， OA BC OB2OC，即 OAOB OC；(2) OMN 是等腰直角三角形理由如下：AC BA，OC OB， BAC 90， OAOB， NAO 1 CAB B 45， AO BC，又 AN BM， AON BOM ， ON 2OM ，NOA MOB ， NOA AOM MOB AOM ， NOM AOB 90， MON 是等腰直角三角形方法總結： 解決動態探究性問題，要把握住動態變化過程中的不變量，比如角的度數、線段的長和不變的數量關系，比如斜邊上的中線等于斜邊的一半，直角三角形兩銳角互余變式訓練： 見學練優本課時練習“課后鞏固提升”第7 題三、板書設計1直角三角形的性質性質一：直角三角形的兩銳角互余；性質二：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊