1、 2014年葫蘆島市高三第一次模擬考試數學試題(理科)參考答案及評分標準一.選擇題每小題5分,總計60分題號123456789101112答案ACBBBCCDDAAD二.填空題每小題5分,總計20分.13. 2414. eq f(1+ln2,r(2) 15. eq r(2) 16. 2三.解答題17.解：設等差數列an的首項為a1,公差為d, 由S3+S4=S5,a7=5a2+2得： 2a1-d=0,4a1-d-2=0解得a1=1,d=2因此an=2n-1(nN*) 4分()令cn=anbn=(2n-1)( eq f(1,2)n-1.則Tn=c1+c2+cn -6分,得 -10分所以 -12分

2、18.(本小題滿分12分)（）證明：因為四邊形是菱形，所以 . 1分因為平面平面，且四邊形是矩形， 所以 平面， 2分又因為 平面，所以 . 3分因為 ，所以 平面. 4分（）解：設，取的中點，連接，因為四邊形是矩形，分別為的中點，所以 ，又因為 平面，所以 平面，由，得兩兩垂直.FBCEAHDOzNxy所以以為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，如圖建立空間直角坐標系. 5分因為底面是邊長為2的菱形，所以 ，. 6分因為 平面， 所以平面的法向量. 7分設直線與平面所成角為，由 ， 得 ，所以直線與平面所成角的正弦值為. 9分（）解：由（），得，.設平面的法向量為，所以 10分即 令，得.

3、 11分由平面，得平面的法向量為，則. 13分由圖可知二面角為銳角，所以二面角的大小為. 14分19（本題滿分12分）解：（）記“從10天的PM2.5日均監測數據中，隨機抽出三天，恰有一天空氣質量達到一級”為事件， 1分 P(A)= eq f(Co(1,3)Co(2,7),Co(3,10)= eq f(21,40) 4分（）依據條件，X服從超幾何分布：其中N=10，M=3，n=3，X的可能值為0,1,2,3，其分布列為：P(X=k)= eq f(Co(k,3)Co(3-k,7),Co(3,10)(k=0,1,2,3)6分X0123P eq f(7,24) eq f(21,40) eq f(7,

4、40) eq f(1,120) 8分（）依題意可知，一年中每天空氣質量達到一級或二級的概率為P= eq f(7,10) ，一年中空氣質量達到一級或二級的天數為Y，則YB(366,0.7) 10分EY=3660.7256一年中平均有256天的空氣質量達到一級或二級 12分20（本題滿分12分）解：（1）當l過橢圓的焦點且與x軸垂直時，截得的弦為橢圓的通徑， eq f(2b2,a)=3又c=1b2=3 a2=4橢圓C的方程為： eq f(x2,4)+ eq f(y2,3)=14分（2）當直線l與x軸垂直時，直線l即為y軸，此時A(0,- eq r(3)、B(0, eq r(3)|PA|=3- eq

5、 r(3),|PB|=3+ eq r(3) 由題意： eq f(2,|PC|2)= eq f(1,|PA|2)+ eq f(1,|PB|2) 解得：|PC|= eq r(3)C（0， eq r(3)-3）(2) 當直線l與x軸不垂直時，設直線的方程為y=kx-3.與橢圓方程 eq f(x2,4)+ eq f(y2,3)=1聯立并消元整理得：（4k2+3)x2-24kx+24=0 =(24k)2-4(4k2+3)24=96(2k2-3)0 k2 eq f(3,2)設A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1,x2是方程的兩個解，由韋達定理得：x1+x2= eq f(24k,4k2+3),x1x2

6、= eq f(24,4k2+3)|PA|2=x12+(y1+3)2=x12+(kx1-3+3)2=(1+k2)x12|PB|2=x22+(y2+3)2=x22+(kx2-3+3)2=(1+k2)x22|PC|2=x2+(y+3)2=x2+(kx-3+3)2=(1+k2)x2由題意： eq f(2,|PC|2)= eq f(1,|PA|2)+ eq f(1,|PB|2) eq f(2,(1+k2)x2) = eq f(1,(1+k2)x12) + eq f(1,(1+k2)x22) 即 eq f(2,x2) = eq f(1,x12) + eq f(1,x22) = eq f(x1+x2)2-2

7、x1x2,x12x22)= eq f(24k)2-224(4k2+3),242) = eq f(8k2-3,12) x2= eq f(24,8k2-3) 又點C在直線上，y=kx-3 k= eq f(y+3,x) 代入上式并化簡得：8（y+3)2-3x2=24即 eq f(y+3)2,3)- eq f(x2,8)=1k2 eq f(3,2) 0 x2 eq f(8,3) 即x(- eq f(2r(6),3),0)(0, eq f(2r(6),3) 又C（0， eq r(3)-3）滿足 eq f(y+3)2,3)- eq f(x2,8)=1，故x(- eq f(2r(6),3), eq f(2r

8、(6),3).由題意，C(x,y)在橢圓C內部，所以- eq r(3)y eq r(3)，又由8（y+3)2=24+3x2有(y+3)2(3,4) 且- eq r(3)y eq r(3) y( eq r(3)-3,-1)所以點C的軌跡方程是 eq f(y+3)2,3)- eq f(x2,8)=1，其中，x(- eq f(2r(6),3), eq f(2r(6),3)，y( eq r(3)-3,-1)12分 (如考生未考慮l與x軸垂直，扣1分；求軌跡方程后沒有求得x,y取值范圍的扣1分）21. （本題滿分12分）（1）f(x)=ln(1+x)+1 令f(x)=0得：x= eq f(1,e)-1

9、當x(-1, eq f(1,e)-1)時，f(x)0,f(x)在(-1, eq f(1,e)-1)上單調遞減，同理，(x)在( eq f(1,e)-1，+)上單調遞增；當x= eq f(1,e)-1時，f極小=- eq f(1,e)；又x(-1, eq f(1,e)-1)時,f(x)0 f(x)的圖象如右：-1xyo當a- eq f(1,e)時，方程無解；當a=- eq f(1,e)或a0時，方程有一解；當- eq f(1,e)a0 h(x)在0，+）上單調遞增 h(x)h(0)=0 即(x)0 (x)在0，+）上單調遞增(x)(0)=0 f(x)g(x) 當k0時不合題意；當0k0,當x(0

10、, eq f(1-2k,2k)時，h(x)單調遞增，h(x)0 即(x)0 (x)在(0, eq f(1-2k,2k)上單調遞增 (x)0即f(x)g(x) 不合題意 綜上，k的取值范圍是 eq f(1,2),+)(3)由（2）知（取k= eq f(1,2)(1+x)ln(1+x) eq f(1,2)x2+x; 變形得：ln(1+x) eq f(x2+2x,2(1+x)= eq f(1+x)2-1,2(1+x)= eq f(1,2)(1+x)- eq f(1,1+x)取x=n-1 得lnn eq f(1,2)(n- eq f(1,n) 即： eq f(1,n)+2lnnn eq f(1,1)+2ln11 eq f(1,2)+2ln22 eq f(1,3)+2ln33 eq f(1,n)+2lnnn以上各式相加得：（ eq f(1,1)+ eq f(1,2)+ eq f(1,3)+ eq f(1,n)）+2（ln1+ln2+ln3+lnn）1+2+n即：Sn+2lnn! eq f(n(n+1),2)22（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講解 (1)連結，則，又，則，即，則、四點共圓.5分(2)由直角三角形的射影原理可知，由與相似可知：，則，即.10分23.（本小題滿