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文檔簡介

1、 上節介紹了普通母函數和指數母函數的概念，這節將討論母函數運算的一些基本關系。4.2 母函數的基本運算 設A(x),B(x)和C(x)分別是序列(a0,a1,ar,),(b0,b1,br,)和(c0,c1,cr,)的普通母函數， 則有下列定義 C(x)=A(x)B(x)當且僅當對所有的i,都有定理4.3 C(x)=A(x)+B(x)當且僅當對所有的i,都有 ci=ai+bi(i=0,1,2,r,)。定理4.4 證明：由式(1.20)知故1/(1-x)是序列(1，1，1，)的普通母函數。例1設A(x)是序列(a0,a1,ar,)的普通母函數，則A(x)/(1-x)是序列(a0,a0+a1,a0+

2、a1+ar,)的普通母函數令B(x)=1/(1-x)，由定義4.4有:故A(x)/(1-x)=A(x)B(x)=C(x)是序列(a0,a0+a1,a0+a1+a2,a0+a1+ar,)的普通母函數。結論：若 ，則 App.1：若 則證：另外，我們在這里看一看形如bk=f(am, am+1, am+2, am+l)的母函數，它們有利于我們學會用母函數來解決問題。App.2：若 ，則證：App.3：若 ，則App.4：若 ，則App.5：若 ，則 App.6：若 ,則 解：先求序列(02，12，22，r2,)的普通 母函數。例2求和 的值。由式(1.20)知兩邊微分后再乘以x得再將上式兩邊微分后再

3、乘以x得由例1的結論知，故 是序列(02,12,22,r2,)的普通母函數。是序列(02,02+12,02+12+22,02+12+22+ r2,)的普通母函數。又由二項式定理式(1.16)知 由上式可見，在 的展開式中，xr的系數是故有 設A(x),B(x)和C(x)分別是序列 (a0,a1,ar,), (b0,b1,br,)， (c0,c1,cr,)的指數母函數，有定理4.5 C(x)=A(x)+B(x)當且僅當對所有的i,都有ci=ai+ bi(i=0,1,2,r,)定理4.6 C(x)=A(x)B(x)當且僅當對所有的i,都有認真體會定義4.6的原因：證明恒等式例3證明：原式左端故有將上式與定義4.6相比較，可見有考慮序列(a0,a1,ar,)=(1,1/2,1/(r+1),),求它的指數母函數。由于因此 是序列(a0,a1,

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